【数据结构】AVL树

ZLRRLZ2025-07-18 11:40

目录

[1. AVL的概念](#1. AVL的概念)

[2. AVL树的实现](#2. AVL树的实现)

[2.1 AVL树的结构](#2.1 AVL树的结构)

[2.2 AVL树的插入](#2.2 AVL树的插入)

[2.2.1 AVL树插入一个值的大概过程](#2.2.1 AVL树插入一个值的大概过程)

[2.2.2 平衡因子更新](#2.2.2 平衡因子更新)

[2.2.3 插入结点及更新平衡因子的代码实现](#2.2.3 插入结点及更新平衡因子的代码实现)

[2.3 旋转](#2.3 旋转)

[2.3.1 旋转的原则](#2.3.1 旋转的原则)

[2.3.2 右单旋](#2.3.2 右单旋)

[2.3.3 右单旋代码实现](#2.3.3 右单旋代码实现)

[2.3.4 左单旋](#2.3.4 左单旋)

[2.3.5 左单旋代码实现](#2.3.5 左单旋代码实现)

[2.3.6 左右双旋](#2.3.6 左右双旋)

[2.3.7 左右双旋代码实现](#2.3.7 左右双旋代码实现)

[2.3.8 右左双旋](#2.3.8 右左双旋)

[2.3.9 右左双旋代码实现](#2.3.9 右左双旋代码实现)

[2.4 AVL树的查找](#2.4 AVL树的查找)

[2.5 AVL树平衡检测](#2.5 AVL树平衡检测)

[2.6 AVL树的删除](#2.6 AVL树的删除)

1. AVL的概念

• AVL树得名于它的发明者G. M. Adelson-Velsky和E. M. Landis是两个前苏联的科学家，他们在1962年的论文《An algorithm for the organization of information》中发表了它。

• AVL树是最先发明的自平衡二叉查找树：AVL是一颗空树 ，或者具备下列性质的二叉搜索树：它的左右子树都是AVL树 （左右子树也满足AVL一系列特性），且左右子树的高度差的绝对值不超过1 。AVL树是一颗高度平衡搜索二叉树，通过控制高度差去控制平衡。

AVL本身是二叉搜索树，但是由于之前二叉搜索树部分，我们所讨论的可能出现的节点插入在一侧的情况，使得二叉搜索树的性能退化。这里AVL树通过上述自身控制高度差的方式，保持二叉搜索树节点分布均衡，保持平衡，避免最坏情况的发生。

• AVL控制高度差的方式有很多，这里我们采用的方法是引入一个平衡因子(balance factor) 的概念，每个结点都有一个平衡因子，任何结点的平衡因子等于右子树的高度减去左子树的高度 ，也就是说任何结点的平衡因子等于0/1/-1。

需要明确的是AVL树的实现并不是必须要平衡因子，但是有了平衡因子可以更方便我们去进行观察和控制树是否平衡，就像一个风向标一样。

• 思考一下为什么AVL树是高度平衡搜索二叉树，要求高度差不超过1，而不是高度差是0呢？0不是更好的平衡吗？

画画图分析我们发现，不是不想这样设计，而是有些情况是做不到高度差是0的。比如一棵树是2个结点，4个结点等情况下，高度差最好就是1，无法做到高度差是0。

• 通过控制高度差，AVL树的节点分布较为均衡，整体结点数量和分布和完全二叉树类似，高度可以控制在 ，那么增删查改的效率也可以控制在 ，相比二叉搜索树有了本质的提升。

以上面两幅图为例，节点上面的数字就是它的平衡因子，等于2或-2说明这时候不满足AVL性质，我们要进行旋转，使得平衡因子重新为-1、1或0。

2. AVL树的实现

2.1 AVL树的结构

cpp 复制代码 
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	// 需要parent指针，后续更新平衡因子可以看到
	pair<K, V> _kv;
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
	int _bf; // balance factor
	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_kv(kv)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _bf(0)
	{}
};
template<class K, class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
	//...
private:
	Node* _root = nullptr;
};

AVL树的节点中，比起二叉搜索树，这里多增加一个指针，记录节点父节点的。，形成三叉链结构。（这里三叉链也只是其中一种实现方式。）

2.2 AVL树的插入

2.2.1 AVL树插入一个值的大概过程

  1. 插入一个值按二叉搜索树规则进行插入。

  2. 新增结点以后，只会影响祖先结点的高度，也就是可能会影响部分祖先结点的平衡因子，所以更新从新增结点->根结点路径上的平衡因子，实际中最坏情况下要更新到根，有些情况更新到中间就可以停止了，具体情况我们下面再详细分析。

  3. 更新平衡因子过程中没有出现问题，则插入结束

  4. 更新平衡因子过程中出现不平衡，需要对不平衡子树旋转，旋转后本质调平衡的同时，本质还降低了子树的高度，不会再影响上一层，所以插入结束。

2.2.2 平衡因子更新

更新原则：

• 平衡因子 = 右子树高度-左子树高度

• 只有子树高度变化才会影响当前结点平衡因子。

• 插入结点，会增加高度，所以新增结点在parent的右子树，parent的平衡因子++，新增结点在parent的左子树，parent平衡因子--

• parent所在子树的高度是否变化决定了是否会继续往上更新

更新停止条件：

•更新后parent的平衡因子等于0 ，更新中parent的平衡因子变化为-1->0 或者 1->0 ，说明更新前parent子树一边高一边低，新增的结点插入在低的那边，插入后parent所在的子树高度不变，不会影响parent的父亲结点的平衡因子，更新结束。

• 更新后parent的平衡因子等于1 或 -1 ，更新前更新中parent的平衡因子变化为0->1 或者 0->-1 ，说明更新前parent子树两边一样高，新增的插入结点后，parent所在的子树一边高一边低，parent所在的子树符合平衡要求 ，但是高度增加了1，会影响parent的父亲结点的平衡因子，所以要继续向上更新。

插入cur节点，parent左子树高度加一，因此parent的平衡因子变为-1，更新到中间结点，3为根的左右子树高度相等，3的平衡因子变为0，不会影响上一层，更新结束。

需要注明的是这里不可能出现2或-2变为1或-1的情况，因为当平衡因子为2、-2时，说明这棵树本身已经不满足AVL树性质，不是AVL树了，我们这时候在讨论插入节点的平衡因子没有意义。

• 更新后parent的平衡因子等于2 或 -2 ，更新前更新中parent的平衡因子变化为1->2 或者 -1->-2 ，说明更新前parent子树一边高一边低，新增的插入结点在高的那边，parent所在的子树高的那边更高了，破坏了平衡，parent所在的子树不符合平衡要求 ，需要旋转处理 ，旋转的目标有两个：1、把parent子树旋转平衡。2、降低parent子树的高度，恢复到插入结点以前的高度。所以旋转后也不需要继续往上更新，插入结束。

插入cur节点，parent左子树高度加一，平衡因子变为-1，继续往上更新，更新到10结点，平衡因子为2，10所在的子树已经不平衡，需要旋转处理（下文详细讲解旋转具体规则）。

注：同上，这里也不可能出现3、-3变为2、-2的情形，这样没有意义。

• 如果不断更新，更新到根，根的平衡因子是1或-1也停止了。

最坏更新到根停止

2.2.3 插入结点及更新平衡因子的代码实现

cpp 复制代码 
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(kv);
		return true;
	}
	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
	while (cur)//先按二叉搜索树的规则插入
	{
		if (cur->_kv.first < kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_kv.first > kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			return false;
		}
	}
	cur = new Node(kv);
	if (parent->_kv.first < kv.first)
	{
		parent->_right = cur;
	}
	else
	{
		parent->_left = cur;
	}
    //因为节点变为三叉链结构，这里我们需要链接父节点
	cur->_parent = parent;
	// 按照前文规则，更新平衡因子
	while (parent)
	{
		// 更新平衡因子
		if (cur == parent->_left)
			parent->_bf--;
		else
			parent->_bf++;
		if (parent->_bf == 0)
		{
			// 更新结束
			break;
		}
		else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
		{
			// 继续往上更新
			cur = parent;
			parent = parent->_parent;
		}
		else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
		{
			// 不平衡了，旋转处理
			break;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}
	return true;
}

2.3 旋转

2.3.1 旋转的原则

  1. 保持搜索树的规则

  2. 让旋转的树从不满足变平衡

3**. 其次降低旋转树的高度（这样上一级的整棵树的高度不变，平衡因子不变）**

旋转总共分为四种，左单旋/右单旋/左右双旋/右左双旋。

说明：下面的图中，有些结点我们给的是具体值，如10和5等结点，这里是为了方便讲解，实际中是什么值都可以，只要大小关系符合搜索树的性质即可。

2.3.2 右单旋

• 本图1展示的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵高度为h的子树(h>=0) ，a/b/c均符合AVL树的要求 。10可能是整棵树的根，也可能是一个整棵树中局部的子树的根。这里a/b/c是高度为h的子树，是一种概括抽象表示 ，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体图2/图3/图4/图5进行了详细描述。

• 在a子树中插入一个新结点，导致a子树的高度从h变成h+1，不断向上更新平衡因子，导致10的平衡因子从-1变成-2，10为根的树左右高度差超过1，违反平衡规则。10为根的树左边太高了，需要往右边旋转，控制两棵树的平衡。

• 旋转核心步骤，因为5 < b子树根节点的值 < 10，将b变成10的左子树，10变成5的右子树，5变成这棵树新的根，符合二叉搜索树的规则（左子树值<根节点<右子树），5的左右子树高度相等，控制了平衡，这棵的高度恢复到了插入之前的h+2，符合旋转原则。插入的是之前10整棵树的一个局部子树，旋转后不会再影响上一层，插入结束了。这时5和10的平衡因子都为0。
图1

以上抽象出a\b\c三个子树来说明右单旋的规则，为了进一步验证规则的普适性，以下选择3中情况讨论下。
图2
图3
图4
图5

2.3.3 右单旋代码实现

图1

cpp 复制代码 
void RotateR(Node* parent)
{
	Node* subL = parent->_left;
	Node* subLR = subL->_right;
	// 需要注意除了要修改孩子指针指向，还是修改父亲指针指向新父亲
	parent->_left = subLR;
	if (subLR)
		subLR->_parent = parent;

	Node* parentParent = parent->_parent;//记录祖父节点
	subL->_right = parent;
	parent->_parent = subL;

	// parent有可能是整棵树的根，也可能是局部的子树
	// 如果是整棵树的根，要修改_root
	// 如果是局部的指针要跟上一层链接
	if (parentParent == nullptr)
	{
		_root = subL;
		subL->_parent = nullptr;
	}
	else
	{//链接上一层前需要判断父亲节点在祖父节点的左子树还是右子树中
		if (parent == parentParent->_left)
		{
			parentParent->_left = subL;
		}
		else
		{
			parentParent->_right = subL;
		}
		subL->_parent = parentParent;
	}
	parent->_bf = subL->_bf = 0;//更新平衡因子
}

2.3.4 左单旋

• 本图6展示的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵高度为h的子树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要求 。10可能是整棵树的根，也可能是一个整棵树中局部的子树的根。这里a/b/c是高度为h的子树，是一种概括抽象表示，他代表了所有左单旋的场景，实际左单旋形态有很多种，具体跟上面右旋类似。

• 在a子树中插入一个新结点，导致a子树的高度从h变成h+1，不断向上更新平衡因子，导致10的平衡因子从1变成2，10为根的树左右高度差超过1，违反平衡规则。10为根的树右边太高了，需要往左边旋转，控制两棵树的平衡。

• 旋转核心步骤，因为10 < b子树的值 < 15，将b变成10的右子树，10变成15的左子树，15变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的高度恢复到了插入之前的h+2，符合旋转原则。如果插入之前10整棵树的一个局部子树，旋转后不会再影响上一层，插入结束了。对应10、15节点平衡因子更新为0。
图6

2.3.5 左单旋代码实现

cpp 复制代码 
void RotateL(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;
	parent->_right = subRL;
	if (subRL)
		subRL->_parent = parent;
	Node* parentParent = parent->_parent;
	subR->_left = parent;
	parent->_parent = subR;

    // parent有可能是整棵树的根，也可能是局部的子树
	// 如果是整棵树的根，要修改_root
	// 如果是局部的指针要跟上一层链接
	if (parentParent == nullptr)
	{
		_root = subR;
		subR->_parent = nullptr;
	}
	else
	{
		if (parent == parentParent->_left)
		{
			parentParent->_left = subR;
		}
		else
		{
			parentParent->_right = subR;
		}
		subR->_parent = parentParent;
	}
	parent->_bf = subR->_bf = 0;//平衡因子更新为0
}

2.3.6 左右双旋

单旋主要针对的是插入在树的一边，导致树一边高的情况。

通过图7和图8可以看到，左边高时，如果插入位置不是在a子树，而是插入在b子树，b子树高度从h变成h+1，引发旋转，右单旋无法解决问题，右单旋后，我们的树依旧不平衡。右单旋解决的纯粹的左边高，但是插入在b子树中，10为跟的子树不再是单纯的左边高，对于10是左边高，但是对于5是右边高，需要用两次旋转才能解决，以5为旋转点进行一个左单旋，使树变成纯粹的一边高，再以10为旋转点进行一个右单旋，这棵树这棵树就平衡了。
图7
图8

• 图7和图8分别为左右双旋中h==0和h==1具体场景分析，下面我们将a/b/c子树抽象为高度h的AVL子树进行分析 ，另外我们需要把b子树的细节进一步展开为8和左子树高度为h-1的e和f子树，因为我们要对b的父亲5为旋转点进行左单旋，左单旋需要动b树中的左子树。b子树中新增结点的位置不同，平衡因子更新的细节也不同，通过观察8的平衡因子不同，这里我们要分三个场景讨论。

• 场景1：h >= 1时，新增结点插入在e子树 ，e子树高度从h-1并为h并不断更新8->5->10平衡因子，引发旋转，其中8的平衡因子为-1，旋转后8和5平衡因子为0，10平衡因子为1。

• 场景2：h >= 1时，新增结点插入在f子树 ，f子树高度从h-1变为h并不断更新8->5->10平衡因子，引发旋转，其中8的平衡因子为1，旋转后8和10平衡因子为0，5平衡因子为-1。

• 场景3：h == 0时，a/b/c都是空树，b自己就是一个新增结点 ，不断更新5->10平衡因子，引发旋转，其中8的平衡因子为0，旋转后8和10和5平衡因子均为0。
图9

2.3.7 左右双旋代码实现

cpp 复制代码 
void RotateLR(Node* parent)
{
	Node* subL = parent->_left;
	Node* subLR = subL->_right;
	int bf = subLR->_bf;

	RotateL(parent->_left);
	RotateR(parent);

    //根据上文讲解，分情况讨论
	if (bf == 0)
	{//更新平衡因子时，虽然单旋内部也会更新，但是这里我们也需要更新
    //这是一种防御性策略
		subL->_bf = 0;
		subLR->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	}
	else if (bf == -1)
	{
		subL->_bf = 0;
		subLR->_bf = 0;
		parent->_bf = 1;
	}
	else if (bf == 1)
	{
		subL->_bf = -1;
		subLR->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	}
	else//代码可能由于bug,出现其他值，我们这里是防止意外的防御性代码
	{
		assert(false);
	}
}

2.3.8 右左双旋

• 跟左右双旋类似，下面我们将a/b/c子树抽象为高度h的AVL子树进行分析 ，另外我们需要把b子树的细节进一步展开为12和左子树高度为h-1的e和f子树，因为我们要对b的父亲15为旋转点进行右单旋，右单旋需要动b树中的右子树。b子树中新增结点的位置不同，平衡因子更新的细节也不同，通过观察12的平衡因子不同，这里我们要分三个场景讨论。、

• 场景1：h >= 1时，新增结点插入在e子树 ，e子树高度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因子，引发旋转，其中12的平衡因子为-1，旋转后10和12平衡因子为0，15平衡因子为1。

• 场景2：h >= 1时，新增结点插入在f子树 ，f子树高度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因子，引发旋转，其中12的平衡因子为1，旋转后15和12平衡因子为0，10平衡因子为-1。

• 场景3：h == 0时，a/b/c都是空树 ，b自己就是一个新增结点，不断更新15->10平衡因子，引发旋转，其中12的平衡因子为0，旋转后10和12和15平衡因子均为0。
图10

2.3.9 右左双旋代码实现

cpp 复制代码 
void RotateRL(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;
	int bf = subRL->_bf;
	RotateR(parent->_right);
	RotateL(parent);
	if (bf == 0)
	{
		subR->_bf = 0;
		subRL->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	}
	else if (bf == 1)
	{
		subR->_bf = 0;
		subRL->_bf = 0;
		parent->_bf = -1;
	}
	else if (bf == -1)
	{
		subR->_bf = 1;
		subRL->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	}
	else
	{
		assert(false);
	}
}

2.4 AVL树的查找

那二叉搜索树逻辑实现即可（左子树<根节点<右子树），搜索效率为

cpp 复制代码 
Node* Find(const K& key)
{
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_kv.first < key)
		{
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_kv.first > key)
		{
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			return cur;
		}
	}
	return nullptr;
}

2.5 AVL树平衡检测

我们实现的AVL树是否合格，我们通过检查左右子树高度差的的程序进行反向验证，同时检查一下结点的平衡因子更新是否出现了问题。

注：我们这里不能简单的通过平衡因子来判断AVL是否平衡，平衡因子无误是AVL平衡的必要条件，不是充分条件，平衡因子本身可能由于bug出错。

cpp 复制代码 
int _Height(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
		return 0;
	int leftHeight = _Height(root->_left);
	int rightHeight = _Height(root->_right);
	return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}
bool _IsBalanceTree(Node* root)
{
	// 空树也是AVL树
	if (nullptr == root)
		return true;
	// 计算pRoot结点的平衡因子：即pRoot左右子树的高度差
	int leftHeight = _Height(root->_left);
	int rightHeight = _Height(root->_right);
	int diff = rightHeight - leftHeight;
	// 如果计算出的平衡因子与pRoot的平衡因子不相等，或者
// pRoot平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树
	if (abs(diff) >= 2)
	{
		cout << root->_kv.first << "高度差异常" << endl;
		return false;
	}
	if (root->_bf != diff)
	{
		cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;
		return false;
	}
	// pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树一定是AVL树
	return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right);
}
// 测试代码
void TestAVLTree1()
{
	AVLTree<int, int> t;
	// 常规的测试用例
	//int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
	// 特殊的带有双旋场景的测试用例
	int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };
	for (auto e : a)
	{
		t.Insert({ e, e });
	}
	t.InOrder();
	cout << t.IsBalanceTree() << endl;
}
// 插入一堆随机值，测试平衡，顺便测试一下高度和性能等
void TestAVLTree2()
{
	const int N = 100000;
	vector<int> v;
	v.reserve(N);
	srand(time(0));
	for (size_t i = 0; i < N; i++)
	{
		v.push_back(rand() + i);
	}
	size_t begin2 = clock();
	AVLTree<int, int> t;
	for (auto e : v)
	{
		t.Insert(make_pair(e, e));
	}
	size_t end2 = clock();
	cout << "Insert:" << end2 - begin2 << endl;
	cout << t.IsBalanceTree() << endl;
	cout << "Height:" << t.Height() << endl;
	cout << "Size:" << t.Size() << endl;
	size_t begin1 = clock();
	// 确定在的值
	/*for (auto e : v)
	{
	t.Find(e);
	}*/
	// 随机值
	for (size_t i = 0; i < N; i++)
	{
		t.Find((rand() + i));
	}
	size_t end1 = clock();
	cout << "Find:" << end1 - begin1 << endl;
}

2.6 AVL树的删除

AVL树的删除不做讲解，有兴趣的读者可参考：《殷人昆 数据结构：用面向对象方法与C++语言描述》中讲解。

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