上一篇 Latex 太多了，所以编辑起来有点卡，于是 Lydic 就分两篇来写了。
泰勒公式
相信大家小学的时候就听说过这两个公式：
\[\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \cdots \]
\[\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \cdots \]
也都知道它们是根据 泰勒公式(Taylor'sFormula) 得到的。那么，大名鼎鼎的泰勒展开，即泰勒公式究竟是怎么得来的呢？这篇文章将会用高中级别的数学知识来解释它的由来。
定义
在数学中，泰勒公式（英语：Taylor'sFormula） 是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。这个公式来自于微积分的泰勒定理（Taylor's theorem） ，泰勒定理描述了一个可微函数，如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值，这个多项式称为泰勒多项式（Taylor polynomial） 。泰勒公式还给出了余项即这个多项式和实际的函数值之间的偏差。（这里就是凑个格式，这段话其实我也没看）
公式化表达
对于一个光滑连续函数 \(f(x)\)，那么它在 \(x=a\) 处的泰勒展开为：
\[f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n \]
其中，\(f^{(n)}(a)\) 代表 \(f(x)\) 在 \(x=a\) 处的 \(n\) 阶导数值。这个式子计算的项越多，本身的曲线就越逼近 \(f(x)\)，而且自变量 \(x\) 距离 \(a\) 越近，即 \(|x-a|\) 越小，该多项式的值就越接近原函数。
对于最开始提到的两个函数 \(\sin x\) 和 \(\cos x\)，那两个公式就是它们分别在 \(x=0\) 处的展开式。具体的，把上式的 \(a\) 换成 \(0\)，\(f(x)\) 替换成 \(\sin x\) 或 \(\cos x\) 即可得到。
推导
相信大家经过刚才的初步了解，一定觉得这个公式很神奇很玄幻。那么，这个如此哇塞的公式究竟该如何证明呢？
相信有的同学一定试图上网搜索过这个公式的证明方法，其实我之前也这么干过。但网上的文章大多都只是敷衍地介绍它，或者给了一堆看不懂的推导。因此，我将真正带来一篇真正的，能看懂的证明文章。 那还不快来点赞
话不多说，直接开始正题。
既然要从 \(x=a\) 处逼近，我们不妨先从起点开始研究。
令函数 \(g(x)=f(a)\)，那么 \(g(x)\) 就是一个在 \(x=a\) 处的值与 \(f(x)\) 相等的常函数。我们现在要给 \(g(x)\) 配上一个其他的东西，使得它能够更接近于 \(f(x)\)。
不妨假设 \(f(x)=g(x)+R(x)\)，接下来就是要计算得到 \(R(x)\)。
移项，得
\[R(x)=f(x)-g(x) \]
即
\[R(x)=f(x)-f(a) \]
两边同时除以 \(x-a\)，得
\[\frac{R(x)}{x-a}=\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \]
对于右边的式子，我们进行近似计算，将它看作 \(f^{'}(a)\)，得
\[R(x)\approx f^{'}(a)(x-a) \]
于是有
\[f(x)=f(a)+R(x)\approx f(a)+f^{'}(a)(x-a) \]
我们发现泰勒公式已经初具雏形了。不妨接着刚才的思路写下去。假设
\[f(x)=f(a)+f^{'}(a)(x-a)+R_2(x) \]
移项，得
\[R_2(x)=f(x)-f(a)-f^{'}(a)(x-a) \]
由于此时右边有三项，不太好继续用导数值估计，所以我们先对两边求一次导，得
\[R_2^{'}(x)=f^{'}(x)-f^{'}(a) \]
两边同时除以 \(x-a\)，得
\[\frac{R_2^{'}(x)}{x-a}=\frac{f^{'}(x)-f^{'}(a)}{x-a} \]
类似的，将右边的式子近似看作 \(f^{''}(a)\)，移项得
\[R_2^{'}(x)\approx f^{''}(a)(x-a) \]
那么据此可以得到 \(R_2^{'}(x)\) 的原函数，具体过程不赘述。最终有
\[R_2(x)\approx \frac{f^{''}(x)}{2}(x-a)^2 \]
带回去，可以得到
\[f(x)\approx f(a)+f^{'}(a)(x-a)+\frac{f^{''}(x)}{2}(x-a)^2 \]
统一形式，得
\[f(x)\approx \frac{f(a)}{0!}(x-a)^0+\frac{f^{'}(a)}{1!}(x-a)^1+\frac{f^{''}(a)}{2!}(x-a)^2 \]
到这里，整个的证明过程基本就可以结束了，接着这个思路一直写下去即可。
但为了严谨性，还是要考虑一下一般情况，类似数学归纳法。假设
\[f(x)=\sum_{n=0}^{k-1} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n+R_k(x) \]
则
\[R_k(x)=f(x)-\sum_{n=0}^{k-1} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n \]
两边同时求 \(k-1\) 次导，得
\[R_k^{(k-1)}(x)=f^{(k-1)}(x)-f^{(k-1)}(a) \]
按照刚才的做法近似估计，得
\[R_k^{(k-1)}(x)\approx f^k(a)(x-a) \]
求原函数，得
\[R_k(x)\approx \frac{f^k(a)}{k!}(x-a)^k \]
带回去，有
\[f(x)\approx \sum_{n=0}^{k} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n \]
一直延伸到正无穷，就可以得到这个神奇的泰勒公式了
\[f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n \]
自从 2022 年高考题引进了奇怪函数比大小这种类型的单选题之后，泰勒展开就开始逐步进入高中生的视野了。一般这种题正常的做法都是把它们构造成具有相同自变量的函数，然后作差求导看正负。这种方法一般很复杂，不仅容易算错还浪费时间。所以了解一些常见函数的泰勒展开就显得尤为重要了。
最后留个签名：
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