D02代码随想录算法训练-209长度最小的子数组-59螺旋矩阵II

1. 前置知识与隐性知识

1.1 前置知识（显性知识）

一句话定义

子数组问题 本质是连续区间的动态维护 ，其核心约束为区间和的快速计算与边界移动规则 。
螺旋矩阵问题 本质是坐标路径的拓扑遍历 ，其核心约束为方向切换的边界触发条件。

为什么这样设计

因为CPU缓存局部性原理 （数组连续存储）和方向切换的确定性（螺旋路径），导致：

1. 滑动窗口比暴力法快 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> O ( n 2 ) → O ( n ) O(n^2)→O(n) </math>O(n2)→O(n)
2. 边界收缩错误会引发重叠/漏填
   于是衍生出常见坑点：

• 子数组问题：未利用正数单调性导致窗口失效
• 螺旋矩阵：奇数阶中心点漏处理

高频算法思想

• 双指针锚定法（滑动窗口）：用左右指针动态维护可行解区间
• 路径模拟法（螺旋矩阵）：用方向向量+边界收缩控制遍历轨迹

1.2 隐性知识（专家才知道）

（一）底层机制

1. 内存优化

   • 行优先存储：squareArray[j][i] 比 squareArray[i][j] 慢 2-3 倍（缓存未命中）
   • 滑动窗口求和时，用 sum -= nums[left++] 而非重新计算，避免 CPU 流水线中断

2. 边界模式

   // 万能循环不变量模板
   while (left <= right) {        // 闭区间
       int mid = left + ((right - left) >> 1);  // 防溢出
       ...
   }

（二）高阶技巧

技巧	一句话解释	典型例题
负值转正	用 (sum % K + K) % K 处理负数取模	LeetCode 974
方向向量法	用 dirs={{0,1},{1,0},{0,-1},{-1,0}} 控制螺旋方向	LeetCode 54
乘积窗口	同时维护 minProd/maxProd 处理负数反转	LeetCode 152

（三）思维模式

• 迁移 checklist：

  原结构	新结构	仍成立的条件
  数组	链表	滑动窗口思想 ✓，随机访问 ✗
  矩阵	图	方向向量 ✓，边界收缩 ✗

• 测试用例 8 件套：

  # 子数组问题  
  []                  # 空数组  
  [0,0,0]             # 全零  
  [10, target=5]      # 单元素解  
  [1,1,1,...,1]       # 满数组解  
  [2,3,1,2,4,3]       # 标准用例  
  [10^5, 10^5,...,10^5] # 极大数  
  [1, target=10^9]    # 无解  
  random_array(10000) # 随机数据  
  
  # 螺旋矩阵  
  n=0 → []            # 空矩阵  
  n=1 → [[1]]         # 单点  
  n=2 → [[1,2],[4,3]] # 最小偶阶  
  n=3                 # 最小奇阶（需验证中心点）  
  n=100               # 性能测试  

2. 算法详解

目标：由浅入深给出 3 套代码（暴力→前缀和→滑动窗口）。

2.1 leetcode209长度最小的子数组

* 给定一个含有 n 个正整数的数组和一个正整数 target 。
*
* 找出该数组中满足其总和大于等于 target 的长度最小的 子数组 [numsl, numsl+1, ..., numsr-1, numsr] ，并返回其长度。如果不存在符合条件的子数组，返回 0 。
* 示例 1：
* 输入：target = 7, nums = [2,3,1,2,4,3]
* 输出：2
* 解释：子数组 [4,3] 是该条件下的长度最小的子数组。

2.1.1 暴力破解代码（踩坑版）

public static int minSubArrayLen_Force(int target, int[] nums) {
    int min = -1;
    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        int left = nums[i];
        for (int j = i+1; j < nums.length; j++) {
            left += nums[j];
            if(left == target){
               int value = j - i +1;
               if(min > 0){
                   if(value<min){
                       min = value;
                   }
               } else {
                   min = value;
               }
            }
        }
    }
    return min;
}
// bug原因：边界条件没想清楚，j其实就是i，所以长度也是小于nums.length,还有差值没有算对，value值少了当前位数一位

2.1.2 滑动窗口解法

public static int minSubArrayLen(int target, int[] nums) {
    int left = 0;
    int sum = 0;//充当滑动窗口管道,右边移为加，左边移为减，和为大小，索引差为长度
    int result = Integer.MAX_VALUE;
    for (int right = 0; right < nums.length ; right++) {
        sum += nums[right];
        while(sum >= target){//bugfix:题目条件没看清,少考虑了包括大于的情况
            int length = right - left +1;
            result = result > length? length : result;
            sum -=nums[left++];//由于满足条件滑动窗口左边移动,进行减值，为下一次匹配做准备,因为方向是往右走所有右侧不能减只能加
        }

    }
    return result == Integer.MAX_VALUE ? 0 : result;
}

2.1.3 二分法+前缀和数组

// 使用二分法解决
public static int minSubArrayLen_BinarySearch(int target, int[] nums) {
    int n = nums.length;
    // 构建前缀和数组，方便计算子数组和
    int[] prefixSum = new int[n + 1];
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        prefixSum[i] = prefixSum[i - 1] + nums[i - 1];
    }

    // 二分搜索最小子数组长度
    int left = 1, right = n;
    int result = 0;

    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        boolean found = false;

        // 检查是否存在长度为mid的子数组满足条件
        for (int i = 0; i <= n - mid; i++) {
            // 使用前缀和快速计算子数组和
            if (prefixSum[i + mid] - prefixSum[i] >= target) {
                found = true;
                result = mid;
                break;
            }
        }

        if (found) {
            right = mid - 1; // 尝试寻找更小的长度
        } else {
            left = mid + 1;  // 需要增加长度
        }
    }

    return result;
}

2.2 leetcode59螺旋矩阵II

抽象正方体的四个顶点进行模拟实现
/**
 * while循环是总个数，for循环起始到结束遍历，每次遍历n-1个元素然后没遍历一次就减少
 * 从左到右&第一行已过top加一,从上到下&最后一列已过right减一,再从右到左&最后一行已过bottom减一,从下到上&第一列行已过left+1
 * @param n
 * @return
 */
public static int[][] getSquare_v1(int n){
    int[][] squareArray = new int[n][n];
    //上下左右各一个位置,每次访问都会减少一行
    int left = 0;
    int right = n - 1;
    int top = 0;
    int bottom = n - 1;
    int k = 1;

    while(k <= n*n) {
        for (int i = left; i <= right; i++,k++) squareArray[top][i] = k;
        top++;
        for (int j = top; j <= bottom; j++,k++) squareArray[j][right] = k;
        right--;
        for (int i = right; i >= left;i--,k++) squareArray[bottom][i] = k;
        bottom--;
        for (int j = bottom; j >= top;j--,k++) squareArray[j][left] = k;
        left++;
    }

    return squareArray;
}

/**
*把每条边进行抽象，左右，上下，右左，下上；按照左闭右开的区间。对于n为奇数，则会生效一个，因为4条边遍历肯定是偶数，所以还需对中心点再单独处理下。
*/
public static int[][] getSquare(int n) {
    int[][] squareArray = new int[n][n];
    int startX = 0;
    int startY = 0;
    int offset = 1;
    int count = 1;
    int loop = 1;//当前圈数
    int i,j;//i是列,j是行
    while(loop <= n/2){
        //不是特别理解含义
        for( i =startY; i < n - offset; i++){
            squareArray[startX][i]=count++;
        }
        for(j =startX; j < n - offset; j++){
            squareArray[j][i] = count++;
        }
        for(;i>startY;i--){
            squareArray[j][i] = count++;
        }
        for (;j>startX;j--){
            squareArray[j][i] = count++;
        }

        startX++;
        startY++;
        offset++;
        loop++;

    }

    if(n%2 == 1){
        squareArray[startX][startY] = count;
    }
    return squareArray;
}

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3. 算法听-想-变-用

把"会做一道题"升级为"会解决一类问题"。

3.1 听（反学习）

专家视角：

• 子数组问题本质是区间操作，核心在于高效计算区间和（前缀和）或动态维护区间属性（滑动窗口）
• 螺旋矩阵是路径模拟类问题的典型，关键在于建立坐标映射和边界管理

新手误区：

1. 暴力解法常犯错误：

   • 边界处理错误（如结束条件 j < nums.length 误写为 j <= nums.length）
   • 忽略子数组和大于等于目标值的情况（只判断相等）
   • 未考虑全零数组等边界情况

2. 螺旋矩阵常见问题：

   • 坐标变换时行列混淆
   • 未处理奇数阶矩阵的中心点
   • 边界收缩时机错误导致重叠填充

3.2 想（参考答案思维）

条件穷举表

条件	已用/未用	优化可能性
数组元素均为正整数	已用	滑动窗口成立的核心前提
子数组连续性要求	已用	前缀和优化的基础
和>=target的约束	已用	滑动窗口收缩条件
最小长度要求	已用	驱动结果值动态更新

数据结构映射表

物理概念	数学抽象	代码表示
子数组和	区间和	prefixSum[j]-prefixSum[i]
滑动窗口	动态区间	left/right双指针
螺旋路径	坐标变换序列	(x,y) + 方向向量
边界收缩	规模递减	left++/right--

3.3 变（深层迁移）

模式提炼 4 层模型

层次	案例	迁移提问
物理结构	一维数组	树状数组/链表能否适用？
逻辑操作	区间和计算	如何迁移到区间极值/区间乘积问题？
数学抽象	前缀和单调性	能否用于解决众数统计问题？
系统思维	边界收缩策略	如何迁移到分形图形生成问题？

验证矩阵

原场景	新场景	匹配度	需调整
子数组和(209)	乘积最小子数组(152)	85%	需维护最大/最小值
螺旋矩阵II(59)	螺旋矩阵I(54)	95%	遍历方向逻辑复用
滑动窗口	无重复字符子串(3)	90%	改为哈希表维护字符
前缀和+二分	和可被K整除子数组(974)	75%	需处理负数取模

3.4 用（聚焦 + 模式化）

聚焦：不变 & 经典

无论题目如何变形，连续子数组的区间可加性 和螺旋矩阵的边界对称性永不改变

模式化：代码模板 & 触发器

模式化：模板与触发器

// ================= 滑动窗口模板 =================
int slidingWindowTemplate(int[] nums, int target) {
    int left = 0, sum = 0, res = Integer.MAX_VALUE;
    for (int right = 0; right < nums.length; right++) {
        sum += nums[right];                // 1. 扩展右边界
        while (满足触发条件) {              // 2. 触发收缩
            res = Math.min(res, right-left+1); // 3. 更新结果
            sum -= nums[left++];           // 4. 收缩左边界
        }
    }
    return res == MAX_VALUE ? 0 : res;
}

// 触发器伪代码
if (problem.contains("连续子数组") 
 && problem.contains("和/积") 
 && problem.contains("最值")) {
    调用滑动窗口模板;
    调整触发条件（和/积/字符统计）;
}

// 触发器伪代码
if (problem.contains("螺旋遍历") 
 || problem.contains("回型路径")
 || problem.contains("层状填充")) {
    调用螺旋矩阵模板;
    调整方向顺序（顺时针/逆时针）;
}

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4. 额外补充

用MECE法则对编程的数学知识分类，然后四象限归类识别实用类的知识点，然后攻克难点

高实用&易掌握 | 高实用&难掌握

        |  象限1:      |  象限2:
        |  基础算术    |  数论进阶
        |  位运算      |  图论算法
        |  简单几何    |  动态规划优化
        |  排列组合基础|  计算几何