【深度学习优化算法】09：Adadelta算法

【作者主页】Francek Chen

【专栏介绍】⌈ ⌈ ⌈PyTorch深度学习 ⌋ ⌋ ⌋ 深度学习 (DL, Deep Learning) 特指基于深层神经网络模型和方法的机器学习。它是在统计机器学习、人工神经网络等算法模型基础上，结合当代大数据和大算力的发展而发展出来的。深度学习最重要的技术特征是具有自动提取特征的能力。神经网络算法、算力和数据是开展深度学习的三要素。深度学习在计算机视觉、自然语言处理、多模态数据分析、科学探索等领域都取得了很多成果。本专栏介绍基于PyTorch的深度学习算法实现。

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文章目录

• • 一、算法
  • 二、代码实现
  • 小结

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Adadelta是AdaGrad的另一种变体，主要区别在于前者减少了学习率适应坐标的数量。此外，广义上Adadelta被称为没有学习率，因为它使用变化量本身作为未来变化的校准。

一、算法

简而言之，Adadelta使用两个状态变量， s t \mathbf{s}_t st用于存储梯度二阶导数的泄露平均值， Δ x t \Delta\mathbf{x}_t Δxt用于存储模型本身中参数变化二阶导数的泄露平均值。请注意，为了与其他出版物和实现的兼容性，我们使用作者的原始符号和命名（没有其它真正理由让大家使用不同的希腊变量来表示在动量法、AdaGrad、RMSProp和Adadelta中用于相同用途的参数）。

以下是Adadelta的技术细节。鉴于参数du jour是 ρ \rho ρ，我们获得了与RMSProp算法类似的以下泄漏更新：
s t = ρ s t − 1 + ( 1 − ρ ) g t 2 (1) \begin{aligned} \mathbf{s}t & = \rho \mathbf{s}{t-1} + (1 - \rho) \mathbf{g}_t^2 \end{aligned} \tag{1} st=ρst−1+(1−ρ)gt2(1) 与RMSProp算法的区别在于，我们使用重新缩放的梯度 g t ′ \mathbf{g}_t' gt′执行更新，即
x t = x t − 1 − g t ′ (2) \begin{aligned} \mathbf{x}t & = \mathbf{x}{t-1} - \mathbf{g}_t' \end{aligned}\tag{2} xt=xt−1−gt′(2) 那么，调整后的梯度 g t ′ \mathbf{g}_t' gt′是什么？我们可以按如下方式计算它：
g t ′ = Δ x t − 1 + ϵ s t + ϵ ⊙ g t (3) \begin{aligned} \mathbf{g}t' & = \frac{\sqrt{\Delta\mathbf{x}{t-1} + \epsilon}}{\sqrt{{\mathbf{s}_t + \epsilon}}} \odot \mathbf{g}t \\ \end{aligned} \tag{3} gt′=st+ϵ Δxt−1+ϵ ⊙gt(3) 其中 Δ x t − 1 \Delta \mathbf{x}{t-1} Δxt−1是重新缩放梯度的平方 g t ′ \mathbf{g}t' gt′的泄漏平均值。我们将 Δ x 0 \Delta \mathbf{x}{0} Δx0初始化为 0 0 0，然后在每个步骤中使用 g t ′ \mathbf{g}_t' gt′更新它，即
Δ x t = ρ Δ x t − 1 + ( 1 − ρ ) g t ′ 2 (4) \begin{aligned} \Delta \mathbf{x}t & = \rho \Delta\mathbf{x}{t-1} + (1 - \rho) {\mathbf{g}_t'}^2 \end{aligned} \tag{4} Δxt=ρΔxt−1+(1−ρ)gt′2(4)

ϵ \epsilon ϵ（例如 1 0 − 5 10^{-5} 10−5这样的小值）是为了保持数字稳定性而加入的。

二、代码实现

Adadelta需要为每个变量维护两个状态变量，即 s t \mathbf{s}_t st和 Δ x t \Delta\mathbf{x}_t Δxt。这将产生以下实现。

%matplotlib inline
import torch
from d2l import torch as d2l

def init_adadelta_states(feature_dim):
    s_w, s_b = torch.zeros((feature_dim, 1)), torch.zeros(1)
    delta_w, delta_b = torch.zeros((feature_dim, 1)), torch.zeros(1)
    return ((s_w, delta_w), (s_b, delta_b))

def adadelta(params, states, hyperparams):
    rho, eps = hyperparams['rho'], 1e-5
    for p, (s, delta) in zip(params, states):
        with torch.no_grad():
            # In-placeupdatesvia[:]
            s[:] = rho * s + (1 - rho) * torch.square(p.grad)
            g = (torch.sqrt(delta + eps) / torch.sqrt(s + eps)) * p.grad
            p[:] -= g
            delta[:] = rho * delta + (1 - rho) * g * g
        p.grad.data.zero_()

对于每次参数更新，选择 ρ = 0.9 \rho = 0.9 ρ=0.9相当于10个半衰期。由此我们得到：

data_iter, feature_dim = d2l.get_data_ch11(batch_size=10)
d2l.train_ch11(adadelta, init_adadelta_states(feature_dim), {'rho': 0.9}, data_iter, feature_dim);

为了简洁实现，我们只需使用高级API中的Adadelta算法。

trainer = torch.optim.Adadelta
d2l.train_concise_ch11(trainer, {'rho': 0.9}, data_iter)

小结

• Adadelta没有学习率参数。相反，它使用参数本身的变化率来调整学习率。
• Adadelta需要两个状态变量来存储梯度的二阶导数和参数的变化。
• Adadelta使用泄漏的平均值来保持对适当统计数据的运行估计。