同态与同构是抽象代数中的重要概念，它们用于描述两个代数结构之间的关系，下文从定义、性质、示例等方面详细介绍。
1.同态
1）定义
设 (G,⋅)(G, \cdot)(G,⋅) 和 (H,∗)(H, *)(H,∗) 是两个群（或其他代数结构），⋅\cdot⋅和∗*∗分别是G和H上的二元运算，若存在映射 f:G→Hf: G \to Hf:G→H 满足对于任意 a,b∈Ga, b \in Ga,b∈G，有： f(a⋅b)=f(a)∗f(b) f(a \cdot b) = f(a) * f(b) f(a⋅b)=f(a)∗f(b) ，则称 fff 为从 GGG 到 HHH 的同态。
2）性质
保持运算结构 ：同态映射保持代数结构中的运算关系，即对于运算 ∗*∗ 和 ⋅·⋅，若 f:G→Hf: G \to Hf:G→H 是同态，则 f(a∗b)=f(a)⋅f(b)f(a * b) = f(a) · f(b)f(a∗b)=f(a)⋅f(b)。
核和像的性质 ：同态的核 ker(f)\ker(f)ker(f) 是 GGG 的正规子群，反映了同态映射将哪些元素映射到了 HHH 的单位元。像 im(f)\operatorname{im}(f)im(f) 是 HHH 的子群，fff可以看做是从(G,⋅)(G, \cdot)(G,⋅) 到 (f(G),∗)(f(G), *)(f(G),∗) 的满同态。
传递性 ：若 f:G→Hf: G \to Hf:G→H 和 g:H→Kg: H \to Kg:H→K 是同态，则 g∘f:G→Kg \circ f: G \to Kg∘f:G→K 也是同态。
单位元映射 ：同态将单位元映射到单位元，即 f(eG)=eHf(e_G) = e_Hf(eG)=eH。
逆元映射 ：同态保持逆元，即 f(a−1)=(f(a))−1f(a^{-1}) = (f(a))^{-1}f(a−1)=(f(a))−1。
3）例子
①考虑整数加法群 (Z\mathbb{Z}Z,+) 和模 n 剩余类加法群
(Z\mathbb{Z}Z n ,+_n )，定义映射 φ:Z\mathbb{Z}Z→Z\mathbb{Z}Z n 为
φ(k)=[k] n，其中 [k] n表示k 所在的模 n 剩余类。对于任意a,b∈Z\mathbb{Z}Z，有
φ(a+b)=[a+b] n =[a] n +_n [b] n =φ(a) +_n φ(b)，所以 φ 是从(Z\mathbb{Z}Z,+) 到 (Z\mathbb{Z}Z n ,+_n) 的一个同态映射。
②设 G=(R,+)G = (\mathbb{R}, +)G=(R,+)，H=(R+,×)H = (\mathbb{R}^+, \times)H=(R+,×)，定义 f:G→Hf: G \to Hf:G→H 为 f(x)=exf(x) = e^xf(x)=ex。对于任意 a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}a,b∈R，有 f(a+b)=ea+b=ea×eb=f(a)×f(b)f(a + b) = e^{a+b} = e^a \times e^b = f(a) \times f(b)f(a+b)=ea+b=ea×eb=f(a)×f(b)，因此 fff 是同态。
2.同构
1）定义
同构是指两个代数结构之间保持运算的双射（一一对应且满射）映射。若 f:G→Hf: G \to Hf:G→H 是同态且是双射，则称 fff 为同构映射。此时称 GGG 和 HHH 是同构的，记作 G≅HG \cong HG≅H。
2）性质
双射性：同构是同态中的双射（既单射又满射），因此具有逆映射，且逆映射也是同构。
结构完全一致：两个同构的群在代数结构本质上完全相同，仅元素符号或表示方式可能不同。它们具有相同的运算性质、相同的子结构、相同的单位元、相同的逆元等。
保持所有运算关系：同构不仅保持运算，还保持所有代数关系，如子群、正规子群、中心等结构对应。
自同构群 ：一个群 GGG 的所有自同构（GGG 到自身的同构）构成群 Aut(G)\operatorname{Aut}(G)Aut(G)，称为自同构群。
传递性 ：若 G≅HG \cong HG≅H 且 H≅KH \cong KH≅K，则 G≅KG \cong KG≅K。
对称性 ：若 G≅HG \cong HG≅H，则 H≅GH \cong GH≅G。
3）例子
①反函数也是同构：如果 φ:A→B 是一个同构映射，那么它的反函数
φ−1:B→A也是一个同构映射。
②设 G=(Z,+)G = (\mathbb{Z}, +)G=(Z,+)，H=(2Z,+)H = (2\mathbb{Z}, +)H=(2Z,+)，定义 f:G→Hf: G \to Hf:G→H 为 f(n)=2nf(n) = 2nf(n)=2n。可见fff 是双射且满足 f(a+b)=2(a+b)=2a+2b=f(a)+f(b)f(a + b) = 2(a + b) = 2a + 2b = f(a) + f(b)f(a+b)=2(a+b)=2a+2b=f(a)+f(b)，因此 G≅HG \cong HG≅H。