数据结构二叉树(1)二叉树简单了解

二叉树

[1. 树概念及结构](#1. 树概念及结构)
- [1.1 树的概念](#1.1 树的概念)
- [1.2 树的相关概念](#1.2 树的相关概念)
- [1.3 树的表示](#1.3 树的表示)
- - [1.3.1 双亲表示法](#1.3.1 双亲表示法)
  - - [1.3.2 孩子表示法](#1.3.2 孩子表示法)
    - [1.3.3 孩子双亲表示法](#1.3.3 孩子双亲表示法)
    - [1.3.4 孩子兄弟表示法（重点结合图与代码解析）](#1.3.4 孩子兄弟表示法（重点结合图与代码解析）)
- [1.4 树在实际中的运用（Windows 文件系统的目录树结构）](#1.4 树在实际中的运用（Windows 文件系统的目录树结构）)
2.二叉树概念及结构
- [2.1 概念](#2.1 概念)
- [2.3 特殊的二叉树](#2.3 特殊的二叉树)
- [2.4 二叉树的性质](#2.4 二叉树的性质)
- - [性质 1：第 i 层最多结点数](#性质 1：第 i 层最多结点数)
  - [性质 2：深度为 h 的最大结点数](#性质 2：深度为 h 的最大结点数)
  - [性质 3：叶结点与度为 2 结点的关系](#性质 3：叶结点与度为 2 结点的关系)
  - [性质 4：满二叉树深度与结点数的关系](#性质 4：满二叉树深度与结点数的关系)
  - [性质 5：完全二叉树结点编号规律](#性质 5：完全二叉树结点编号规律)
  - 2.4题目讲解
  - - [题目 1](#题目 1)
    - - 关键知识调用
      - 推导过程
    - [题目 2](#题目 2)
    - - 关键知识调用
      - 推导过程
    - [题目 3](#题目 3)
    - - 关键知识调用
      - 推导过程
    - [题目 4](#题目 4)
    - - 关键知识调用
      - 推导过程
- [2.5 二叉树的存储结构](#2.5 二叉树的存储结构)
- - [2.5.1 顺序存储](#2.5.1 顺序存储)
  - [2.5.2 链式存储](#2.5.2 链式存储)
  - - （1）二叉链（基础形态）

1. 树概念及结构

1.1 树的概念

树的定义：

树是非线性数据结构 ，由 n（n≥0） 个有限结点组成，结点间通过层次关系组织。
形态特征：形似"倒挂的树"，根朝上、叶朝下，是递归定义的结构（子树也符合树的定义）。

根结点特性：

树有且仅有一个根结点 （n=0 时为空树，无结点；n>0 时根结点唯一）。
根结点无"前驱结点"，是整棵树的起点。

子树规则：

除根外，其余结点被划分为 M（M>0） 个互不相交的子集，每个子集是一棵"子树"。
子树的根结点：有且仅有 1 个前驱 （即父结点），但可含 0 或多个后继（子结点）。
核心约束：子树间绝对不能相交 ，否则破坏树形结构的层次独立性。
在树形结构中不会存在回路所以上图的第一二三个结构都不是树，存在回路结构的数据结构是后期会学的图。

1.2 树的相关概念

节点的度：
- 定义：一个节点包含的子树数量（即直接子结点的个数）。
- 示例（对应图）：A 的度是 6（直接子结点 B、C、D、E、F、G 共 6 个）。
叶节点（终端节点）：
- 定义：度为 0 的节点（无直接子结点，是树的"末端"）。
- 示例（对应图）：B、C、H、I、K、L、M、N、P、Q 等（无分支延伸）。
非终端节点（分支节点）：
- 定义：度≠0 的节点（有直接子结点，处于树的"中间层"）。
- 示例（对应图）：D（子结点 H）、E（子结点 I、J）、F（子结点 K、L、M、N）、G（无？不，G 无子结点？哦图中 G 可能无子结点？重新看：原树中 G 若无子结点则是叶节点？需修正：假设图中 G 无子结点则是叶节点，分支节点应为 D、E、F 等。需严格按图判断：D 有子 H，E 有子 I、J，F 有子 K、L、M、N，所以 D、E、F 是分支节点；A 度 6，也是分支节点）。
双亲节点（父节点）：
- 定义：若节点 有子结点，则称其为子结点的"父节点"。
- 示例（对应图）：A 是 B、C、D、E、F、G 的父节点；D 是 H 的父节点；E 是 I、J 的父节点。
孩子节点（子节点）：
- 定义：节点的子树根结点（即直接子结点）。
- 示例（对应图）：B、C、D、E、F、G 是 A 的孩子节点；H 是 D 的孩子节点。
树的度：
- 定义：整棵树中最大的节点的度（反映树的"分支密集程度"）。
- 示例（对应图）：A 的度是 6，其他节点度更小（如 D 度 1，E 度 2 等），因此树的度为 6 。
节点的层次：
- 定义：从根开始计数，根为第 1 层，根的子结点为第 2 层，依此类推（体现节点的"深度位置"）。
- 示例（对应图）：
  - A 在第 1 层；
  - B、C、D、E、F、G 在第 2 层；
  - H（D 的子）、I（E 的子）、J（E 的子）、K（F 的子）、L（F 的子）、M（F 的子）、N（F 的子）在第 3 层；
  - P（J 的子）、Q（J 的子）在第 4 层。
树的高度（深度）：
- 定义：树中节点的最大层次（反映树的"纵向规模"）。
- 示例（对应图）：最大层次是 4（P、Q 所在层），因此树的高度为 4 。
森林：
- 定义：由 m（m>0） 棵互不相交的树组成的集合（可理解为"多棵独立树的组合"）。
- 示例：若把原树拆分为 3 棵独立树（如 A 为根的树拆成 B、C 单独成树，其余成另一棵），则这 3 棵树构成森林（需保证子树不相交）。

1.3 树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系 ，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

1.3.1 双亲表示法

双亲表示法：

核心思路：用数组存储树中节点，每个节点额外记录其"父节点在数组中的下标"，通过父节点索引维护节点间的层次关系。

结构定义（伪代码）：

c 复制代码

#define MAX_NODE 100
typedef struct {
    DataType _data;       // 节点数据域
    int _parentIndex;     // 父节点在数组中的下标，根节点可设为 -1
} ParentTreeNode;
ParentTreeNode tree[MAX_NODE];

示例（结合类似逻辑，假设图中节点用数组存储）：

若根节点 A 是数组第 0 号元素，tree[0]._parentIndex = -1；

节点 B 是 A 的子节点，存于数组第 1 号，tree[1]._parentIndex = 0 ，以此类推。
优缺点：

优点：找父节点极快（直接通过下标访问），适合频繁查询父节点的场景。

缺点：找子节点需遍历整个数组 （逐个检查 _parentIndex），效率低；删除节点时需处理子节点 "认父" 问题，逻辑复杂。

1.3.2 孩子表示法

孩子表示法：

核心思路 ：用数组存节点，每个节点通过链表/数组存储其所有"子节点的索引/指针"，聚焦子节点关系的维护。

结构定义（伪代码，链表版） ：

c 复制代码

typedef struct ChildNode {
    int _childIndex;           // 子节点在数组中的下标
    struct ChildNode* _next;   // 指向下一个子节点
} ChildNode;

typedef struct {
    DataType _data;           // 节点数据域
    ChildNode* _childrenHead; // 子节点链表头指针
} ChildTreeNode;

ChildTreeNode tree[MAX_NODE];

示例（对应图中节点 B）：
节点 B 的子节点是 D、E、F，需创建 3 个 ChildNode，通过 _next 串联，tree[B 的下标]._childrenHead 指向该链表头。
优缺点：
优点：找子节点直接遍历链表 即可，适合频繁操作子节点的场景（如遍历子树）。
缺点：找父节点需遍历所有节点的子节点链表（检查是否包含当前节点），效率极低；链表操作有额外指针开销。

1.3.3 孩子双亲表示法

孩子双亲表示法：

核心思路 ：结合"双亲表示法"和"孩子表示法"，每个节点同时存储父节点索引 和子节点链表，兼顾父子关系的快速查询。

结构定义（伪代码） ：

c 复制代码

typedef struct ChildNode {
    int _childIndex;           
    struct ChildNode* _next;   
} ChildNode;

typedef struct {
    DataType _data;           
    int _parentIndex;         // 父节点下标
    ChildNode* _childrenHead; // 子节点链表头
} ChildParentTreeNode;

ChildParentTreeNode tree[MAX_NODE];

示例（对应图中节点 E）：
tree[E 的下标]._parentIndex 存父节点 B 的下标，_childrenHead 存子节点 H、I 的链表，同时满足父、子查询需求。
优缺点：
优点：同时支持父子节点的快速查询 （父节点直接下标访问，子节点遍历链表），功能全面。
缺点：空间开销大（每个节点存父索引 + 子链表指针），删除节点时需同时维护父、子关系，逻辑复杂。

1.3.4 孩子兄弟表示法（重点结合图与代码解析）

markdown 复制代码

**孩子兄弟表示法**：  
- **核心思路**：用二叉链表模拟树结构，每个节点仅存 **第一个子节点指针** 和 **下一个兄弟节点指针**，通过"孩子 + 兄弟"的链式关系，间接表达树的层次结构。  
- **结构定义（对应代码）**：  
  ```c
  typedef int DataType;
  struct Node {
      struct Node* _firstChild1;  // 指向第一个子节点（最左子节点）
      struct Node* _pNextBrother; // 指向下一个兄弟节点（同层右侧节点）
      DataType _data;             // 节点数据域
  };

结合图示的逐层解析：

根节点 A：
- _firstChild1 指向第一个子节点 B（A 的最左子节点是 B）；
- _pNextBrother 为 NULL（根节点无兄弟）；
- 数据域存 A 的值。
节点 B：
- _firstChild1 指向第一个子节点 D（B 的最左子节点是 D）；
- _pNextBrother 指向兄弟节点 C（B 的同层右侧兄弟是 C）；
- 数据域存 B 的值。
节点 D：
- _firstChild1 为 NULL（D 无子节点，是叶节点）；
- _pNextBrother 指向兄弟节点 E（D 的同层右侧兄弟是 E）；
- 数据域存 D 的值。
节点 E：
- _firstChild1 指向第一个子节点 H（E 的最左子节点是 H）；
- _pNextBrother 指向兄弟节点 F（E 的同层右侧兄弟是 F）；
- 数据域存 E 的值。
节点 H：
- _firstChild1 为 NULL（H 无子节点）；
- _pNextBrother 指向兄弟节点 I（H 的同层右侧兄弟是 I）；
- 数据域存 H 的值。
核心逻辑 （递归本质）：

每棵 "子树" 可通过 _firstChild1 展开（子节点链），而同层节点通过 _pNextBrother 串联（兄弟链）。例如，节点 B 的子树（D、E、F）由_firstChild1进入 D，再通过 D 的 _pNextBrother 遍历 E、F 。
优缺点：
- 优点：
  - 结构简洁：仅需两个指针即可表达任意树结构，空间开销小。
  - 天然支持递归遍历 ：通过 _firstChild1 深入子树，_pNextBrother 遍历同层，契合树的递归特性。
  - 灵活转换：可轻松将树转换为二叉树（树转二叉树的核心就是孩子兄弟表示法）。
- 缺点：
  - 查询父节点困难：需从根遍历查找（无直接父指针），若需频繁找父节点，需额外维护反向关系。
  - 对复杂操作（如删除子树）要求高：需同时断开孩子和兄弟指针，避免内存泄漏或结构断裂。

1.4 树在实际中的运用（Windows 文件系统的目录树结构）

Windows 文件系统的目录树结构 ：

映射关系：
- 根目录（如 C:\）对应树的根节点，是文件系统的起点。
- 文件夹（如 C:\Users）对应树的分支节点，可包含子文件夹（子节点）和文件（叶节点）。
- 文件（如 C:\Users\README.txt）对应树的叶节点（无下级内容）。
孩子兄弟表示法的隐形运用 ：

Windows 目录的存储逻辑，本质与"孩子兄弟表示法"相通：
- 每个文件夹（节点）的 "第一个子文件夹" 对应 _firstChild1，通过它进入子目录树；
- 同层的 "下一个兄弟文件夹/文件" 对应 _pNextBrother，通过它遍历当前目录的同级内容。
实际操作映射：
1. 打开文件夹 ：点击 C:\Users（父节点）→ 访问其 _firstChild1（如 Administrator 文件夹），再通过 _pNextBrother 遍历 Public 等同级文件夹。
2. 创建文件/文件夹 ：在某个文件夹（节点）下新增内容，相当于给该节点的 _firstChild1 或 _pNextBrother 链添加新节点。
3. 删除目录 ：需递归断开该节点的 _firstChild1（子目录树）和 _pNextBrother（兄弟链），确保文件系统结构完整。
优势体现 ：

树结构天然适合表达"层级嵌套"的文件关系，相比线性结构，能更直观、高效地组织和访问多层目录，契合人类对"分类存储"的需求。

2.二叉树概念及结构

2.1 概念

二叉树的定义：

是结点的有限集合，满足两种情况：
- 集合为空（空二叉树）；
- 由一个根节点 + 两棵互不相交的左子树、右子树 组成（左、右子树本身也是二叉树）。

二叉树的核心特性：

结点度数限制：

二叉树中不存在度大于 2 的结点 （每个结点最多有 2 个子结点，即左孩子、右孩子）。

示例：若某结点有 3 个子结点，则它不属于二叉树结构。
子树的有序性：

二叉树的左子树和右子树次序固定，不能颠倒 （交换左、右子树会形成不同的二叉树）。

示例：
- 树 1：根节点 A，左子树 B，右子树 C
- 树 2：根节点 A，左子树 C，右子树 B
  树 1 和树 2 是不同的二叉树，体现"左右有序"的特性。

二叉树的复合情况：

任意二叉树可由以下基础形态组合而成：

空树（无结点）；
仅含根节点（无左、右子树）；
根节点 + 左子树（右子树为空）；
根节点 + 右子树（左子树为空）；
根节点 + 左子树 + 右子树（左右均非空）。

2.3 特殊的二叉树

满二叉树：
- 定义：每一层的结点数都达到该层最大值 的二叉树。若层数为 K，则总结点数满足 2^K - 1。
- 数学推导（结合性质 2）：
  满二叉树第 1 层最多 1 个结点（2^(1-1)），第 2 层最多 2 个（2^(2-1)）...第 K 层最多 2^(K-1) 个。
  总结点数 = 等比数列求和 1 + 2 + 4 + ... + 2^(K-1) = 2^K - 1。
- 示例（K=4 的满二叉树）：
  第 1 层：1 个结点（根）
  第 2 层：2 个结点（根的左、右孩子）
  第 3 层：4 个结点（左孩子的左/右、右孩子的左/右）
  第 4 层：8 个结点
  总结点数 = 1 + 2 + 4 + 8 = 15 = 2^4 - 1，符合满二叉树定义。
完全二叉树：
- 定义：深度为 K、有 n 个结点的二叉树，若每个结点与深度为 K 的满二叉树中"编号 1~n 的结点"一一对应，则为完全二叉树。
- 核心特征：
  - 前 K-1 层是满的（结点数达最大值）；
  - 第 K 层的结点从左到右连续排列，无空缺。
- 与满二叉树的关系：
  满二叉树是特殊的完全二叉树 （当 n = 2^K - 1 时，完全二叉树退化为满二叉树）。
- 示例（K=3，n=5 的完全二叉树）：
  第 1 层：1 个结点（根）
  第 2 层：2 个结点（满）
  第 3 层：4 个结点（满）
  第 4 层： 3个节点 (左起连续，无空缺)
  总结点数 10，与满二叉树（K=4 时 15 个结点）的前 10 个编号对应，符合完全二叉树定义。

2.4 二叉树的性质

性质 1：第 i 层最多结点数

规则：若规定根节点的层数为1，对于一棵非空二叉树，其第i层上最多有2^(i - 1)个结点。
推导逻辑：

第1层（根节点层）：只有1个根节点，代入公式2^(1 - 1) = 1，符合。
第2层：最多能有2个结点（根节点的左右孩子），代入公式2^(2 - 1) = 2，符合。
第3层：基于第2层的2个结点，每个结点最多又能衍生2个子结点，共2×2 = 4个，代入公式2^(3 - 1) = 4，符合。
以此类推，每一层的最大结点数都是上一层的2倍，满足等比数列规律，第i层最多结点数为2^(i - 1) 。
示例：
一棵深度为4的二叉树，第3层最多结点数是2^(3 - 1) = 4个；第4层最多结点数是2^(4 - 1) = 8个。

性质 2：深度为 h 的最大结点数

规则：若规定根节点的层数为1，深度为h的二叉树，其最大结点数是2^h - 1。
推导逻辑 ：

深度为h的二叉树，最大结点数是各层最大结点数的总和。由性质1可知，第i层最多有2^(i - 1)个结点，那么深度为h时，总和就是等比数列求和：
S = 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^(h - 1)

这是首项a1 = 1、公比q = 2、项数h的等比数列，根据等比数列求和公式S = (q^h - 1)/(q - 1) ，代入q = 2可得S = 2^h - 1 。
示例：

深度为3的二叉树，最大结点数是2^3 - 1 = 7个，对应满二叉树的情况（第1层1个、第2层2个、第3层4个，总和7个）。

性质 3：叶结点与度为 2 结点的关系

规则：对任何一棵二叉树，若度为0的叶结点个数为n0，度为2的分支结点个数为n2，则有n0 = n2 + 1。
推导逻辑：

设二叉树中总的结点数为n，度为1的结点数为n1。根据"结点总数 = 各度数结点数之和"，可得n = n0 + n1 + n2 。
再看二叉树中的边数（分支数）：度为1的结点贡献1条边，度为2的结点贡献2条边，叶结点贡献0条边，所以总边数e = n1 + 2n2 。
又因为二叉树中除根节点外，每个结点都有一条入边，所以边数e = n - 1（结点总数减1）。
联立e = n1 + 2n2和e = n - 1 = (n0 + n1 + n2) - 1，化简后可得n0 = n2 + 1 。
示例：
若某二叉树有5个度为2的结点（n2 = 5），则叶结点数n0 = 5 + 1 = 6个。

性质 4：满二叉树深度与结点数的关系

规则：若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树，其深度h = log₂(n + 1)（log₂表示以2为底的对数）。
推导逻辑 ：

满二叉树的结点数满足性质2，即深度为h的满二叉树结点数n = 2^h - 1。对该公式变形求解h：

由n = 2^h - 1，移项可得2^h = n + 1，两边同时取以2为底的对数，得到h = log₂(n + 1) 。
示例：

一个满二叉树有15个结点（n = 15），代入公式h = log₂(15 + 1) = log₂(16) = 4，即深度为4，与实际结构（4层，结点数2^4 - 1 = 15 ）相符。

性质 5：完全二叉树结点编号规律

规则：对于具有n个结点的完全二叉树，按从上至下、从左至右顺序从0开始编号，序号为i的结点有如下关系：

双亲结点序号 ：若i > 0，则i位置节点的双亲序号为(i - 1) / 2（整数除法，自动取整）；若i = 0，则为根节点，无双亲。
左孩子结点序号 ：若2i + 1 < n，则左孩子序号为2i + 1；若2i + 1 ≥ n，则无左孩子。
右孩子结点序号 ：若2i + 2 < n，则右孩子序号为2i + 2；若2i + 2 ≥ n，则无右孩子。

推导逻辑 ：

完全二叉树层序编号后，结点的父子关系可通过下标计算快速推导。以数组存储视角看，结点i的左孩子自然落在2i + 1位置、右孩子落在2i + 2位置（类似堆结构的下标规则）；而找双亲时，基于孩子下标反推，就能得到(i - 1) / 2的计算方式。

示例：

假设有一个完全二叉树，结点总数n = 10，各结点编号0~9。

编号i = 3的结点：
双亲序号(3 - 1) / 2 = 1；
左孩子序号2×3 + 1 = 7（7 < 10，存在左孩子）；
右孩子序号2×3 + 2 = 8（8 < 10，存在右孩子）。
编号i = 8的结点：
双亲序号(8 - 1) / 2 = 3；
左孩子序号2×8 + 1 = 17（17 ≥ 10，无左孩子）；
右孩子序号2×8 + 2 = 18（18 ≥ 10，无右孩子）。

2.4题目讲解

题目 1

复制代码

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）
A 不存在这样的二叉树
B 200
C 198
D 199

关键知识调用

利用二叉树性质 3：对任何二叉树，叶结点数 n₀ = 度为 2 的结点数 n₂ + 1 ，同时结合"结点总数 = 度为 0 的结点数 + 度为 1 的结点数 + 度为 2 的结点数"（即 n = n₀ + n₁ + n₂ ）

推导过程

已知 n = 399（总结点数），n₂ = 199（度为 2 的结点数）。
根据性质 3，先算 n₀ = n₂ + 1 = 199 + 1 = 200 。
再验证总结点数：n = n₀ + n₁ + n₂ → 399 = 200 + n₁ + 199 → 解得 n₁ = 0 。
- n₁ 是度为 1 的结点数，值为 0 是合理的（二叉树允许度为 1 的结点数为 0 ）。
因此，叶子结点数 n₀ = 200 ，对应选项 B 。

题目 2

复制代码

2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）
A n
B n+1
C n-1
D n/2

关键知识调用

完全二叉树的结点编号性质、二叉树度数关系（n₀ = n₂ + 1 ），以及完全二叉树的结点数奇偶性与 n₁ 的关系：

完全二叉树中，度为 1 的结点数 n₁ 只能是 0 或 1 （因完全二叉树最后一层结点靠左排列，若总结点数为偶数，最后一层结点数为偶数，n₁ = 1；若为奇数，n₁ = 0 ）。

推导过程

设总结点数 n总 = 2n（偶数），则完全二叉树中 n₁ = 1（因总结点数为偶数时，度为 1 的结点数必为 1 ）。
根据二叉树结点总数公式：n总 = n₀ + n₁ + n₂ → 2n = n₀ + 1 + n₂ 。
结合性质 3（n₀ = n₂ + 1 ），将 n₂ = n₀ - 1 代入上式：
2n = n₀ + 1 + (n₀ - 1) → 2n = 2n₀ → 解得 n₀ = n ？这里有问题，重新推导：

正确代入：
2n = n₀ + 1 + n₂ ，又 n₂ = n₀ - 1 ，所以：
2n = n₀ + 1 + n₀ - 1 → 2n = 2n₀ → n₀ = n ？但这与完全二叉树特性矛盾，说明推导漏了完全二叉树的深度特性。

重新梳理：

完全二叉树中，n₁ 为 0 或 1 。因 n总 = 2n 是偶数，所以 n₁ = 1（若为奇数则 n₁=0 ）。

又 n₀ = n₂ + 1 ，且 n总 = n₀ + n₁ + n₂ = (n₂ + 1) + 1 + n₂ = 2n₂ + 2 。

已知 n总 = 2n ，则 2n₂ + 2 = 2n → n₂ = n - 1 。

因此 n₀ = n₂ + 1 = (n - 1) + 1 = n ？但这是错误的，实际完全二叉树结点数为偶数时，叶子结点数应为 n + 1 ，说明前面逻辑有误。

正确思路：

完全二叉树中，若总结点数为 N ：
- 当 N 为偶数，n₁ = 1 ，且 N = 2^h - 1 + x（x 是最后一层结点数，1 ≤ x ≤ 2^(h-1) ）。
  但更简单的方式是用公式：
  对完全二叉树，n₀ = ⌈N/2⌉（向上取整），当 N=2n（偶数），n₀ = n + 1 ？不，重新用性质推导：
正确推导：

由 n总 = n₀ + n₁ + n₂ ，且 n₀ = n₂ + 1 ，得 n总 = 2n₂ + 1 + n₁ 。

因完全二叉树 n₁ ∈ {0,1} ，且 n总 = 2n（偶数）：
- 若 n₁ = 0 ，则 2n = 2n₂ + 1 → 2(n - n₂) = 1 ，无整数解，矛盾。
- 若 n₁ = 1 ，则 2n = 2n₂ + 1 + 1 → 2n = 2n₂ + 2 → n = n₂ + 1 → n₂ = n - 1 。
  因此 n₀ = n₂ + 1 = (n - 1) + 1 = n ？这显然不对，实际例子验证：
举例：完全二叉树结点数 N=4（即 2n=4 → n=2 ），此时结构是：

层 1：1 个结点（根）

层 2：2 个结点（根的左右孩子）

层 3：1 个结点（左孩子的左孩子，右孩子空缺？不，完全二叉树最后一层结点需连续。哦，N=4 的完全二叉树结构是：

层 1：1

层 2：2、3

层 3：4（左孩子的左孩子？不，层 2 有 2 个结点，层 3 最多 4 个，但 N=4 时，层 3 只有 1 个结点？不对，完全二叉树的定义是"与满二叉树前 N 个结点一一对应"，N=4 的完全二叉树结构是：

编号 0（根）、1（左）、2（右）、3（左孩子的左）→ 度为 1 的结点是编号 1（只有左孩子，无右孩子），所以 n₁=1 ；n₀ 是编号 2（右孩子，无后代）、3（左孩子的左，无后代）→ n₀=2 ；n₂ 是编号 0（有左右孩子）→ n₂=1 。

此时 n总=4=2n → n=2 ，n₀=2 ，符合 n₀ = n ？但根据选项，这题正确答案应为 A n ？但之前逻辑混乱，重新整理：

正确结论：

当完全二叉树结点数为 2n（偶数），n₁=1 ，由 n₀ = n₂ + 1 和 n总 = n₀ + n₁ + n₂ ，代入得：
2n = (n₂ + 1) + 1 + n₂ → 2n = 2n₂ + 2 → n₂ = n - 1 → n₀ = n 。

所以答案选 A n （举例 N=4 时，n=2 ，n₀=2 ，符合）。

题目 3

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3.一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（ ）
A 11
B 10
C 8
D 12

关键知识调用

利用二叉树性质 4：若根节点层数为 1，满二叉树深度 h = log₂(n + 1) （n 是满二叉树结点数）；

完全二叉树的深度满足：2^(h-1) ≤ n < 2^h（n 是完全二叉树结点数，h 是深度）。

推导过程

设完全二叉树深度为 h（根节点层数为 1 ），则结点数 n 满足：
2^(h-1) ≤ 531 < 2^h 。
计算幂次：
- 2^9 = 512 ，2^10 = 1024 。
- 代入得：2^(10-1) = 512 ≤ 531 < 1024 = 2^10 → 满足 h=10 时的不等式。
因此，树的高度为 10 ，对应选项 B 。

题目 4

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4.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）
A 383
B 384
C 385
D 386

关键知识调用

完全二叉树结点数与度数关系（n₀ = n₂ + 1 ），以及完全二叉树结点数奇偶性对 n₁ 的影响（奇数结点数时 n₁=0 ，偶数时 n₁=1 ）。

推导过程

已知完全二叉树结点数 n总 = 767（奇数），因此 n₁ = 0（完全二叉树中，奇数结点数时度为 1 的结点数为 0 ）。
根据结点总数公式：n总 = n₀ + n₁ + n₂ = n₀ + 0 + n₂ 。
结合性质 3（n₀ = n₂ + 1 ），代入得：
767 = (n₂ + 1) + n₂ → 767 = 2n₂ + 1 → 解得 n₂ = 383 。
因此，n₀ = n₂ + 1 = 383 + 1 = 384 ，对应选项 B 。

2.5 二叉树的存储结构

2.5.1 顺序存储

核心定义 ：

使用数组存储二叉树，利用数组下标模拟二叉树的层次关系。物理上是连续的数组空间，逻辑上对应二叉树的结点层级。

适用场景与限制：

仅完全二叉树适合顺序存储，因完全二叉树结点按层序排列时无"空隙"，数组空间能被充分利用。
若用于非完全二叉树，需填充空结点以维持层序关系，会导致空间浪费（如非完全二叉树的"空缺"位置需占用数组元素，但无实际结点）。

底层逻辑与示例（结合完全二叉树顺序存储图）：

完全二叉树按层序（从上到下、从左到右）编号，数组下标与结点编号一一对应。
示例（完全二叉树顺序存储图）：
二叉树结点层序为 A(0)、B(1)、C(2)、D(3)、E(4)、F(5)、G(6)，数组存储为 [A,B,C,D,E,F,G]。
结点 B(1) 的左孩子下标为 2×1+1=3（即 D），右孩子下标为 2×1+2=4（即 E），符合完全二叉树的下标规则。

非完全二叉树的空间浪费问题（结合非完全二叉树顺序存储图）：

非完全二叉树层序编号时，空缺结点需占用数组位置。
示例（非完全二叉树顺序存储图）：
二叉树实际结点为 A(0)、B(1)、C(2)、D(4)、E(5)、F(9)，数组需填充空缺下标 3、6、7、8，导致空间浪费。
这些空缺位置无实际结点，但需占用数组元素（存储空值或标记），降低空间利用率。

实际应用 ：

现实中仅堆（一种特殊的完全二叉树） 常用数组顺序存储，因堆的操作依赖层序下标规则，能高效利用数组特性。

2.5.2 链式存储

核心原理 ：

利用链表结构存储二叉树，通过指针关联节点间的逻辑关系（父与子、兄与弟等），摆脱数组顺序存储对"完全二叉树形态"的依赖，适配任意结构的二叉树。

（1）二叉链（基础形态）

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typedef int BTDataType; 
struct BinaryTreeNode {
    struct BinaryTreeNode* _pLeft;  // 指向左孩子节点，空则为NULL
    struct BinaryTreeNode* _pRight; // 指向右孩子节点，空则为NULL
    BTDataType _data;               // 节点存储的数据
};

结构拆解：
- _pLeft / _pRight：通过指针建立 "父→子" 的关联，左、右子树区分严格，体现二叉树的有序性。
- _data：承载节点的实际数据（如数值、字符等）。
示例（对应二叉链表图）：

二叉树节点1的左孩子是2、右孩子是3，则代码构建如下：

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// 构建节点
struct BinaryTreeNode node1 = {. _pLeft = &node2, ._pRight = &node3, ._data = 1};
struct BinaryTreeNode node2 = {. _pLeft = &node4, ._pRight = &node5, ._data = 2};
struct BinaryTreeNode node3 = {. _pLeft = NULL,   ._pRight = NULL,   ._data = 3};
// ... 其他节点同理

特性：

空间随节点动态分配，无需预占内存，适配非完全二叉树。
操作灵活（增删节点仅需调整指针），但仅支持 "父→子" 的单向遍历。

（2）三叉链（扩展形态，含父指针）

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typedef int BTDataType; 
struct BinaryTreeNode {
    struct BinaryTreeNode* _pParent; // 指向父节点，根节点为NULL
    struct BinaryTreeNode* _pLeft;   // 指向左孩子节点
    struct BinaryTreeNode* _pRight;  // 指向右孩子节点
    BTDataType _data;                // 节点存储的数据
};

结构拆解：

新增_pParent指针，建立 "子→父" 的反向关联，实现双向遍历（父到子、子到父）。
示例（对应三叉链表图）：
节点2的父是1、左孩子是4、右孩子是5，代码构建：

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struct BinaryTreeNode node2 = {
    ._pParent = &node1,  // 反向关联父节点
    ._pLeft = &node4, 
    ._pRight = &node5, 
    ._data = 2
};
struct BinaryTreeNode node4 = {
    ._pParent = &node2,  // 父节点为2
    ._pLeft = NULL,      
    ._pRight = &node6,   
    ._data = 4
};

特性：

支持双向遍历，适合需频繁回溯的场景（如红黑树旋转、AVL 树平衡调整）。
空间开销更大（多一个指针域），但逻辑更完整。

数据结构 二叉树(1)二叉树简单了解

二叉树

1. 树概念及结构

1.1 树的概念

1.2 树的相关概念

1.3 树的表示

1.3.1 双亲表示法

1.3.2 孩子表示法

1.3.3 孩子双亲表示法

1.3.4 孩子兄弟表示法（重点结合图与代码解析）

1.4 树在实际中的运用（Windows 文件系统的目录树结构）

2.二叉树概念及结构

2.1 概念

2.3 特殊的二叉树

2.4 二叉树的性质

性质 1：第 i 层最多结点数

性质 2：深度为 h 的最大结点数

性质 3：叶结点与度为 2 结点的关系

性质 4：满二叉树深度与结点数的关系

性质 5：完全二叉树结点编号规律

2.4题目讲解

题目 1

关键知识调用

推导过程

题目 2

关键知识调用

推导过程

题目 3

关键知识调用

推导过程

题目 4

关键知识调用

推导过程

2.5 二叉树的存储结构

2.5.1 顺序存储

2.5.2 链式存储

（1）二叉链（基础形态）

数据结构二叉树(1)二叉树简单了解