彩笔运维勇闯机器学习--多元线性回归

前言

之前讨论了一元线性回归，主要是qps与cpu的关系，但是现实中cpu只是系统指标的一部分，还有内存、io、网络等等，本小节就来讨论一下，通过多个系统参数对于qps的影响

算法

多元线性回归，就是讨论多个自变量对结果造成的影响

开始探索

老规矩，先来看一看怎么快速使用多元线性回归

1. scikit-learn包的使用

先不管什么鸡r原理，我目前也不想懂，我就需要看到效果，怎么进行多元回归分析。好的，请出老朋友，scikit-learn包，帮助我们快速上手

安装

pip3 install -U scikit-learn

使用

from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import mean_squared_error, r2_score
import pandas as pd
import numpy as np


data = {
    'result': [0.63, 0.72, 0.72, 0.63, 0.57, 0.52, 0.48, 0.47],
    'feature1': [22.48, 19.50, 18.02, 16.97, 15.78, 15.11, 14.02, 13.24],
    'feature2': [42.77, 59.68, 35.09, 67.82, 43.48, 57.43, 54.85, 34.09],
}

df = pd.DataFrame(data)

X = df[[
    'feature1',
    'feature2',
]]
y = df['result']

model = LinearRegression()
model.fit(X, y)

# 输出各自变量的系数
print("回归系数:", model.coef_)

y_pred = model.predict(X)
print("R²:", r2_score(y, y_pred))
print("MSE:", mean_squared_error(y, y_pred))

三个特征，分别为feature1 feature2 feature3，它们共同作用于result

脚本！启动:

2. 报告解读

与一元线性回归类似

• MSE：均方误差，用于衡量模型预测值与真实值之间的差异，越趋于0越好
• R²：决定系数，用于评估线性回归模型拟合优度的重要指标，其取值范围为[0, 1]
• 回归系数：每个自变量的权重，表示自变量对结果的影响程度，+表示正相关，-表示负相关

深入理解多元线性回归

多元线性回归就是探索多个自变量对于结果的影响，相比于一元线性回归，它更加复杂，变化更多，但是适用性更广

1. 数学模型

\[y = β_0 + β_1x_1 + β_2x_2 + \dots + β_nx_n + ϵ \]

• \(β_0\) 叫做截距，在模型中起到了"基准值"的作用，就是当自变量为0的时候，因变量的基准值
• \(β_1\) \(β_2\) \(\dots\) \(β_n\) 叫做自变量系数或者回归系数，描述了自变量对结果的影响方向和大小
  • 多元回归中，依然使用最小二乘法，是scikit-learn包的默认算法
• ϵ是误差项，代表了模型未能解释的部分

2. 损失函数

线性回归通常使用均方误差（MSE）来作为损失函数，衡量测试值与真实值之间的差异

\[\text{MSE} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2 \]

其中\(y_i\)是真实值，\(\hat{y}_i\)是预测值

正如前文提到，MSE中真实值与预测值，有平方计算，那就会放大误差，所以MSE可以非常有效的检测误差项

3. 最小二乘法

与一元回归同理，常见的方法是最小二乘法，只不过推导方式要比一元回归更加复杂

4. 决定系数

用于评估线性回归模型拟合优度的重要指标，其取值范围为 [0, 1]

\[R^2 = 1 - \frac{\sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}i)^2}{\sum{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2} \]

其中\(y_i\)是真实值，\(\hat{y}_i\)是预测值，\(\bar{y}\)是均值

5. 调整决定系数

先来看下决定系数的公式

\[R^2 = 1 - \frac{\sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}i)^2}{\sum{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2}=1 - \frac{\sum_{i=1}^{n} (y_i - (β_0 + β_1x_1 + β_2x_2 + \dots + β_nx_n + ϵ))^2}{\sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2} \]

随着自变量 \(x\) 的增加，\(y_i - (β_0 + β_1x_1 + β_2x_2 + \dots + β_nx_n + ϵ)\) 会越来越大，作为分子，导致R²也会越来越大。

在多元回归当中，只要增加自变量个数，就有可能让R²提升，所以单纯看R²是不真实的，需要额外的指标来判断

import numpy as np
import pandas as pd
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.metrics import r2_score

def adjusted_r2(r2, n, p):
    return 1 - (1 - r2) * (n - 1) / (n - p - 1)

np.random.seed(0)
n_samples = 1000

feature1 = np.random.rand(n_samples, 1)
result = 5 * feature1[:, 0] + np.random.normal(0, 10, n_samples)

data1 = {
    'result': list(result),
    'feature1': list(feature1),
}

df = pd.DataFrame(data1)

X1 = df[[
    'feature1',
]]
y1 = df['result']

model1 = LinearRegression().fit(X1, y1)
y_pred = model1.predict(X1)
r2_1 = r2_score(y1, y_pred)
print("\n模型1（feature1）：")
print(f"R² = {r2_1:.4f}")

features = {
    'feature1': list(feature1),
    'feature2': list(np.random.rand(n_samples, 1)),
    'feature3': list(np.random.rand(n_samples, 1)),
    'feature4': list(np.random.rand(n_samples, 1)),
    'feature5': list(np.random.rand(n_samples, 1)),
    'feature6': list(np.random.rand(n_samples, 1)),
    'feature7': list(np.random.rand(n_samples, 1)),
    'feature8': list(np.random.rand(n_samples, 1)),
    'feature9': list(np.random.rand(n_samples, 1)),
}
data2 = {
    'result': list(result),
}
data2.update(features)
df2 = pd.DataFrame(data2)
y2 = df2['result']

X2 = df2[[
    'feature1',
    'feature2',
    'feature3',
    'feature4',
    'feature5',
    'feature6',
    'feature7',
    'feature9',
]]

model2 = LinearRegression().fit(X2, y2)
y_pred = model2.predict(X2)
r2_2 = r2_score(y2, y_pred)
print("\n模型2（feature1 ~ 9）：")
print(f"R² = {r2_2:.4f}")

脚本！启动:

从1个特征，上升到9个特征，R²上升了一个百分点，0.0145 --> 0.0213，理论上模型的泛化能力上升了，但正如之前分析的，随着参数的增多，有概率让R²提升，但是模型没有得到优化。所以需要有额外的指标来判断

调整决定系数：

\[R^2_{\text{adj}} = 1 - \left( \frac{(1 - R^2) (n - 1)}{n - k - 1} \right) \]

• R²：决定系数
• n：样本数
• k：自变量（特征）数量

调整决定系数的特点：

• 惩罚不必要的变量：在计算时考虑了变量的个数，避免了无意义变量的加入带来的虚假提升。

• 更公平地比较不同的模型：当模型的自变量个数不同，直接比较决定系数可能会产生误导，而调整决定系数提供了更公平的衡量标准

• 在特征选择时更有参考价值：如果加入新变量后，调整决定系数下降，则说明这个变量可能是不必要的；如果调整决定系数上升，说明新变量有助于提升模型的解释能力。

  import numpy as np
  import pandas as pd
  from sklearn.linear_model import LinearRegression
  from sklearn.metrics import r2_score

  def adjusted_r2(r2, n, p):
  return 1 - (1 - r2) * (n - 1) / (n - p - 1)

  np.random.seed(0)
  n_samples = 1000

  feature1 = np.random.rand(n_samples, 1)
  result = 5 * feature1[:, 0] + np.random.normal(0, 10, n_samples)

  data1 = {
  'result': list(result),
  'feature1': list(feature1),
  }

  df = pd.DataFrame(data1)

  X1 = df[[
  'feature1',
  ]]
  y1 = df['result']

  model1 = LinearRegression().fit(X1, y1)
  y_pred = model1.predict(X1)
  r2_1 = r2_score(y1, y_pred)
  r2_adj_1 = adjusted_r2(r2_1, n_samples, 1)
  print("\n模型1（feature1）：")
  print(f"R² = {r2_1:.4f}, Adjusted R² = {r2_adj_1:.4f}")

  features = {
  'feature1': list(feature1),
  'feature2': list(np.random.rand(n_samples, 1)),
  'feature3': list(np.random.rand(n_samples, 1)),
  'feature4': list(np.random.rand(n_samples, 1)),
  'feature5': list(np.random.rand(n_samples, 1)),
  'feature6': list(np.random.rand(n_samples, 1)),
  'feature7': list(np.random.rand(n_samples, 1)),
  'feature8': list(np.random.rand(n_samples, 1)),
  'feature9': list(np.random.rand(n_samples, 1)),
  }
  data2 = {
  'result': list(result),
  }
  data2.update(features)
  df2 = pd.DataFrame(data2)
  y2 = df2['result']

  X2 = df2[[
  'feature1',
  'feature2',
  'feature3',
  'feature4',
  'feature5',
  'feature6',
  'feature7',
  'feature8',
  'feature9',
  ]]

  model2 = LinearRegression().fit(X2, y2)
  y_pred = model2.predict(X2)
  r2_2 = r2_score(y2, y_pred)
  r2_adj_2 = adjusted_r2(r2_2, n_samples, len(features.keys()))
  print("\n模型2（feature1 ~ 9）：")
  print(f"R² = {r2_2:.4f}, Adjusted R² = {r2_adj_2:.4f}")

我们看到，虽然决定系数R²上升了，但是调整决定系数却下降了，这就表示虽然添加了额外的8个特征，并没有使得模型解释度上升，反而下降了

最后说下调整决定系数的取值范围

\[-\infty < R^2_{\text{adj}} \leq 1 \]

• 接近1：模型拟合非常好，自变量对因变量解释力强
• 接近0：模型几乎没有解释力，拟合效果很差
• 小于0：模型比用常数（均值）预测还差，严重不合理。可能过拟合或选错变量了

没错，调整决定系数是可以小于0的

Lasso回归

简单概括就是可以自动筛选"无用特征"，并且放弃，然后重新训练模型。而筛选特征的方式是，经过lasso模型训练之后，无用特征的系数（注意这里不是线性回归系数，是lasso训练之后的回归系数）被标记为0

1. 数学模型

\[\mathcal{L} = \frac{1}{2n} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}i)^2 + \lambda \sum{j=1}^{p} |β_j| \]

2. 实践

继续上文的例子，新加了8个特征，但是造成的结果却是调整R²反而下降了，这就说明了有无用的特征加入了进来，这时我们用lasso进行特征筛选

from sklearn.preprocessing import StandardScaler
scaler = StandardScaler()
X_scaled = scaler.fit_transform(X2)

from sklearn.linear_model import Lasso
lasso = Lasso(alpha=0.1)

lasso.fit(X_scaled, y2)

for i, coef in enumerate(lasso.coef_, 1):
    print(f'x{i} 的系数：{coef:.4f}')

找到了2个特征的系数为0，x4与x7，将这两个特征踢掉

features = {
    'feature1': list(feature1),
    'feature2': list(np.random.rand(n_samples, 1)),
    'feature3': list(np.random.rand(n_samples, 1)),
    # 'feature4': list(np.random.rand(n_samples, 1)),
    'feature5': list(np.random.rand(n_samples, 1)),
    'feature6': list(np.random.rand(n_samples, 1)),
    # 'feature7': list(np.random.rand(n_samples, 1)),
    'feature8': list(np.random.rand(n_samples, 1)),
    'feature9': list(np.random.rand(n_samples, 1)),
}

X2 = df2[[
    'feature1',
    'feature2',
    'feature3',
    # 'feature4',
    'feature5',
    'feature6',
    # 'feature7',
    'feature8',
    'feature9',
]]

再运行一遍

去掉了2个无用的特征，带来的就是模型R²的上升，并且调整R²也跟着上升了，说明了这些新加入的特征是真的有效果

lasso回归可以自动帮我们筛选特征，而刚才我们是先通过lasso回归将无用特征筛选出来，并且手动去掉，而这一切lasso回归可以自动帮我们完成

记住这个值，加入新的特征，模型R²0.0211，调整R²0.0142

下面通过lasso自动筛选来完成，没有去掉特征，直接将下面代码加入

from sklearn.preprocessing import StandardScaler
scaler = StandardScaler()
X_scaled = scaler.fit_transform(X2)

from sklearn.linear_model import Lasso
lasso = Lasso(alpha=0.1)
lasso.fit(X_scaled, y2)

y_lasso = lasso.predict(X_scaled)
r2_lasso = r2_score(y2, y_lasso)
r2_adj_lasso = adjusted_r2(r2_lasso, n_samples, 7)
print("\nlasso模型：")
print(f"R² = {r2_lasso:.4f}, Adjusted R² = {r2_adj_lasso:.4f}")

脚本！启动：

不解释了！

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至此，本文结束

在下才疏学浅，有撒汤漏水的，请各位不吝赐教...