kruskal算法
prim 算法是维护节点的集合，而 Kruskal 是维护边的集合。
kruscal的思路：
- 边的权值排序，因为要优先选最小的边加入到生成树里
- 遍历排序后的边
- 如果边首尾的两个节点在同一个集合，说明如果连上这条边图中会出现环
- 如果边首尾的两个节点不在同一个集合，加入到最小生成树，并把两个节点加入同一个集合
这个算法其实是从离散数学的图论那一章衍生出来的，具体的过程可以在B站找一个动态视频看一看，文字演示比较难描述。
代码实现中，还有一个需要注意的点：如果将两个节点加入同一个集合，又如何判断两个节点是否在同一个集合呢？
这里就涉及到之前的并查集。
并查集主要就两个功能：
- 将两个元素添加到一个集合中
- 判断两个元素在不在同一个集合
本题代码如下，已经详细注释：
cpp
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
// l,r为 边两边的节点，val为边的数值
struct Edge {
int l, r, val;
};
// 节点数量
int n = 10001;
// 并查集标记节点关系的数组
vector<int> father(n, -1); // 节点编号是从1开始的，n要大一些
// 并查集初始化
void init() {
for (int i = 0; i < n; ++i) {
father[i] = i;
}
}
// 并查集的查找操作
int find(int u) {
return u == father[u] ? u : father[u] = find(father[u]); // 路径压缩
}
// 并查集的加入集合
void join(int u, int v) {
u = find(u); // 寻找u的根
v = find(v); // 寻找v的根
if (u == v) return ; // 如果发现根相同，则说明在一个集合，不用两个节点相连直接返回
father[v] = u;
}
int main() {
int v, e;
int v1, v2, val;
vector<Edge> edges;
int result_val = 0;
cin >> v >> e;
while (e--) {
cin >> v1 >> v2 >> val;
edges.push_back({v1, v2, val});
}
// 执行Kruskal算法
// 按边的权值对边进行从小到大排序
sort(edges.begin(), edges.end(), [](const Edge& a, const Edge& b) {
return a.val < b.val;
});
// 并查集初始化
init();
// 从头开始遍历边
for (Edge edge : edges) {
// 并查集，搜出两个节点的祖先
int x = find(edge.l);
int y = find(edge.r);
// 如果祖先不同，则不在同一个集合
if (x != y) {
result_val += edge.val; // 这条边可以作为生成树的边
join(x, y); // 两个节点加入到同一个集合
}
}
cout << result_val << endl;
return 0;
}大家可以根据代码按照顺序走一遍，可以对算法有一个更清晰的理解。
然后看下一个算法：拓扑排序
本题是拓扑排序的经典题目。
一聊到拓扑排序，可能会想这是排序，不会想到这是图论算法。
其实拓扑排序是经典的图论问题。
拓扑排序的应用场景：
大学排课，例如 先上A课，才能上B课，上了B课才能上C课，上了A课才能上D课，等等一系列这样的依赖顺序。 问给规划出一条完整的上课顺序。
拓扑排序在文件处理上也有应用，在做项目安装文件包的时候，经常发现复杂的文件依赖关系， A依赖B，B依赖C，B依赖D，C依赖E 等等。
如果给出一条线性的依赖顺序来下载这些文件呢？
当上面的依赖关系是一百对，一千对甚至上万个依赖关系，这些依赖关系中可能还有循环依赖，你如何发现循环依赖呢，又如果排出线性顺序呢？
所以拓扑排序就是专门解决这类问题的。
概括来说，给出一个 有向图，把这个有向图转成线性的排序就叫拓扑排序。
当然拓扑排序也要检测这个有向图是否有环，即存在循环依赖的情况，因为这种情况是不能做线性排序的。
所以拓扑排序也是图论中判断有向无环图的常用方法。
拓扑排序指的是一种 解决问题的大体思路， 而具体算法，可能是广搜也可能是深搜。
其实只要能在把 有向无环图 进行线性排序 的算法 都可以叫做 拓扑排序。
实现拓扑排序的算法有两种：卡恩算法（BFS）和DFS
卡恩1962年提出这种解决拓扑排序的思路
一般来说只需要掌握 BFS （广度优先搜索）就可以了，清晰易懂，如果还想多了解一些，可以再去学一下 DFS 的思路，但 DFS 不是本篇重点。
接下来我们来讲解BFS的实现思路。
以题目中示例为例如图：
做拓扑排序的话，如果肉眼去找开头的节点，一定能找到 节点0 吧，都知道要从节点0 开始。
但为什么能找到 节点0呢，因为我们肉眼看着 这个图就是从 节点0出发的。
作为出发节点，它有什么特征？
节点0 的入度 为0 出度为2， 也就是 没有边指向它，而它有两条边是指出去的。
节点的入度表示 有多少条边指向它，节点的出度表示有多少条边 从该节点出发。
所以当做拓扑排序的时候，应该优先找入度为 0 的节点，只有入度为0，它才是出发节点。 理解以上内容很重要！
接下来给出 拓扑排序的过程，两步：
- 找到入度为0 的节点，加入结果集
- 将该节点从图中移除
循环以上两步，直到 所有节点都在图中被移除了。
结果集的顺序，就是想要的拓扑排序顺序 （结果集里顺序可能不唯一）
为了每次可以找到所有节点的入度信息，要在初始化的时候，就把每个节点的入度 和 每个节点的依赖关系做统计。
代码如下：
cpp
cin >> n >> m;
vector<int> inDegree(n, 0); // 记录每个文件的入度
vector<int> result; // 记录结果
unordered_map<int, vector<int>> umap; // 记录文件依赖关系
while (m--) {
// s->t，先有s才能有t
cin >> s >> t;
inDegree[t]++; // t的入度加一
umap[s].push_back(t); // 记录s指向哪些文件
}找入度为0 的节点，需要用一个队列放存放。
因为每次寻找入度为0的节点，不一定只有一个节点，可能很多节点入度都为0，所以要将这些入度为0的节点放到队列里，依次去处理。
代码如下：
cpp
queue<int> que;
for (int i = 0; i < n; i++) {
// 入度为0的节点，可以作为开头，先加入队列
if (inDegree[i] == 0) que.push(i);
}开始从队列里遍历入度为0 的节点，将其放入结果集。
cpp
while (que.size()) {
int cur = que.front(); // 当前选中的节点
que.pop();
result.push_back(cur);
// 将该节点从图中移除
}这里面还有一个很重要的过程，如何把这个入度为0的节点从图中移除呢？
为什么要把节点从图中移除？
为的是将 该节点作为出发点所连接的边删掉。
删掉的目的是什么呢？
要把该节点作为出发点所连接的节点的 入度 减一。
如果这里不理解，看上面的模拟过程第一步：
这事节点1 和 节点2 的入度为 1。
将节点0删除后，图为这样：
那么 节点0 作为出发点 所连接的节点的入度 就都做了 减一 的操作。
此时 节点1 和 节点 2 的入度都为0， 这样才能作为下一轮选取的节点。
所以，在代码实现的过程中，本质是要将 该节点作为出发点所连接的节点的 入度 减一 就可以了，这样好能根据入度找下一个节点，不用真在图里把这个节点删掉。
该过程代码如下：
cpp
while (que.size()) {
int cur = que.front(); // 当前选中的节点
que.pop();
result.push_back(cur);
// 将该节点从图中移除
vector<int> files = umap[cur]; //获取cur指向的节点
if (files.size()) { // 如果cur有指向的节点
for (int i = 0; i < files.size(); i++) { // 遍历cur指向的节点
inDegree[files[i]] --; // cur指向的节点入度都做减一操作
// 如果指向的节点减一之后，入度为0，说明是我们要选取的下一个节点，放入队列。
if(inDegree[files[i]] == 0) que.push(files[i]);
}
}
}最后代码如下：
cpp
#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <unordered_map>
using namespace std;
int main() {
int m, n, s, t;
cin >> n >> m;
vector<int> inDegree(n, 0); // 记录每个文件的入度
unordered_map<int, vector<int>> umap;// 记录文件依赖关系
vector<int> result; // 记录结果
while (m--) {
// s->t，先有s才能有t
cin >> s >> t;
inDegree[t]++; // t的入度加一
umap[s].push_back(t); // 记录s指向哪些文件
}
queue<int> que;
for (int i = 0; i < n; i++) {
// 入度为0的文件，可以作为开头，先加入队列
if (inDegree[i] == 0) que.push(i);
//cout << inDegree[i] << endl;
}
// int count = 0;
while (que.size()) {
int cur = que.front(); // 当前选中的文件
que.pop();
//count++;
result.push_back(cur);
vector<int> files = umap[cur]; //获取该文件指向的文件
if (files.size()) { // cur有后续文件
for (int i = 0; i < files.size(); i++) {
inDegree[files[i]] --; // cur的指向的文件入度-1
if(inDegree[files[i]] == 0) que.push(files[i]);
}
}
}
if (result.size() == n) {
for (int i = 0; i < n - 1; i++) cout << result[i] << " ";
cout << result[n - 1];
} else cout << -1 << endl;
}