非线性规划学习笔记

一、非线性规划的应用

非线性规划（Nonlinear Programming, NLP）在很多领域都有重要应用，主要包括：

工程设计优化：结构优化、电路参数优化、交通线路设计
经济与管理：投资组合优化、生产计划优化、供需均衡模型
能源与环境：电力系统优化调度、环境治理
机器学习与数据科学：神经网络训练、支持向量机等

二、非线性规划的一般模型

min⁡ f(x)s.t. gi(x)≤0,i=1,2,...,mhj(x)=0,j=1,2,...,px∈Rn \begin{aligned} \min \ & f(x) \\ \text{s.t.} \ & g_i(x) \leq 0, \quad i = 1,2,\dots,m \\ & h_j(x) = 0, \quad j = 1,2,\dots,p \\ & x \in \mathbb{R}^n \end{aligned} min s.t. f(x)gi(x)≤0,i=1,2,...,mhj(x)=0,j=1,2,...,px∈Rn

f(x)f(x)f(x)：目标函数（可能是非线性的）
gi(x),hj(x)g_i(x), h_j(x)gi(x),hj(x)：约束条件（可能是非线性的）

三、MATLAB 中的非线性规划工具

MATLAB 的 Optimization Toolbox 提供了多种函数：

1. `fmincon` ------ 约束非线性规划

matlab 复制代码

[x, fval] = fmincon(fun, x0, A, b, Aeq, beq, lb, ub, nonlcon)

fun：目标函数
x0：初始点
A, b：线性不等式约束 Ax≤bAx \leq bAx≤b
Aeq, beq：线性等式约束
lb, ub：变量上下界
nonlcon：非线性约束函数（返回 c(x) <= 0, ceq(x) = 0）

2. `fminunc` ------ 无约束非线性优化

matlab 复制代码

[x, fval] = fminunc(fun, x0)

3. 全局优化方法

ga ------ 遗传算法
patternsearch ------ 模式搜索
simulannealbnd ------ 模拟退火

四、MATLAB 示例

示例 1：约束非线性规划

min⁡f(x)=(x1−1)2+(x2−2)2 \min f(x) = (x_1-1)^2 + (x_2-2)^2 minf(x)=(x1−1)2+(x2−2)2

约束条件：

x12+x22≤5,x1≥0,x2≥0 x_1^2 + x_2^2 \leq 5, \quad x_1 \geq 0, \quad x_2 \geq 0 x12+x22≤5,x1≥0,x2≥0

matlab 复制代码

% 目标函数
fun = @(x) (x(1)-1)^2 + (x(2)-2)^2;

% 初始点
x0 = [0,0];

% 线性约束
A = []; b = [];
Aeq = []; beq = [];

% 边界
lb = [0,0];
ub = [];

% 非线性约束
nonlcon = @(x) deal(x(1)^2 + x(2)^2 - 5, []); 

% 调用 fmincon
[x, fval] = fmincon(fun, x0, A, b, Aeq, beq, lb, ub, nonlcon);

disp('最优解:'); disp(x);
disp('最优目标值:'); disp(fval);

示例 2：无约束非线性优化

min⁡f(x)=x4−3x3+2 \min f(x) = x^4 - 3x^3 + 2 minf(x)=x4−3x3+2

matlab 复制代码

fun = @(x) x^4 - 3*x^3 + 2;
x0 = 0;  % 初始点
[x, fval] = fminunc(fun, x0);

disp('最优解:'); disp(x);
disp('最优目标值:'); disp(fval);

非线性规划学习笔记