物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Networks, PINNs）是一种结合深度学习与物理定律的神经网络方法，旨在解决涉及偏微分方程（PDEs）的问题。以下是对该问题的详细解答：
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物理信息神经网络的定义与核心思想
物理信息神经网络（PINNs）是一种将物理定律嵌入到神经网络中的方法，通过将物理方程、边界条件和初始条件作为约束条件，指导神经网络的训练过程。这种方法能够利用已知的物理定律来增强模型的泛化能力，尤其在数据稀缺或数据质量较低的情况下具有显著优势。
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PINNs的核心机制
• 物理约束的嵌入：PINNs通过将物理方程（如偏微分方程）和边界条件嵌入到神经网络的损失函数中，使模型在训练过程中自动满足物理约束。例如，损失函数通常包括物理残差项和边界条件的残差项。
• 数据驱动与物理驱动的结合：PINNs可以同时利用数据和物理知识进行建模，即使在数据量较少的情况下也能获得较好的预测结果。
• 灵活性与可扩展性：PINNs可以处理非线性问题、参数化问题以及多尺度问题，并且能够处理复杂的物理系统，如流体力学、材料科学、地球物理学等。
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PINNs的应用领域
PINNs在多个领域中得到了广泛应用，包括但不限于： 流体力学与流体动力学：用于模拟流体流动、湍流、波传播等。
一、代码功能
MATLAB 代码实现了一个基于物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Network, PINN）的多变量时间序列预测模型，用于对给定的历史数据进行预测，并引入物理约束以提高模型的泛化能力和可解释性。
- 使用历史时间序列数据构建输入-输出对；
- 构建一个带有物理约束的神经网络（PINN）；
- 训练网络并评估其在训练集和测试集上的预测性能；
- 输出多种评估指标（RMSE、R²、MAE、MAPE、MBE、MSE）；
- 可视化预测结果、误差分布和拟合效果。
二、算法步骤
- 数据导入与重构 ：从 Excel 文件中读取数据，构建用于监督学习的样本，每个样本由
kim个历史时刻的特征和zim步后的目标值组成。 - 划分训练集与测试集：按比例（70%）划分数据。
- 数据归一化 ：使用
mapminmax将数据归一化到 [0, 1] 区间。 - 转换为 dlarray：将数据转换为深度学习框架可用的格式。
- 生成物理点：随机生成物理点用于物理残差计算。
- 构建 PINN 模型：使用全连接层和 tanh 激活函数构建神经网络。
- 训练模型：使用 Adam 优化器，结合数据损失和物理损失进行训练。
- 预测与反归一化：对训练集和测试集进行预测，并将结果反归一化。
- 评估指标计算：计算 RMSE、R²、MAE、MAPE、MBE、MSE。
- 可视化：绘制预测对比图、误差图、拟合图等。
三、技术路线
- 深度学习框架 ：使用 MATLAB 的
dlarray和dlnetwork进行自动微分和网络训练。 - 物理约束：通过物理残差项（Physics Loss）将先验物理知识嵌入损失函数。
- 优化算法：使用 Adam 优化器。
- 评估指标：多种统计指标综合评价模型性能。
四、公式原理
五、参数设定
| 参数名 | 含义 | 取值 |
|---|---|---|
kim |
历史步长 | 4 |
zim |
预测步长 | 1 |
num_size |
训练集比例 | 0.7 |
num_physics |
物理点数量 | 1000 |
numEpochs |
训练轮数 | 1000 |
learningRate |
学习率 | 0.001 |
lambda_phys |
物理损失权重 | 0.1 |
六、运行环境
- 软件：MATLAB2024b（需安装 Deep Learning Toolbox）
- 数据格式 ：Excel 文件（
data.xlsx）
七、预测效果
数据集
