Update
- 2025.8.31
- 3.1 连续时间周期信号的傅里叶级数
3.1连续时间周期信号的傅里叶级数
狄利克雷条件：
\\\begin{align} \&在一个周期内 : \\begin{cases} 函数连续或只有有限个第一类间断点\\\\ \\\\ 有有限个极大、极小值\\\\ \\\\ 函数绝对可积 \\end{cases} \\end{align} \\
三角形式的傅里叶级数
三角形式傅里叶级数的定义
给定周期为\(T\)的周期信号\(f(t)\)，当满足狄利克雷条件 时，可以表示为\((t_{0},t_{0}+T)\)上的完备正交函数集合\(\{ 1,\cos n\Omega t,\sin n\Omega t \}\ \left( n\to \infty,\Omega=\frac{2\pi}{T} \right)\)中各个函数的线性组合 ：
\f(t)=\\frac{a_{0}}{2}+\\sum_{n=1}\^{\\infty}(a_{n}\\cos n\\Omega t+b_{n}\\sin n\\Omega t) \\
其中：
- 直流分量：\(\frac{a_{0}}{2}\)
- \(n\)次余弦分量：\(a_{n}\cos n\Omega t\)，\(n\)次正弦分量：\(b_{n}\sin n\Omega t\)
- 基波角频率：\(\Omega=\frac{2\pi}{T}\)
- 基波频率：\(f=\frac{1}{T}\)
\\\begin{align} \&\\frac{a_{0}}{2}=\\frac{1}{T}\\int_{t_{0}}\^{t_{0}+T}f(t)dt\\\\ \\\\ \&a_{n}=\\frac{2}{T}\\int_{t_{0}}\^{t_{0}+T}f(t)\\cos n\\Omega tdt\\\\ \\\\ \&b_{n}=\\frac{2}{T}\\int_{t_{0}}\^{t_{0}+T}f(t)\\sin n\\Omega tdt \\end{align} \\
三角级数的直流、基波、谐波分量
同频率项合并：(辅助角)
\\\begin{align} \&f(t)=\\frac{A_{0}}{2}+\\sum_{n=1}\^{\\infty}A_{n}\\cos(n\\Omega t+\\varphi_{n})\\\\ \\\\ \&其中:\\\\ \\\\ \&A_{0}=a_{0},A_{n}=\\sqrt{ a_{n}\^{2}+b_{n}\^{2} },\\varphi_{n}=-\\arctan \\frac{b_{n}}{a_{n}}\\\\ \\\\ \&a_{n}=A_{n}\\cos \\varphi_{n},b_{n}=-A_{n}\\sin \\varphi_{n} \\end{align} \\
上式表明：任何满足狄利克雷条件的周期信号都可以分解为直流分量，基波分量和无穷多项谐波分量之和。其中各次谐波分量的角频率必然是基波频率的整数倍
\\\begin{align} \&直流分量:\\frac{A_{0}}{2}=\\frac{a_{0}}{2}=\\frac{1}{T}\\int_{t_{0}}\^{t_{0}+T}f(t)dt\\\\ \\\\ \&基波分量(n=1):A_{1}\\cos(\\Omega t+\\varphi_{1})\\\\ \\\\ \&n次谐波分量(n\\neq 1):A_{n}\\cos(n\\Omega t+\\varphi_{n}) \\end{align} \\
\f(t)=直流+基波+谐波 \\
傅里叶系数的奇偶性
将系数视为谐波次数\(n\)或者\(n\)倍基波角频率\(n\Omega\)的函数，以\(n\)或者\(n\Omega\)为自变量进行分析：
\\\begin{align} \&a_{n}=\\frac{2}{T}\\int_{t_{0}}\^{t_{0}+T}f(t)\\cos n\\Omega tdt\\quad a_{-n}=a_{n}\\quad 为n的偶函数\\\\ \\\\ \&b_{n}=\\frac{2}{T}\\int_{t_{0}}\^{t_{0}+T}f(t)\\sin n\\Omega tdt\\quad b_{-n}=-b_{n}\\quad 为n的奇函数\\\\ \\\\ \&A_{n}=\\sqrt{ a_{n}\^{2}+b_{n}\^{2} }\\quad A_{-n}=A_{n}\\quad 为n的偶函数\\\\ \\\\ \&\\varphi_{n}=-\\arctan \\frac{b_{n}}{a_{n}}\\quad \\varphi_{-n}=-\\varphi_{n}\\quad 为n的奇函数 \\end{align} \\
信号的对称性与傅里叶系数的关系
信号为\(t\)的偶函数
- \(f(t)\cos n\Omega t\)为偶函数，\(f(t)\sin n\Omega t\)为奇函数
- \(a_{n}=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos n\Omega tdt=\frac{4}{T}\int_{0}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos n\Omega tdt\)
- \(b_{n}=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\sin n\Omega tdt=0\)
- 此时，傅里叶级数不包含正弦项：\(f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos n\Omega t\)
信号为\(t\)的奇函数
- \(f(t)\cos n\Omega t\)为奇函数，\(f(t)\sin n\Omega t\)为偶函数
- \(a_{n}=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos n\Omega tdt=0\)
- \(b_{n}=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\sin n\Omega tdt=\frac{4}{T}\int_{0}^{\frac{T}{2}}f(t)\sin n\Omega tdt\)
- 此时，傅里叶级数不包含直流和余弦项：\(f(t)=\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\sin n\Omega t\)
信号为半波对称函数
\(f(t)=f\left( t\pm \frac{T}{2} \right)\)信号沿时间轴平移半个周期以后与原波形完全重合
\\\Omega=\\frac{2\\pi}{T}\\implies \\Omega'=\\frac{2\\pi}{\\frac{T}{2}}=\\frac{4\\pi}{T}=2\\Omega \\
- 信号实际周期为\(\frac{T}{2}\)，\(2\Omega\)为实际的基波角频率，故只含有\(\Omega\)的偶次谐波
- 此时傅里叶级数只含有偶次谐波，不含奇次谐波 ，又称为偶谐函数
- 此处的偶谐函数是相对于原函数而言的，因为实际上可以直接令\(T'=\frac{T}{2}\)
信号为半波镜像对称函数
\(f(t)=-f\left( t\pm \frac{T}{2} \right)\)信号平移半个周期以后与原波形关于横轴对称
\\\begin{align} \&a_{0}=a_{2}=\\dots=a_{2n}=b_{0}=b_{2}=\\dots=b_{2n}=0\\\\ \\\\ \&a_{1},a_{3},\\dots,a_{2n+1},b_{1},b_{3},\\dots,b_{2n+1}\\neq 0 \\end{align} \\
- 此时傅里叶级数只含有奇次谐波，不含偶次谐波，又称为奇谐函数
任意信号分解为偶分量和奇分量之和
\f(t)= \\frac{f(t)+f(-t)}{2}+ \\frac{f(t)-f(-t)}{2}=f_{ev}(t)+f_{od}(t) \\
其中：
- \(ev\to even,od\to odd\)
- 偶分量：\(f_{ev}(t)=\frac{f(t)+f(-t)}{2}\)
- 奇分量：\(f_{od}(t)= \frac{f(t)-f(-t)}{2}\)
指数形式的傅里叶级数
指数形式的傅里叶级数的定义
给定周期为\(T\)的周期信号\(f(t)\)，当它满足狄利克雷条件时，可以表示为\((t_{0},t_{0}+T)\)上完备正交函数集合\(\{ e^{jn\Omega t} \}\left( n\to \infty,\Omega=\frac{2\pi}{T} \right)\)中各个函数的线性组合：
\\\begin{align} \&f(t)=\\sum_{n=-\\infty}\^{\\infty}F_{n}e\^{jn\\Omega t}\\\\ \\\\ \&F_{n}=\\frac{1}{T}\\int_{t_{0}}\^{t_{0}+T}f(t)e\^{-jn\\Omega t}dt \\end{align} \\
指数形式傅里叶级数中出现了负频率，负频率没有实际的物理意义，它的出现完全是采用复指数信号集合表示周期信号的结果，是数学分析的过程，当正负频率合并在一起的时候才能合成实际的频率分量
指数形式与三角形式傅里叶系数的关系
\\\begin{align} F_{n}\&=\\frac{1}{T}\\int_{t_{0}}\^{t_{0}+T}f(t)e\^{-jn\\Omega t}dt=\\frac{1}{T}\\int_{t_{0}}\^{t_{0}+T}f(t)\\cos n\\Omega tdt-j \\frac{1}{T}\\int_{t_{0}}\^{t_{0}+T}f(t)\\sin n\\Omega tdt\\\\ \\\\ \&=\\frac{1}{2}(a_{n}-jb_{n})\\\\ \\\\ F_{-n}\&=\\frac{1}{2}(a_{-n}-jb_{-n})=\\frac{1}{2}(a_{n}+jb_{n})\\\\ \\\\ \\implies\&\\begin{cases} a_{n}=F_{n}+F_{-n}\\\\ \\\\ b_{n}=j(F_{n}-F_{-n}) \\end{cases} \\end{align} \\
对于复数\(F_{n}\)，可以转换为\(F_{n}=|F_{n}|\cdot e^{j\cdot\angle F_{n}}\)
\\\begin{align} \&\|F_{n}\|=\\frac{1}{2}\\sqrt{ a_{n}\^{2}+b_{n}\^{2} }=\\frac{1}{2}A_{n}\\ ,\\ \|F_{n}\|=\|F_{-n}\|\\quad 为n的偶函数\\\\ \\\\ \&\\angle F_{n}=-\\arctan \\frac{b_{n}}{a_{n}}=\\varphi_{n}\\ ,\\ \\varphi_{-n}=-\\varphi_{n}\\quad 为n的奇函数\\\\ \\\\ \&\\therefore F_{n}=\\frac{1}{2}A_{n}e\^{j\\varphi_{n}} \\end{align} \\
例
求图示周期信号的指数形式傅里叶级数
\\\begin{align} \&T=3,\\Omega=\\frac{2\\pi}{T}=\\frac{2\\pi}{3}\\\\ \\\\ F_{n}\&=\\frac{1}{T}\\int_0\^{T}f(t)e\^{-jn\\Omega t} dt=\\frac{1}{3}\\left\[ 2\\int_{0}\^{2}e\^{-jn\\Omega t}dt-\\int_{2}\^{3}e\^{-jn\\Omega t}dt \\right\\ \\ &=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{j\cdot3n\Omega}e^{-jn\Omega t}\bigg|{0}^{2}-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{-j\cdot n\Omega}e^{-jn\Omega t}\bigg|{2}^{3}\\ \\ &=\frac{2-3e^{-j\cdot 2n\Omega}+e^{-j\cdot 3n\Omega}}{j\cdot 3n\Omega}\\ \\ &将\Omega=\frac{2\pi}{3}代入得:\\ \\ 原式&=\frac{2-3e^{-j\cdot \frac{4\pi}{3}n}+e^{-j\cdot 2\pi n}}{j\cdot 2\pi n}\\ \\ &由于e^{-j\cdot 2\pi n}=\cos_{}2\pi n-j\cdot \sin 2\pi n=1:\\ \\ 原式&=\frac{3}{j\cdot 2\pi n}\left( 1-e^{j\cdot \frac{4\pi}{3}n} \right)\\ \\ &\therefore f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_{n}e^{jn\Omega t}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{3}{j\cdot 2\pi n}\left( 1-e^{j\cdot \frac{4\pi}{3}n} \right)e^{jn \frac{2\pi}{3}t} \end{align} \]
- 在最后一步化简的时候，可以将复数展开为三角形式，判断是否可以进一步整理成常数