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图像的模糊有很多种可能性，包括了：镜头的缺陷、相机的抖动、场景的运动、后期的处理等等。针对图像模糊，我们可以通过去卷积的方式实现图像复原。其中，去卷积分为非盲去卷积和盲去卷积，本文主要介绍非盲去卷积。
问题描述
假设有一个理想镜头，用它所成的像为x， 而实际镜头的点扩散函数（PSF）为c， 实际镜头的成像是b，那么这三者之间的关系是一种典型的卷积关系：
那么一个很自然的想法就是，如果我们有实际镜头的成像，另外还知道了镜头的PSF，即我们知道了上式的b和c，是否可以得到更加理想的成像x呢？
去卷积
这似乎是很显然能够成立的。由于空域的卷积等效于频域的乘法，因此我们只需要在频域上做除法，就能很好的恢复出 X X X了，我们把这个过程称为去卷积：
X ∗ c = b X * c = b X∗c=b
注意：空域的卷积相当于频域的乘法
F ( X ) ⋅ F ( c ) = F ( b ) F(X) \cdot F(c) = F(b) F(X)⋅F(c)=F(b)
去卷积相当于在频域上做除法
F ( X est ) = F ( b ) ∖ F ( c ) F(X_{\text{est}}) = F(b) \setminus F(c) F(Xest)=F(b)∖F(c)
只需要对除法的结果做反傅里叶变换就可以得到去卷积的结果了
X est = F − 1 ( F ( b ) ∖ F ( c ) ) X_{\text{est}} = F^{-1} (F(b) \setminus F(c)) Xest=F−1(F(b)∖F(c))
实际成像系统有噪声，所以实际的成像公式是（其中n是指噪声）
X ∗ c + n = b X * c + n = b X∗c+n=b
也就是说b里面含有噪声，所以如果简单的用F(b)/F©, 就会放大系统中高频部分的的噪声，最后只会得到一幅全是噪声的图像。
维纳滤波
那么，有没有更好的方法呢？事实上，已知模糊的图像以及成像系统的PSF，恢复原始图像的过程称为非盲去卷积（Non-blind deconvolution）。这个领域有大量的研究成果。
其中最最经典的方法之一，莫过于1942年发表的维纳滤波（Wiener Filter），它把图像和噪声都看做是随机过程，并把去卷积的问题看作是一个最大似然问题去求解。最后的结果中，包含了一个关键的噪声相关的阻尼因子。
X est = F − 1 ( ∣ F ( c ) ∣ 2 ∣ F ( c ) ∣ 2 + K ⋅ F ( b ) F ( c ) ) X_{\text{est}} = F^{-1} \left( \frac{|F(c)|^2}{|F(c)|^2 + K} \cdot \frac{F(b)}{F(c)} \right) Xest=F−1(∣F(c)∣2+K∣F(c)∣2⋅F(c)F(b))
其中分母有一项是K，它是一个规定常数：
K = 1 / S N R ( ω ) K=1/SNR(\omega) K=1/SNR(ω)
因此，维纳滤波可以看成是修正后的去卷积，当噪声很低时，噪声相关的阻尼因子趋于1。
X est = F − 1 ( 噪声相关的阻尼因子 ⋅ F ( b ) F ( c ) ) X_{\text{est}} = F^{-1} \left(\text{噪声相关的阻尼因子}\cdot\frac{F(b)}{F(c)}\right) Xest=F−1(噪声相关的阻尼因子⋅F(c)F(b))
维纳滤波的核心思想是寻找一个频域滤波器 H ( ω ) H(\omega) H(ω)，使得估计值 X ^ = H ( ω ) B \hat{X} = H(\omega)B X^=H(ω)B 与真实值 X X X 之间的均方误差最小，因此维纳滤波也叫最小均方误差滤波。
min H E ∥ X − H ( ω ) B ∥ 2 \min_H E\left\\\|X - H(\\omega)B\\\|\^2\\right HminE∥X−H(ω)B∥2
使用维纳滤波去模糊
维纳滤波器在频域的表达式为：
H ( u , v ) = P ∗ ( u , v ) ∣ P ( u , v ) ∣ 2 + K H(u,v) = \frac{P^*(u,v)}{|P(u,v)|^2 + K} H(u,v)=∣P(u,v)∣2+KP∗(u,v)
其中：
- P ( u , v ) P(u,v) P(u,v) 是点扩散函数（PSF）的傅里叶变换（光学传递函数，OTF）。
在频域内进行维纳滤波时，根据以上维纳滤波器公式，由点扩散函数计算得到维纳滤波器，再将滤波器乘以图像以达到去模糊的目的，最后将结果反变换到空域即可。
💡 NOTE ： K = 0 K=0 K=0 时退化为逆滤波； K K K 增大时抑制噪声但会平滑细节。
MATLAB实现
matlab
clc;
clear;
close all;
%% 给图像加模糊
img = imread('cameraman.tif');
% img = rgb2gray(img);
img = im2double(img);
% img = imnoise(img, 'gaussian', 0, 0.1);% 添加噪声
psf = fspecial("gaussian", 7, 1);
blurred = imfilter(img, psf, 'circular');
%% 只有模糊，直接逆滤波
fft_img = fft2(blurred); % 傅里叶变换
fft_psf = fft2(psf, size(img, 1), size(img, 2));
deblurred = ifft2(fft_img./fft_psf);
figure;
subplot(1, 3, 1), imshow(img), title("原图");
subplot(1, 3, 2), imshow(blurred), title("模糊，未叠加噪声");
subplot(1, 3, 3), imshow(deblurred), title("直接逆滤波，对未叠加噪声时效果较好");
%% 添加噪声，维纳滤波、约束最小二乘方滤波
mean = 0;
var = 0.0001;
noised = imnoise(blurred, 'gaussian', mean, var);% 添加噪声
fft_img = fft2(noised); % 对含噪声图像进行傅里叶变换
% 直接逆滤波
deblurredn=ifft2(fft_img./fft_psf);
% 维纳滤波
K = 0.01; % 噪声与信号功率比的估计值，可根据实际情况调整
WienerFilter = conj(fft_psf)./(abs(fft_psf).^2 + K);
deblurred_wiener = ifft2(fft_img.* WienerFilter);
figure,
subplot(2, 2, 1), imshow(img), title("原图");
subplot(2, 2, 2), imshow(noised), title("模糊，叠加了高斯噪声");
subplot(2, 2, 3), imshow(deblurredn),title("直接逆滤波，对噪声非常敏感")
subplot(2, 2, 4), imshow(deblurred_wiener), title("维纳滤波");
其他非盲去卷积的方法
约束最小二乘方滤波
除了维纳滤波，还有维纳滤波的改进版本------约束最小二乘方滤波。该方法旨在降低维纳滤波器对噪声的敏感度，以平滑测度的最优复原为基础，因此添加拉普拉斯核进行约束。
约束最小二乘方滤波器在频域的表达式为：
H ( u , v ) = P ∗ ( u , v ) ∣ P ( u , v ) ∣ 2 + K ⋅ L ( u , v ) H(u,v) = \frac{P^*(u,v)}{|P(u,v)|^2 + K\cdot{L(u,v)}} H(u,v)=∣P(u,v)∣2+K⋅L(u,v)P∗(u,v)
其中：
- L ( u , v ) L(u,v) L(u,v) 是拉普拉斯核的傅里叶变换。
迭代法
Richardson-Lucy (RL) 反卷积算法是一种基于最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）的图像去卷积方法，常用于去模糊和图像增强。
该算法通过不断地更新图像估计值，来最小化模糊图像和恢复图像之间的误差，逐步消除模糊，最终接近真实的原始图像。每次迭代都会根据当前估计的图像来修正下次迭代的结果。
该算法最初由 Richardson 和 Lucy 在 1972 年提出，应用于天文学中的 X 射线成像。