前言
彩笔运维勇闯机器学习，今天我们来讨论一下lasso回归，本期又是一起数学推理过程展示
坐标下降法
目标找到一组参数，使目标函数值最小。比如\(f(x,y)=3x^2+5xy+10y^2\)，要找到\(x,y\)使得\(f(x,y)\)取值最小
\[x_j^{(k+1)} = \arg \min_{x_j} f(x_1^{(k+1)}, \dots, x_{j-1}^{(k+1)}, x_j, x_{j+1}^{(k)}, \dots, x_n^{(k)}) \]
每次固定\(x_j\)之外的所有变量，对\(x_j\)进行最小化，然后不断的迭代\(x_j\)
推导过程
我们就以上述提到的函数来推导一下，加深对这个过程的理解$$f(x,y)=3x2+5xy+10y2$$
1）首先先寻找一个点，\((1,1)\)，计算此时的函数值
\[f(1,1)=3x^2+5xy+10y^2=18 \]
2）分别对x,y求偏导
对x求偏导，并且令其导数为0：
\[\frac {\partial f}{\partial x}=6x+5y=0，x=-\frac{5}{6}y \]
同理对y求偏导
\[\frac {\partial f}{\partial y}=5x+20y=0，y=-\frac{1}{4}x \]
3）开始迭代，第一轮
调整x，固定y
\[x=-\frac{5}{6}y=-\frac{5}{6}·1 = -\frac{5}{6} \]
调整y，固定x
\[y=-\frac{1}{4}x=-\frac{1}{4}·-\frac{5}{6}=\frac{5}{24} \]
此时函数值为：
\[f(-\frac{5}{6},\frac{5}{24})=3x^2+5xy+10y^2 \approx 2.3438 \]
第一轮结束：
- 函数最小值\(f(x,y)=2.3438\)
- \(|Δx|=|-\frac{5}{6}-1| \approx 1.8333\)
- \(|Δy|=|\frac{5}{24}-1| \approx 0.7917\)
4）第二轮
重复第一轮的操作
调整x，固定y
\[x=-\frac{5}{6}y=-\frac{5}{6}·\frac{5}{24} = -\frac{25}{144} \]
此时函数值为：
\[f(-\frac{25}{144},\frac{5}{24})=3x^2+5xy+10y^2 \approx 0.4883 \]
调整y，固定x
\[y=-\frac{1}{4}x=-\frac{1}{4}·-\frac{25}{144}=\frac{25}{576} \]
此时函数值为：
\[f(-\frac{25}{144},\frac{25}{576})=3x^2+5xy+10y^2 \approx 0.1221 \]
第二轮结束：
- 函数最小值\(f(x,y)=0.1221\)
- \(|Δx|=|-\frac{25}{6}-(-\frac{5}{6})| \approx 0.6597\)
- \(|Δy|=|\frac{25}{576}-\frac{5}{24}| \approx 0.1649\)
5）不断的迭代，直至收敛
随着迭代次数的不断增加，\(|Δx|\)、\(Δy\)、\(f(x,y)\)都在不断减小
当\(|Δx|\)、\(Δy\)均小于\(10^{-4}\)，可以认为函数收敛
凸函数
通过上述的过程模拟，可以找到函数最小值时x,y分别是多少
对于函数\(f(x,y)=3x^2+5xy+10y^2\)，可以直接计算偏导数为0，从而求出最小值
\[\frac {\partial f}{\partial x}=6x+5y=0，x=-\frac{5}{6}y \]
\[\frac {\partial f}{\partial y}=5x+20y=0，y=-\frac{1}{4}x \]
解方程组：
\[\begin{cases} x=-\frac{5}{6}y \\ y=-\frac{1}{4}x \end{cases} \]
\[\begin{cases} x=0 \\ y=0 \end{cases} \]
该函数最小值是\(f(x,y)=0\)，且\(x=0,y=0\)
直接用偏导数可以计算出函数最小值，有前提条件，那就是该函数是凸函数。凸函数的定义：在函数上任意两点连接的线段总是在函数图上方或者重合
局部最优解与全局最优解
如果函数不是凸函数，而是类似于这种，在某一个定义域内是凸函数
使用坐标下降法的时候，选择的初始值如果在\((x1,x2)\)之间，那找到的最小值就是局部最小，而非全局最小。之前介绍的梯度下降法也有同样的问题
那要怎么解决这个问题呢？不好意思，我也不会，还没学习到，所以暂时略过，后面再说 -_- !
lasso回归
介绍完坐标下降法之后，最后来到了本文的主题，lasso回归，为什么lasso回归能够降低无用参数的影响？lasso回归就是添加了一个参数的绝对值之和作为惩罚项，用线性回归为例，线性回归的损失函数常用MSE
\[\text{MSE} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2 \]
lasso的数学表达：
\[\mathcal{L} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}i)^2 + \lambda \sum{j=1}^{p} |β_j| \]
我们通过一个例子，来说明lasso回归的工作流程。有一个数学模型：2个特征分别为\(x_1\)、\(x_2\)，分别使用不带lasso惩罚项与带lasso惩罚项来进行推导
| 样本 | \(β_1\) | \(β_2\) | y |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 2 |
| 2 | 2 | 1 | 2 |
| 3 | 3 | 2 | 4.5 |
最小二乘法
不带lasso惩罚项，就直接用最小二乘法求解，在之前的小结中曾经推倒过多元回归中最小二乘法的计算公式：
\[β=(X^TX)^{-1}X^Ty_i \]
首先特征矩阵\(X\)：
$ X=
\begin{pmatrix}
1 & 1 \
2 & 1 \
3 & 2
\end{pmatrix}
$， \(X\)的转置
$ X^T=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \
1 & 1 & 2 \
\end{pmatrix}
$
矩阵乘法，\(X^T·X= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & 9 \\ 9 & 6 \end{pmatrix} \)
矩阵求逆常用初等变换法以及伴随矩阵法，对于上述演示数据，笨办法我直接用伴随矩阵求出来，但是都ai时代了，我决定使用chatgpt法（机智如我-_-） ：\((X^TX)^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -3 & \frac{14}{3} \end{pmatrix} \)
根据矩阵结合律，我先算一下后面：\(X^T·y_i = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4.5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 21.5 \\ 14 \end{pmatrix} \)
最终计算出系数 \(\beta =(X^TX)^{-1}X^Ty_i = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -3 & \frac{14}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 21.5 \\ 14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{2.5}{3} \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 1 \\ 0.8333 \end{pmatrix} \)
最终，通过最小二乘法，拟合函数为
\[y = x_1+0.8333x_2 \]
带lasso惩罚项
为了计算方便，先将公式简化，把n去掉，因为同时缩放n倍，对于结果比对没有影响
\[\mathcal{L} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}i)^2 + \lambda \sum{j=1}^{p} |β_j| = \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}i)^2 + \lambda \sum{j=1}^{p} |β_j| \]
lasso有一个超参数\(\lambda\)，我们先设置一下\(\lambda = 2\)，用坐标下降法：
1）首先寻找一个点\(\beta=(0,0)\)，计算出函数值
\[\begin{aligned} \mathcal{L} &= \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}i)^2 + \lambda \sum{j=1}^{p} |β_j| \\ &= ((2-\beta_1-\beta_2)^2 + (3-2\beta_1-\beta_2)^2 + (4.5-3\beta_1-2\beta_2)^2 + (\lambda\sum_{j=1}^{p}|\beta|)) \\ &= 4+9+20.25 = 33.25 \end{aligned} \]
2）先分别求偏导
\[\begin{aligned} \frac {\partial f}{\partial \beta_1} &= ((2-\beta_1-\beta_2)^2 + (3-2\beta_1-\beta_2)^2 + (4.5-3\beta_1-2\beta_2)^2 + (\lambda\sum_{j=1}^{p}|\beta|))' \\ &= 28\beta_1+18\beta_2-43 + (\lambda\sum_{j=1}^{p}|\beta|)' \end{aligned} \]
这里的惩罚项并没有进行导数计算，原因一会再说，先记为\(f_{absolute}'=(\lambda\sum_{j=1}^{p}|\beta|)'\)
所以最终对\(\beta_1\)求偏导：
\[\frac {\partial f}{\partial \beta_1} = 28\beta_1+18\beta_2-43 + f_{absolute}' \]
同理对\(\beta_2\)求偏导：
\[\frac {\partial f}{\partial \beta_2} = 18\beta_1+12\beta_2-28 + f_{absolute}' \]
由于绝对值在0处不可导，所以绝对值的导数需要分段来研究
\[\frac{\partial f_{absolute}}{\beta_i} = \lambda(|\beta_i|)' = \left\{ \begin{array}{ll} \lambda·\beta_i \qquad ,\beta_i>0 \\ 0 \qquad ,\beta_i=0 \\ -\lambda·\beta_i \qquad ,\beta_i<0 \end{array} \right. \]
3）第一次迭代，\(\beta=(0,0)\)，更新\(\beta_1\)，固定\(\beta_2=0\)
\[\begin{aligned} \frac {\partial f}{\partial \beta_1} &= 28\beta_1+18\beta_2-43 + f_{absolute}' = 28\beta_1 - 43 + \lambda(|\beta_i|)' \\ &= \left\{ \begin{array}{ll} 28\beta_1-43+2 \qquad ,\beta_1>0 \\ 28\beta_1-43 \qquad ,\beta_1=0 \\ 28\beta_1-43-2 \qquad ,\beta_1<0 \end{array} \right. \end{aligned} \]
令偏导数为0
\[\begin{aligned} \beta_1 = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{41}{28} \approx 1.464 \qquad ,\beta_1>0 \\ \frac{43}{28} \qquad ,\beta_1=0 \\ \frac{45}{28} \approx 1.607 \qquad ,\beta_1<0 \end{array} \right. \end{aligned} \]
由于\(\beta_1<=0\)与计算结果矛盾，所以\(\beta_1=1.464\)
4）第一次迭代，固定\(\beta_1=1.464\)，更新\(\beta_2\)
\[\begin{aligned} \frac {\partial f}{\partial \beta_2} &= 18\beta_1+12\beta_2-28 + f_{absolute} = 12\beta_2-28 + \lambda(|\beta_i|)' \\ &= \left\{ \begin{array}{ll} 26.352+12\beta_2-28+2 \qquad ,\beta_2>0 \\ 26.352+12\beta_2-28 \qquad ,\beta_2=0 \\ 26.352+12\beta_2-28-2 \qquad ,\beta_2<0 \end{array} \right. \end{aligned} \]
令偏导数为0
\[\begin{aligned} \beta_2 = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{-0.352}{12} \approx -0.0293 \qquad ,\beta_2>0 \\ \frac{1.648}{12} \approx 0.1373 \qquad ,\beta_2=0 \\ \frac{3.648}{12} = 0.304 \qquad ,\beta_2<0 \end{array} \right. \end{aligned} \]
这个。。。。怎么全是矛盾的？？计算出来的\(\beta_2\)都不对，那\(\beta_2\)到底取值是什么，这里要用次梯度来解决这个问题，一会再详细讨论，这里只需要知道，\(\beta_2\)取值在[-0.0293, 0.304]之间，而最优解就是0
5）计算函数值
\[\begin{aligned} \mathcal{L}(1.464, 0) &= \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}i)^2 + \lambda \sum{j=1}^{p} |β_j| \\ &= ((2-\beta_1-\beta_2)^2 + (3-2\beta_1-\beta_2)^2 + (4.5-3\beta_1-2\beta_2)^2 + (\lambda\sum_{j=1}^{p}|\beta|)) \\ &\approx 0.2872+0.0582+0.2446+2.928 = 3.518 \end{aligned} \]
6）第一轮小结
- 函数最小值\(\mathcal{L}(x,y)=3.518\)，从33.25下降而来
- \(|Δ\beta_1|=|0-1.464| \approx 1.464\)
- \(|Δ\beta_2|=|0-0| = 0\)
第一次迭代就已经把\(\beta_2\)给家人们打下来了，\(\beta_2\)对于寻找函数最小值，已经没有意义了，换句话来说，该特征对于提升模型性能意义不大
但是依然需要继续寻找最合适的\(\beta_1\)，直至收敛，所以还需要继续迭代下去，下面就不演示了
继续迭代。。。。最终经过lasso回归的拟合函数应该是这样的：
\[y=\beta_1x_1 \]
可以看到，lasso回归有可能把一些特征的系数压缩成0了，从而去掉该特征对于目标函数的影响，从而降低该特征的影响，提高了模型了泛化能力
次梯度
在刚才的推导中，遇到了这个问题，\( \begin{aligned} \beta_2 = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{-0.352}{12} \approx -0.0293 \qquad ,\beta_2>0 \\ \frac{1.648}{12} \approx 0.1373 \qquad ,\beta_2=0 \\ \frac{3.648}{12} = 0.304 \qquad ,\beta_2<0 \end{array} \right. \end{aligned} \)，\(\beta_2\)与所有的结果都是矛盾的，之所以会出现这种情况，是由于对绝对值求导数导致的。我们都知道，绝对值在0的时候是不可导的
当\(\beta=0\)的时候，需要使用次梯度的概念，什么是次梯度，我这里也不班门弄斧的搬概念了，大家有兴趣自己去google一下
这里只需要记住次梯度是一个集合，它的范围就是，若\( \begin{aligned} \beta_2 = \left\{ \begin{array}{ll} \ a \qquad ,\beta_2>0 \\ \ b \qquad ,\beta_2<0 \end{array} \right. \end{aligned} \)，那\(\beta=0\)的次梯度是\([a,b]\)之间
更直接一点，如果我们在次梯度集合中，找到为0的选项，那就意味着找到了函数的最小值点
这也说明了，lasso回归不能直接用导数为0的方法来找最优解，需要用到坐标下降法的原因
小结
笔者写这篇文章的时候真是头皮发麻，"凸函数"、"最优解"等名词让我回想起学生时代被高数、微积分支配的恐惧，如今再次面对，竟然能够坦然处之，甚至觉得莫名亲切，进而会心一笑。被动接受与主动求索，还真是不一样
联系我
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至此，本文结束
在下才疏学浅，有撒汤漏水的，请各位不吝赐教...