本文仅用作自己学习，补充张宇30讲没有涉及的内容
第一类曲线积分和第二类曲线积分的关系
其中第二类曲线积分其实可以变成第一类曲线积分红色的是第二类，蓝色的是一类
其中我们其实可以发现右图中，我们可以取一个微元弧长，把它近似的看成是直线
而cosα和coaβ是该微元上的切向量，因为是微元，所以和直线的方向近似相等
那么ds为该微元弧长，当其×向量角的时候就可以该微元在x轴和y轴的分量
即dx和dy微元
然后就可以将其化为第二类曲线积分，同理第二类也可以转化为第一类
例题
对于求cosα和cosβ我们可以求某点的切向量然后计算方向角，而切向量计算过程如下，空间解析几何的内容
积分与路径无关的条件
如下条件即可判断积分与路径无关
条件三的判断方法是如果能够找到一个P和Q积分的原函数的话，即全微分那么也可以判断积分与路径无关
其中4和格林公式密切相关，即两个相减满足格林公式
其中什么叫做单连通，即没有奇点的区域
三和一二等价，有一你就有三，有三你就有一，如果一个被积函数有原函数则其必为0当其积分曲线为封闭时
曲线积分的基本定理
本质还是找全微分
当存在一个函数的全微分等于第二类曲线积分的被积函数的时候
我们可以得到对第二类曲线积分有
其原函数的起点值减去终点值
由牛顿莱布尼茨公式推广
若Q和P的偏导相等，则说明其有原函数，则我们可以求全微分
然后我们就可以通过折线法算积分值计算得到u（x,y）相差一个常数不影响u(x,y)
第二类曲面积分的定义
和🐙的书不同，他说的是关于xy的曲面积分
本人对此有疑问，先写在这
如何判断侧？
以上半球面的上侧下侧为例，如过曲面的侧是上侧，取某点的法向量来看，那么其指向的应该是z轴的正方向，即沿着z轴的分量为整数，即z为正数，根据法向量的定义(F'x,F'y,F'Z)即可求得
其他的也是如此判断
现在回过头看定义，投影到某个面时，若他们的方向向量有与轴的夹角≠0，其投影就是曲面面积乘以方向向量的那个角，面积无正负但是夹角有正负
第二类曲面积分计算
两类曲面积分的联系和相互转化
相互转化右图所示
注意是法向量的方向余弦
注意可以讲dydz和dzdy全部转化为dxdy
注意它们之间的联系，投影到哪则消去哪，并乘以对应的夹角
比如投影到dydz面，则ds×cosα（即与x轴的方向角）
第二类曲面积分的对称性
即奇函数是二倍，偶函数是0
合一投影法
转换为一个曲面上进行积分
高斯公式
注意类比其和格林公式的异同点
例题
散度
本质还是高斯公式
记住散度的概念即可
斯托克斯公式
旋度
本质斯托克斯公式，可以代行列式计算
做题要点
积分区域关于y=x对称则具有轮换对称性
方向角和实际角度θ的关系
