Booth算法 - 技术栈

这个算法是计算机中用于计算有符号二进制数（补码）乘法的一种高效算法。它由Andrew Donald Booth于1950年提出。

第一部分：为什么需要Booth算法？------ 动机

在讲解补码时我们提到，有符号数的乘法可以通过"先取绝对值计算，再修正符号"的方式实现。但这需要额外的步骤和电路来判断符号和转换补码。

Booth算法的伟大之处在于：它可以直接对两个用补码表示的有符号数进行乘法运算，而无需进行任何预处理（如判断正负、取绝对值等），并且对于连续的0或1，它能减少加法操作的次数，从而提高运算速度。

它的核心思想是：通过检测二进制位的变化，将连续的乘法操作转换为更少的加法和减法操作。

第二部分：算法核心思想

1. 关键观察

考虑一个二进制乘法，例如 0011110（十进制30）。用传统乘法方式（移位相加）： X * 0011110 = X * (2^4 + 2^3 + 2^2 + 2^1) = (X << 4) + (X << 3) + (X << 2) + (X << 1) 这需要4次加法操作。

但我们可以换一种角度看这个乘数 0011110： 0011110 = 0100000 - 0000010 （即 32 - 2 = 30）那么，X * 0011110 = X * (2^5 - 2^1) = (X << 5) - (X << 1) 这只需要2次操作（一次减法和一次加法）！效率大大提升。

Booth算法正是基于这种"用减法代替一连串加法"的智慧。

2. 编码规则

Booth算法通过检查乘数中相邻两位 的变化来决定对部分积（Partial Product）进行何种操作。它会在乘数的最低有效位（LSB）右边添加一个辅助位 Q_{-1}，初始值为0。

我们检查乘数当前的两位：Q_0（当前最低位）和 Q_{-1}（右边的辅助位）。

`Q_0` (当前位)	`Q_{-1}` (前一位)	操作说明	执行的操作
0	0	遇到了一串连续的0	仅算术右移
0	1	遇到了一串连续的1的结束（从1变为了0）	加上被乘数，然后右移
1	0	遇到了一串连续的0的结束（从0变为了1）	减去被乘数，然后右移
1	1	遇到了一串连续的1	仅算术右移

记忆技巧：

"01" -> 串结束（加）
"10" -> 串开始（减）
"00" 和 "11" -> 串中间（光移位）

算术右移（Arithmetic Right Shift） ：对于有符号数（补码），右移时最高位（符号位）保持不变，而不是简单地补0。例如，1010 ( -6 ) 算术右移一位后是 1101 ( -3 )。

第三部分：Booth算法详细步骤与示例

我们现在用一个完整的例子来演示算法流程：计算 (-3) × 5。

被乘数 M = -3（4位补码：1101）
乘数 Q = 5（4位补码：0101）
预期结果：(-3) × 5 = -15（8位补码：11110001）

我们使用一个4位的系统，但需要双倍长度的寄存器来存放结果。因此，我们使用三个寄存器：

A：4位，初始为0，用于存放部分积的高位。
Q：4位，初始为乘数。
Q_{-1}：1位，初始为0。

整个操作需要循环4次（等于乘数的位数）。

循环计数	步骤	A	Q	Q_{-1}	操作判断 (Q_0, Q_{-1})	执行的操作
初始	初始化	`0000`	`0101`	`0`
1	判断	`0000`	`0101`	`0`	(1, 0) -> "10"	A = A - M
	执行减法	`0011`	`0101`	`0`		(M=-3=1101, -M=3=0011, A=0000+0011=0011)
	算术右移 (A, Q, Q_{-1})	`0001`	`1010`	`1`		(A和Q作为一个整体右移，A的符号位不变)
2	判断	`0001`	`1010`	`1`	(0, 1) -> "01"	A = A + M
	执行加法	`1110`	`1010`	`1`		(A=0001, M=1101, A+M=1110)
	算术右移 (A, Q, Q_{-1})	`1111`	`0101`	`0`
3	判断	`1111`	`0101`	`0`	(1, 0) -> "10"	A = A - M
	执行减法	`0010`	`0101`	`0`		(A=1111, -M=0011, A+(-M)=0010)
	算术右移 (A, Q, Q_{-1})	`0001`	`0010`	`1`
4	判断	`0001`	`0010`	`1`	(0, 1) -> "01"	A = A + M
	执行加法	`1110`	`0010`	`1`		(A=0001, M=1101, A+M=1110)
	算术右移 (A, Q, Q_{-1})	`1111`	`0001`	`0`
结束		`1111`	`0001`

最终结果 ：将A和Q寄存器连接起来，A Q = 1111 0001。这正好是 -15 的8位补码表示 (11110001 = -128 + 64 + 32 + 16 + 1 = -15)。计算正确！

第四部分：Booth算法的变种与优势

1. 位对编码（Radix-4 Booth编码）

基本的Booth算法每次检查1位，需要n次循环（n为位数）。位对编码 每次检查3位（当前位对和右边一位），将循环次数减少到大约 n/2 次，速度更快。

它检查三位组合 (Q_1, Q_0, Q_{-1})，操作包括：

000：移位2位（相当于乘以0）
001, 010： +X，移位2位
011： +2X，移位2位（相当于X左移一位）
100： -2X，移位2位
101, 110： -X，移位2位
111：移位2位（相当于乘以0）

2. 优势总结

统一处理有符号数：直接对补码进行操作，无需额外的符号处理电路，简化了硬件设计。
速度可能更快：当乘数中包含连续的0或1时，Booth算法可以跳过这些位，减少加法/减法操作的次数。平均而言，它比传统的"移位-相加"算法更快。
易于硬件实现：算法流程规整（判断->加/减->移位），非常适合用硬件流水线实现。

3. 注意事项

最坏情况 ：如果乘数是交替的 0101...01 模式，Booth算法每次循环都需要进行加/减操作，性能与传统方法相同。
位宽扩展：为了保证结果正确，寄存器A和Q的位宽需要是原始操作数的两倍。

总结

Booth算法是一个巧妙而强大的算法，它深刻理解了二进制补码的特性。其核心在于：

动机：高效地直接计算补码乘法。
核心：通过检测乘数中 "01" 和 "10" 的跳变，将连续的加法转换为一次减法或加法。
流程：判断 -> 执行（加/减/无操作） -> 算术右移，循环n次。
结果：最终结果存放在连接在一起的A和Q寄存器中。