这篇文章，带你一次性回顾中学时代里的那些函数。如果对初中、高中的函数还记忆模糊，建议往下翻一翻。
目录
一、函数的意义
如果说，学数学的核心就在于学习函数，应该没有人会不同意吧。
数学应用的目的是求解现实中的各种问题，其中，为了模拟这种 "已知 xxx， 那么xxx" 论述的过程，函数是最重要的形式。通俗点说，函数就像一个"机器"：你输入一个值，它按照规则处理后输出一个结果
函数的定义通常记为：
\y = f(x) \\
其中，x 叫自变量，y 是因变量，大致的意思就是 y 随着 x 的变化而变化，或者说 y 的取值和 x 离不开干系。
那么 f(x) 描述的就是这种关系本身，即通过 x 要怎样推断出 y 的值。
要素
严格说，函数包含三个要素，如下面的示例函数：
\f(x)=2x+1 \\
- 要素1， 定义域， x 的取值范围，如 \(x \in \mathbb{R}\)
- 要素2， 值域，y 也就是 f(x) 的结果取值范围， 如 \(y \in \mathbb{R}\)
- 要素3， 计算法则，即 f(x) 公式本身
特征
既然函数描述了数据之间的关系，而现实场景中数据的关系会存在一些规律，这些规律通过图像特征也能够直观的看出。一些常见的规律就包括：
单调性
函数单调性描述的是函数值随着自变量的变大是变大还是变小，如单调递增或递减。
举例：我们的愿望是，👉 工资和自己工作年限的关系是单调递增，工作越久，工资越高。
奇偶性
奇偶性描述的是函数在正负方向上的对称性，例如当x为2和-2时，y=4则为偶函数，若y=4和-4则为奇函数
举例：我是一面镜子，也是一个偶函数。
对称性
函数图像是否在某个轴或点上呈现对称结构，可以认为奇偶性是特殊的对称性。
举例：蝴蝶的翅膀是左右对称的。
周期性
周期性表示函数的图像或数值每隔一段时间，会重复一次
举例：钟表的指针运动、日出日落、心跳波形等等。
二、初阶函数
1. 一次函数
一次函数的公式如下：
\y = kx + b \\
- k 是斜率（不能为 0），表示函数的变化速度；
- b 是常数，表示图像在 y 轴上的截距。
当 b = 0 时，函数变为 y = kx，是一个正比例函数。
在几何上，一次函数是一条直线，如下：
函数特征
| 特征项 | 描述说明 |
|---|---|
| 📍 图像形状 | 一条直线 |
| 📈 斜率 k | 决定直线的倾斜方向和陡峭程度 |
| 📍 截距 b | 决定图像与 y 轴的交点位置 |
| 🔁 单调性 | 当 k>0，函数递增；当 k<0，函数递减 |
| 🧭 象限分布 | 根据 k 和 b 的符号，图像穿过不同象限 |
应用示例
假定你是一家小商店老板，需要做整体成本计算
- 表达式：\(y =5x+100\)
- 含义：x 代表 每件商品成本为 5 元，固定成本为 100 元。
2. 反比例函数
反比例函数的公式如下：
\y = \\frac{k}{x} \\
- k 是常数，且 \(x≠0\)
反比例函数的图像是一条双曲线，如下：
当 k > 0 时，图像位于第一象限和第三象限；
当 k < 0 时，图像位于第二象限和第四象限。
函数特征
| 特征项 | 描述说明 |
|---|---|
| 📍 图像形状 | 双曲线，两支分别位于对角象限 |
| 🔁 单调性 | 在每个象限内单调递减 |
| 🚫 不连续点 | 在 x=0 处无定义，图像断裂 |
| 🧭 对称性 | 关于原点中心对称 |
| 📈 渐近线 | x轴和y轴是渐近线，图像无限接近但不相交 |
应用示例
.工厂作业时，计算工作效率与时间的关系
- 表达式：\(y = \frac{10}{x}\)
- 含义：完成同一任务所需时间 y 与工人数 x 成反比。
- 举例：10人完成任务需1小时，5人则需2小时。
3. 二次函数
二次函数的公式如下：
\y = ax\^2 + bx + c \\
- \(a \neq 0\)，否则退化为一次函数；
- b, c 为常数。
二次函数的图像是一条抛物线，如下：
掌握二次函数需要理解判别式：
\\\Delta = { b\^2 - 4ac} \\
判别式的符号与二次函数的图像特征有特定的关系，如下所示：
函数特征
| 特征项 | 描述说明 |
|---|---|
| 📍 图像形状 | 抛物线 |
| 🔁 开口方向 | a > 0 向上开口，a<0 向下开口 |
| 🎯 顶点坐标 | \((-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a})\) |
| 🧭 对称轴 | \(x = -\frac{b}{2a}\) |
| 📈 单调性 | 顶点左侧递减，右侧递增（或相反） |
| 🚫 零点 | 与 x 轴交点由判别式 \(\Delta = b^2 - 4ac\) 决定 |
应用示例
抛体运动高度计算，物体在竖直方向上，高度随时间变化的关系。
-
表达式：\(y = -\frac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_0\)
-
含义： g 是重力，v0 是初始速度，h0 是初始高度。
三、高阶函数
4. 指数函数
指数函数的公式如下：
\y = a\^x \\quad (a \> 0, a \\ne 1) \\
其中：
- a 是底数，必须为正且不等于 1；
- 函数值 y 是底数 a 的 x 次幂。
指数函数的图像是一条光滑曲线，如下：
函数特征
| 条目 | 特征说明 |
|---|---|
| 📈 增减性 | 当 a > 1 时，函数递增；当 0<a<1 时，函数递减 |
| 📍 交点 | 图像恒过点 (0, 1)，因为 \(a^0 = 1\) |
| 🚫 渐近线 | x 轴是水平渐近线，图像无限接近但不相交 |
| 🧭 定义域 | \((-\infty, +\infty)\)，值域为 \((0, +\infty)\) |
| 🔁 单调性 | 在整个定义域内保持单调性，无极值点 |
应用示例
金融场景下，利用指数函数进行复利计算：
- 表达式：\(A = P(1 + r)^n\)
- 含义：本金 P 在利率 r 下经过 n 期后的总额。
5. 对数函数
对数函数可看作是指数函数的反过程，对数函数的定义如下：
\y = \\log_a x \\quad (a \> 0,\\ a \\ne 1,\\ x \> 0) \\
- 底数 a 的多少次幂等于 x，即 \(a^y = x\)
- a是底数，必须为正且不等于 1
- x 是正数，必须大于 0
- y 是以 a 为底的 x 的对数
对数函数的图像是一条光滑曲线，和相应的指数函数沿着 y=x 直线呈对称关系，如下：
函数特征
| 特征项 | 描述说明 |
|---|---|
| 📍 图像形状 | 曲线，呈现递增或递减 |
| 📈 单调性 | 当 a > 1，图像递增；当 0 < a < 1，图像递减 |
| 📍 交点 | 恒过点 (1, 0)，因为 \(\log_a 1 = 0\) |
| 🚫 渐近线 | y 轴（即x = 0）是垂直渐近线 |
| 🧭 定义域 | x > 0，值域为 (−∞,+∞) |
应用示例
碳-14测年法（Carbon-14 dating）是一种非常重要的放射性同位素测定技术，可用来估算有机遗骸的年代。
当生物死亡后，它就不再吸收碳，体内的 \(^{14}C\) 开始以固定速率衰减 。通过测量遗骸中剩余的 \(^{14}C\) 含量，就可以推算出死亡时间。
- 表达式：\(N=N_0⋅e^{−λt}\)，推出 \(t = \frac{1}{\lambda} \log_e \left( \frac{N_0}{N} \right)\)
- 含义： N0 是初始碳-14量值，N 是当前值，λ 衰变常数，e是自然对数。
6. 幂函数
幂函数的公式如下：
\f(x) = a \\cdot x\^n \\
- a 是常数（通常为系数）；
- n 是幂指数，可以是正数、负数、分数甚至无理数；
- 当 a = 1 时，函数简化为 \(f(x) = x^n\)，这是最常见的形式。
从几何上看，幂函数的图像形状随指数 n 的不同而变化显著，如下：
函数特征
| 幂指数 n | 图像特征说明 |
|---|---|
| 正整数（偶数） | 图像关于 y 轴对称，开口向上，如 \(y = x^2\) |
| 正整数（奇数） | 图像关于原点对称，穿过原点，如 \(y = x^3\) |
| 分数指数 | 图像在第一象限，如 \(y = \sqrt{x}\)，定义域为 \(x \geq 0\) |
| 负整数 | 图像呈双曲线状，如 \(y = x^{-1}\)，在 x = 0 处无定义 |
应用示例
电功率公式：\(P = I^2 R\)
-
含义：其中 I是电流，R 是电阻。
-
说明：该公式基于欧姆定律和功率公式结合得出，用于适用于电阻器、电热器等纯电阻负载的计算。
7. 绝对函数
绝对函数的公式如下：
\f(x) = \\begin{cases} x, \& x \\geq 0 \\\\ -x, \& x \< 0 \\end{cases} \\
- ∣x∣表示数 x 到原点的距离；
- 当 \(x \geq 0\)，∣x∣=x；
- 当 \(x<0\)，|x| = -x。
绝对函数本质上是一个分段函数，在图像上是一条**"V" 型折线**，如下：
函数特征
| 特征项 | 描述说明 |
|---|---|
| 📍 图像形状 | V 形折线，左右对称 |
| 📈 单调性 | 左侧递减，右侧递增； |
| 📍 交点 | 顶点在原点 (0, 0)，是图像的转折点； |
| 🚫 斜率 | 左侧斜率为 -1，右侧斜率为 +1； |
| 🧭 定义域 | 最小值为 0，无最大值。 |
应用示例
在评估传感器数值的准确度时，经常会使用 MAE 方法进行误差分析
- 表达式：\(\text{MAE} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |\text{测量值}_i - \text{真实值}_i|\)
- 含义：将多次历史数据的测量值与真实值之间的误差进行平均计算，得到评估的准确度。
8. Sigmoid函数
Sigmoid 函数（也称为 Logistic 函数）是一种收敛函数，适用于解决概率建模和二分类问题，也是机器学习和深度学习中常见的激活函数。
Sigmoid 函数的定义如下：
\f(x) = \\frac{1}{1 + e\^{-x}} \\
- e 是自然常数（约等于 2.718）；
- 输出值\(f(x) \in (0, 1)\)，即将任意实数压缩到 0 到 1 的区间。
从几何上看，Sigmoid 函数是一个值介于0和1之间的渐进式曲线，如下：
函数特征
| 特征项 | 描述说明 |
|---|---|
| 📈 单调性 | 函数在整个定义域上单调递增 |
| 🎯 对称性 | 图像关于原点对称 \(f(-x) = 1 - f(x)\) |
| 📍 极限值 | 当 \(x \to -\infty，f(x) \to 0\)；当 \(x \to +\infty，f(x) \to 1\) |
| 🧭 中心点 | 当 x = 0，f(x)=0.5，图像在此处最陡 |
| 🚫 渐近线 | y 轴两侧分别有水平渐近线 y=0和 y=1 |
应用示例
神经网络激活函数
- 用于隐藏层或输出层，将神经元输出压缩到 (0,1)(0, 1) 区间；
- 举例：在二分类问题中，输出值可解释为属于正类的概率。
9. 三角函数
三角函数是数学中用于描述角与边之间关系的基本函数，广泛应用于几何、物理、工程、天文等领域。
三角函数的公式如下：
\\\sin x = \\frac{\\text{对边}}{\\text{斜边}}, \\quad \\cos x = \\frac{\\text{邻边}}{\\text{斜边}}, \\quad \\tan x = \\frac{\\text{对边}}{\\text{邻边}} \\
| 函数 | 图像形状 | 周期 | 振幅 | 对称性 |
|---|---|---|---|---|
| \(\sin x\) | 波浪形 | \(2\pi\) | 1 | 奇函数，关于原点对称 |
| \(\cos x\) | 波浪形 | \(2\pi\) | 1 | 偶函数，关于 y 轴对称 |
| \(\tan x\) | 间断曲线 | \(\pi\) | 无界 | 奇函数，关于原点对称 |
函数特征
应用示例
物理振动建模，使用正弦波的数学表达式来描述物体振动随时间变化的波动情况。
- 表达式：\(x(t) = A \sin(\omega t + \phi)\)
- 含义：\(\omega 是角频率（波动的快慢），t 是时间，\phi 是初始偏移，A 是振幅\)。
- 举例：\(x(t)=5sin(2πt)，振幅为5米，\omega = 2\pi，即频率为 1 Hz(每秒一周期)，初始偏移为0\)
小结
函数是中学数学教材的主要学习和考试内容，它同时也有着大量的实际场景应用。在机器学习和深度学习领域，存在不少以函数为基础的理论研究和实践。但不幸的是，对大部分职场老鸟来说，这些内容因时间和职业方向关系早已不再熟悉。本文对早期常见的一些基础函数做了整理，旨在帮助快速回顾并建立一些基础知识印象。