最小二乘问题详解2：线性最小二乘求解

1. 引言

复习上一篇文章《最小二乘问题详解1：线性最小二乘》中的知识，对于一个线性问题模型：

\[f(x; \theta) = A\theta \]

那么线性最小二乘问题可以表达为求一组待定值\(\theta\)，使得残差的平方和最小：

\[\min_{\theta} \|A\theta - b\|^2 \]

本质上是求解超定线性方程组：

\[A\theta = b \]

具体的线性最小二乘解是：

\[\theta^* = (A^T A)^{-1} A^T b \tag{1} \]

2. 求解

2.1 问题

虽然线性最小二乘解已经给出，但是并不意味着在实际的数值计算中就能按照式(1)来进行求解。一个典型的问题就是求逆矩阵：在工程实践和数值计算中，直接求解逆矩阵通常是一个性能消耗大且可能不精确的操作，应该尽量避免。举例来说，我们按照大学本科《线性代数》课程中的方法写程序来求解一个逆矩阵，假设使用伴随矩阵法：

\[A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A) \]

其中：

• \(\det(A)\) 是矩阵 \(A\) 的行列式。
• \(\text{adj}(A)\) 是 \(A\) 的伴随矩阵。

为了求解伴随矩阵 \(\text{adj}(A)\)：

1. 求代数余子式 (Cofactor)：对于矩阵 \(A\) 中的每一个元素 \(a_{ij}\)，计算其代数余子式 \(C_{ij}\)。

   • 代数余子式 \(C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}\)
   • \(M_{ij}\) 是删去 \(A\) 的第 \(i\) 行和第 \(j\) 列后得到的子矩阵的行列式（称为余子式）。

2. 构造余子式矩阵：将所有代数余子式 \(C_{ij}\) 按照原来的位置排列，形成一个新矩阵 \(C\)（称为余子式矩阵）。

3. 转置：将余子式矩阵 \(C\) 进行转置，得到的矩阵就是伴随矩阵 \(\text{adj}(A)\)。

   \[\text{adj}(A) = C^T \]

4. 代入公式：将 \(\det(A)\) 和 \(\text{adj}(A)\) 代入公式 \(A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A)\) 即可。

这里我们大概能估算，使用伴随矩阵法求逆矩阵的理论复杂度是\(O(n!)\)，这是一个阶乘级的增长，算法效率非常低。《线性代数》中介绍的另外一种算法高斯消元法也只能达到\(O(n^3)\)，呈指数级增加。其实效率只是一方面的问题，使用计算机求解的另外一个问题是舍入误差累积：在计算机中，浮点数运算存在固有的舍入误差；求逆过程涉及大量的除法和减法运算，这些误差会在计算过程中不断累积和传播。总而言之，使用通解求解逆矩阵，可能存在不精确且性能消耗大的问题。

2.2 QR分解

那么不使用逆矩阵怎么办呢？我们需要注意的是，最小二乘问题的本质是求解，而不是求逆矩阵，因此关键是要求解正规方程：

\[A^T A \theta = A^T b \]

对矩阵\(A\)作QR分解：

\[A = Q_1 R \]

其中:

• \(Q_1\in\mathbb R^{m\times n}\) 列正交，满足\(Q_1^T Q_1 = I_n\)；
• \(R\in\mathbb R^{n\times n}\)是上三角矩阵，如果\(A\)列满秩，则\(R\)的对角元均非零，可逆。

那么把\(A=Q_1R\)代入正规方程，得到：

\[(Q_1 R)^T (Q_1 R) x = (Q_1 R)^T b \]

左边整理，因为\(Q_1^T Q_1 = I_n\)：

\[R^T Q_1^T Q_1 R x = R^T R x \]

右边为

\[R^T Q_1^T b \]

因此正规方程等价于

\[\boxed{R^T R x = R^T (Q_1^T b)} \]

若\(R\)可逆（即\(A\)满秩，\(\operatorname{rank}(A)=n\)），则\(R^T\)也可逆。左右两边左乘\((R^T)^{-1}\)，得到：

\[R x = Q_1^T b. \]

令\(c = Q_1^\top b\)（这是一个长度为\(n\)的向量），于是我们得到一个简单的上三角线性系统：

\[\boxed{R x = c,\qquad c = Q_1^T b} \]

这就是QR方法把正规方程化简得到的核心结果：只需解上三角方程\(R x = Q_1^T b\)。

以上只是对\(A\)列满秩的情况做了推导，如果\(A\)列满秩，那么QR分解可以表示为\(x = R^{-1}Q_1^\top b\)；如果\(A\)列不满秩（\(R\)奇异），需要使用列主元QR方法对\(R^T R x = R^T (Q_1^T b)\)进行求解，或者干脆使用下面要介绍的SVD分解（奇异值分解）法。

2.3 SVD分解

另外一种求解的方法是SVD分解。对任意矩阵\(A\)，存在奇异值分解：

\[\boxed{A = U\Sigma V^T} \]

其中:

• \(U\in\mathbb R^{m\times m}\)为正交（列为左奇异向量），

• \(V\in\mathbb R^{n\times n}\)为正交（列为右奇异向量），

• \(\Sigma\in\mathbb R^{m\times n}\)为"对角块"矩阵，通常写成

  \[\Sigma=\begin{bmatrix}\Sigma_r & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix} \]

  其中\(\Sigma_r=\operatorname{diag}(\sigma_1,\dots,\sigma_r)\)，\((\sigma_1\ge\sigma_2\ge\cdots\ge\sigma_r>0)\)，\(r=\operatorname{rank}(A)\)。

将SVD代入正规方程，先计算\(A^\top A\)：

\[A^T A = (U\Sigma V^T)^T(U\Sigma V^T) = V \Sigma^T U^T U \Sigma V^T = V (\Sigma^T \Sigma) V^T. \]

注意\(U^T U=I\)。而\(\Sigma^T\Sigma\)是\(n\times n\)的对角块矩阵，其非零对角元就是\(\sigma_i^2(i=1..r)\)，其余为零。

同样的，计算\(A^T b\)：

\[A^T b = V \Sigma^T U^T b. \]

于是正规方程变为：

\[V (\Sigma^T \Sigma) V^T x = V \Sigma^T U^T b. \]

两边左乘\(V^T\)，因为\(V\)正交，\(V^TV=I\)，得到：

\[(\Sigma^T \Sigma)(V^T x) = \Sigma^T (U^T b) \]

把\(y=V^T x\)与\(c=U^T b\)代入，得到更简单的对角方程：

\[\boxed{(\Sigma^T\Sigma) y = \Sigma^T c} \]

接下来按奇异值分块展开对角方程，先写出\(\Sigma\)相关的形状：

\[\Sigma=\begin{bmatrix}\Sigma_r & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix},\qquad \Sigma^\top\Sigma = \begin{bmatrix}\Sigma_r^2 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix} \]

对\(y\)和\(c\)也做相应分块：

\[y=\begin{bmatrix}y_1\ y_2\end{bmatrix},\qquad c=\begin{bmatrix}c_1\ c_2\end{bmatrix} \]

其中\(y_1,c_1\in\mathbb R^r\)对应非零奇异值，\(y_2,c_2\)对应奇异值为0的部分（维度 \(n-r\)）,代入得到分块方程:

\[\begin{bmatrix}\Sigma_r^2 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}y_1 \\ y_2\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}\Sigma_r & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}c_1 \\ c_2\end{bmatrix} \]

即等价于两组方程：

\[\Sigma_r^2 y_1 = \Sigma_r c_1,\qquad 0 = 0\cdot c_2 \ (\text{无约束／自由分量}) \]

由于\(\Sigma_r\)为对角且可逆，第一式等价于

\[\Sigma_r y_1 = c_1 \quad\Longrightarrow\quad y_1 = \Sigma_r^{-1} c_1. \]

而\(y_2\)（对应零奇异值的分量）在正规方程中不受约束------这反映了在列秩不足时普通最小二乘解不是唯一的（可以在零空间方向任意加解）。为得到最小范数解 （惯常的选择），取 \(y_2=0\)。

最后回到\(x\)的求解，对于\(y\)有：

\[y = \begin{bmatrix} \Sigma_r^{-1} c_1 \\ 0 \end{bmatrix} \]

将\(c_1\)与\(c=U^\top b\)关系代回：

\[y = \begin{bmatrix} \Sigma_r^{-1} & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix} U^T b \]

由于\(y=V^T x\)，于是：

\[x = V y = V \begin{bmatrix} \Sigma_r^{-1} & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix} U^T b \]

定义\(\Sigma^+\)为将非零奇异值取倒数后转置得到的伪逆矩阵（对角块为\(\Sigma_r^{-1}\)，其余为0)，则

\[\boxed{x^+ = V \Sigma^+ U^T b} \]

这就是 最小二乘的 Moore--Penrose 伪逆解：

• 若\(A\)列满秩，则为唯一最小二乘解，由于那么\(\Sigma^+=\Sigma^{-1}\)，SVD求解公式退化为常见的\(x = V\Sigma^{-1}U^T b\)
• 若秩亏，它给出 在所有最小二乘解中范数最小的那个（minimum-norm solution）。

2.4 比较

从以上论述可以看到，SVD分解稳定且能处理秩亏的情况，但比QR分解慢，复杂度高，通常\(O(mn^2)\)；QR分解在列满秩、条件数不是太差时更快；若需要判定秩或求最小范数解，SVD是首选。

3. 补充

在最后补充一些基础知识，也是笔者很感兴趣的一点，那就是为什么一个矩阵A可以进行QR分解或者SVD分解呢？

3.1 QR分解

QR分解其实非常好理解，它的本质其实就是大学本科《线性代数》课程中提到的施密特（Gram--Schmidt）正交化。我们先复习一下施密特正交化相关的知识。

设有一组线性无关向量

\[a_1, a_2, \dots, a_n \in \mathbb{R}^m \]

我们想把它们变成一组正交（再归一化后变成标准正交）的向量\(q_1, q_2, \dots, q_n\)。具体步骤如下：

1. 取第一个向量，归一化：

   \[q_1 = \frac{a_1}{|a_1|} \]

2. 对第 2 个向量，先减去在\(q_1\)上的投影：

   \[\tilde{q}_2 = a_2 - (q_1^T a_2) q_1 \]

   然后归一化：

   \[q_2 = \frac{\tilde{q}_2}{|\tilde{q}_2|} \]

3. 对第 3 个向量，减去它在前两个正交向量上的投影：

   \[\tilde{q}_3 = a_3 - (q_1^T a_3) q_1 - (q_2^T a_3) q_2 \]

   然后归一化：

   \[q_3 = \frac{\tilde{q}_3}{|\tilde{q}_3|} \]

4. 一般地，对第\(j\)个向量：

   \[\tilde{q}j = a_j - {\sum{i=1}^{j-1}} (q_i^T a_j) q_i, \quad q_j = \frac{\tilde{q}_j}{|\tilde{q}_j|} \]

这样得到的\({q_i}\)就是标准正交基 ，且每个\(q_j\)只用到了前\(j-1\)个。

现在把矩阵\(A\)看成由列向量组成：

\[A = [a_1, a_2, \dots, a_n] \in \mathbb{R}^{m\times n}. \]

把施密特正交化写成矩阵形式，我们得到一组正交向量：

\[Q_1 = [q_1, q_2, \dots, q_n] \in \mathbb{R}^{m\times n}, \quad Q_1^T Q_1 = I_n. \]

同时，原向量可以写成：

\[a_j = \sum_{i=1}^j r_{ij} q_i \]

其中：

\[r_{ij} = q_i^T a_j \]

把这些关系拼成矩阵形式：

\[A = Q_1 R \]

其中：

• \(R = (r_{ij})\)是\(n \times n\)上三角矩阵，因为第\(j\)列只用到前\(j\)个\(q_i\)。
• \(Q_1\)的列正交，所以\(Q_1^T Q_1 = I\)。

3.2 SVD分解

SVD分解其实也非常有意思，同样也可以顺着《线性代数》中基础知识来进行推导。首先复习一下特征值和特征向量。对于一个方阵 A \\in \\mathbb{R}\^{n \\times n} ，如果存在一个非零向量 \\mathbf{v} \\in \\mathbb{R}\^n 和一个实数 \\lambda ，使得：

\[A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} \]

那么：

• \\lambda 称为 特征值（eigenvalue）
• \\mathbf{v} 称为对应于 \\lambda 的 特征向量（eigenvector）

接下来复习一下什么叫做对角化。如果一个\(n \times n\)矩阵\(A\)可以写成：

\[A = P D P^{-1} \]

其中：

• D 是一个对角矩阵（只有对角线上有元素）
• P 是一个可逆矩阵

我们就说 \(A\) 是 可对角化的。

而且通常：

• D 的对角元素是 A 的特征值： D = \\operatorname{diag}(\\lambda_1, \\dots, \\lambda_n)
• P 的列是对应的特征向量

即：

\[P = [\mathbf{v}_1\ \mathbf{v}_2\ \cdots\ \mathbf{v}_n],\quad D = \begin{bmatrix} \lambda_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n \end{bmatrix} \]

对角化非常重要，因为对角矩阵计算非常简单，比如计算\(D^k\)只需把对角元各自取\(k\)次方即可。对角化的本质就是把复杂的线性变换，变成旋转 → 拉伸 → 逆旋转的过程 。注意，不是所有矩阵都能对角化，只有当矩阵有\(n\)个线性无关的特征向量时，才能对角化。但是，所有对称矩阵（如 A\^T A ）都可以对角化，而且可以使用正交矩阵对角化。

也就是说，存在正交矩阵\(V\)，使得：

\[A^T A = V \Lambda V^T,\quad \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n) \]

然后根据这个对角化公式，构造\(U\)和\(\Sigma\)，最终得到SVD：

\[A = U \Sigma V^\top \]

这里具体构造\(U\)和\(\Sigma\)的过程还是有点繁琐的，这里就不进一步推导了，免得离题太远。