题目
问题6. 使用复变函数类直接找到函数的傅里叶变换 f(k) f(k) f(k)：
(a) (x2+a2)−1 (x^2 + a^2)^{-1} (x2+a2)−1 其中 a>0 a > 0 a>0;
(b) (x2+a2)−1(x2+b2)−1 (x^2 + a^2)^{-1}(x^2 + b^2)^{-1} (x2+a2)−1(x2+b2)−1 其中 a>0 a > 0 a>0, b>0 b > 0 b>0, b≠a b \neq a b=a;
© (x2+a2)−2 (x^2 + a^2)^{-2} (x2+a2)−2 其中 a>0 a > 0 a>0;
(d) x(x2+a2)−2 x(x^2 + a^2)^{-2} x(x2+a2)−2 其中 a>0 a > 0 a>0;
(f) x(x2+a2)−1(x2+b2)−1 x(x^2 + a^2)^{-1}(x^2 + b^2)^{-1} x(x2+a2)−1(x2+b2)−1 其中 a>0 a > 0 a>0, b>0 b > 0 b>0, b≠a b \neq a b=a.
解决方案
傅里叶变换定义为：
f^(k)=∫−∞∞f(x)e−ikx dx \hat{f}(k) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i k x} \, dx f^(k)=∫−∞∞f(x)e−ikxdx
使用残数定理和复变函数方法计算。
(a) f(x)=1x2+a2 f(x) = \frac{1}{x^2 + a^2} f(x)=x2+a21
傅里叶变换为：
f^(k)=πae−∣k∣a \hat{f}(k) = \frac{\pi}{a} e^{-|k| a} f^(k)=aπe−∣k∣a
(b) f(x)=1(x2+a2)(x2+b2) f(x) = \frac{1}{(x^2 + a^2)(x^2 + b^2)} f(x)=(x2+a2)(x2+b2)1
使用部分分式分解：
f(x)=1b2−a2(1x2+a2−1x2+b2) f(x) = \frac{1}{b^2 - a^2} \left( \frac{1}{x^2 + a^2} - \frac{1}{x^2 + b^2} \right) f(x)=b2−a21(x2+a21−x2+b21)
傅里叶变换为：
f^(k)=πb2−a2(e−∣k∣aa−e−∣k∣bb) \hat{f}(k) = \frac{\pi}{b^2 - a^2} \left( \frac{e^{-|k| a}}{a} - \frac{e^{-|k| b}}{b} \right) f^(k)=b2−a2π(ae−∣k∣a−be−∣k∣b)
© f(x)=1(x2+a2)2 f(x) = \frac{1}{(x^2 + a^2)^2} f(x)=(x2+a2)21
傅里叶变换为：
f^(k)=π2a3(1+a∣k∣)e−a∣k∣ \hat{f}(k) = \frac{\pi}{2 a^3} (1 + a |k|) e^{-a |k|} f^(k)=2a3π(1+a∣k∣)e−a∣k∣
(d) f(x)=x(x2+a2)2 f(x) = \frac{x}{(x^2 + a^2)^2} f(x)=(x2+a2)2x
利用傅里叶变换的导数性质：
f^(k)=−iπk2ae−∣k∣a \hat{f}(k) = -i \frac{\pi k}{2 a} e^{-|k| a} f^(k)=−i2aπke−∣k∣a
(f) f(x)=x(x2+a2)(x2+b2) f(x) = \frac{x}{(x^2 + a^2)(x^2 + b^2)} f(x)=(x2+a2)(x2+b2)x
使用部分分式分解：
f(x)=1b2−a2(xx2+a2−xx2+b2) f(x) = \frac{1}{b^2 - a^2} \left( \frac{x}{x^2 + a^2} - \frac{x}{x^2 + b^2} \right) f(x)=b2−a21(x2+a2x−x2+b2x)
傅里叶变换为：
f^(k)=iπsgn(k)b2−a2(e−∣k∣b−e−∣k∣a) \hat{f}(k) = i \frac{\pi \operatorname{sgn}(k)}{b^2 - a^2} \left( e^{-|k| b} - e^{-|k| a} \right) f^(k)=ib2−a2πsgn(k)(e−∣k∣b−e−∣k∣a)
其中 sgn(k)\operatorname{sgn}(k)sgn(k) 是符号函数。