Fenwick 树进行快速统计

Fenwick 树（二叉索引树）是一种高效的数据结构，主要用于解决前缀和查询 和单点更新 问题，时间复杂度均为O(log n)，适用于需要频繁更新元素并查询前缀和的场景（如本题统计满足条件的对数）。

核心功能

Fenwick 树支持两种基本操作：

单点更新：给数组中某个位置的元素加上一个值。
前缀和查询 ：计算数组中前k个元素的总和。

原理与结构

Fenwick 树的核心是利用二进制的特性 （低位的1）来划分区间，实现高效的更新和查询。

结构特点：

树是1-based 索引（从 1 开始计数，方便二进制操作）。
每个节点i负责管理一段区间，区间范围由i的二进制中最低位的 1 决定（例如i=6的二进制是110，最低位的 1 对应的值是2，所以节点 6 管理[6-2+1, 6] = [5,6]）。

基本操作详解

1. 单点更新（`update(i, delta)`）

给位置i的元素增加delta。步骤：从i开始，不断加上i的二进制中最低位的 1（即i += i & -i），直到超过树的大小。作用：更新所有包含位置i的区间节点。

复制代码

void update(int idx, int delta) {
    for (; idx <= size; idx += idx & -idx) {
        tree[idx] += delta;
    }
}

2. 前缀和查询（`query(i)`）

计算前i个元素的总和。步骤：从i开始，不断减去i的二进制中最低位的 1（即i -= i & -i），直到i=0，累加经过的节点值。作用：将前i个元素拆分成若干个被节点管理的区间，求和后得到前缀和。

复制代码

int query(int idx) {
    int res = 0;
    for (; idx > 0; idx -= idx & -idx) {
        res += tree[idx];
    }
    return res;
}

在本题中的应用

在一个序列2n，1-n每个数都会出现两次，计算有多少对数的数，满足x1 < y1 < x2 < y2。

本题需要统计满足x1 < y1 < x2 < y2的数对数量：

先将非相邻数按x1排序（确保处理顺序满足x1' < x1）。
对每个数的x2进行坐标压缩 （将分散的x2值映射到连续的小范围，节省空间）。
用 Fenwick 树记录已处理数的x2，对于当前数的x2，通过query(x2-1)快速统计出之前所有x2' < 当前x2的数量（即满足x1' < x1 < x2' < x2的对数）。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

// Fenwick树（ Binary Indexed Tree ）用于高效统计

struct Fenwick {

int size;

vector<int> tree;

// 初始化大小为n的Fenwick树

Fenwick(int n) : size(n), tree(n + 2, 0) {} // 1-based索引

// 更新操作：在idx位置加delta

void update(int idx, int delta) {

for (; idx <= size; idx += idx & -idx) {

tree $idx$ += delta;

}

// 查询操作：求 $1, idx$ 的前缀和

int query(int idx) {

int res = 0;

for (; idx > 0; idx -= idx & -idx) {

res += tree $idx$ ;

}

return res;

}

};

int main() {

ios::sync_with_stdio(false);

cin.tie(nullptr);

int T;

cin >> T;

while (T--) {

int N;

cin >> N;

int len = 2 * N;

vector<int> A(len);

for (int i = 0; i < len; ++i) {

cin >> A $i$ ;

}

// 记录每对夫妇的两个位置

vector<pair<int, int>> pos(N + 1); // pos $x$ = (第一个出现位置, 第二个出现位置)

vector<int> first_occurrence(N + 1, -1);

for (int i = 0; i < len; ++i) {

int x = A $i$ ;

if (first_occurrence $x$ == -1) {

first_occurrence $x$ = i; // 记录第一次出现位置

} else {

pos $x$ = {first_occurrence $x$ , i}; // 记录第二次出现位置

}

// 筛选出原本不相邻的数

vector<pair<int, int>> S;

for (int x = 1; x <= N; ++x) {

auto $x1, x2$ = pos $x$ ;

if (x2 - x1 != 1) { // 相邻的条件是位置差为1

S.emplace_back(x1, x2);

}

// 按第一个位置x1排序（确保我们按顺序处理）

sort(S.begin(), S.end());

// 坐标压缩：将x2值映射到较小的范围，便于Fenwick树处理

vector<int> x2s;

for (auto $x1, x2$ : S) {

x2s.push_back(x2);

}

sort(x2s.begin(), x2s.end());

x2s.erase(unique(x2s.begin(), x2s.end()), x2s.end()); // 去重

int m = x2s.size();

// 用Fenwick树统计符合条件的对数

Fenwick fenwick(m);

long long ans = 0;

for (auto $x1, x2$ : S) {

// 找到x2在压缩后的排名（1-based）

int r = lower_bound(x2s.begin(), x2s.end(), x2) - x2s.begin() + 1;

// 查询当前有多少个x2' < x2（即满足交叉条件的数量）

ans += fenwick.query(r - 1);

// 将当前x2加入Fenwick树

fenwick.update(r, 1);

}

cout << ans << '\n';

}

return 0;

}