【矩阵分析与应用】【第8章 特征分析】【8.3.4 凯莱哈密顿定理求解矩阵指数 e^At】
- 一、核心思想
- 二、通用求解方法
- 三、相关案例
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- [1. 化 e A T e^{AT} eAT为 A A A的有限项法求 e A T e^{AT} eAT，特征值互异的情况](#1. 化 e A T e^{AT} eAT为 A A A的有限项法求 e A T e^{AT} eAT，特征值互异的情况)
- [2. 化 e A T e^{AT} eAT为 A A A的有限项法求 e A T e^{AT} eAT，特征值有重根的情况](#2. 化 e A T e^{AT} eAT为 A A A的有限项法求 e A T e^{AT} eAT，特征值有重根的情况)
- 四、结论
矩阵指数 e A t e^{At} eAt在微分方程、控制系统和量子力学中具有重要应用。凯莱-哈密顿定理为其计算提供了强有力的工具。
一、核心思想
矩阵指数的定义为无穷级数：
e A t = I + A t + ( A t ) 2 2 ! + ( A t ) 3 3 ! + ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( A t ) k k ! e^{At} = I + At + \frac{(At)^2}{2!} + \frac{(At)^3}{3!} + \cdots = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(At)^k}{k!} eAt=I+At+2!(At)2+3!(At)3+⋯=k=0∑∞k!(At)k
直接计算此级数不可行。
凯莱-哈密顿定理的关键启示：对于 n × n n×n n×n矩阵 A A A，矩阵指数 e A t e^{At} eAt 可表示为 I , A , A 2 , ... , A n − 1 I,A,A^2,\dots,A^{n-1} I,A,A2,...,An−1的线性组合：$ e A t = ∑ k = 0 n − 1 α k ( t ) A k e^{At} = \sum_{k=0}^{n-1} \alpha_k(t) A^k eAt=k=0∑n−1αk(t)Ak
其中 α 0 ( t ) , α 1 ( t ) , ... , α n − 1 ( t ) \alpha_0(t),\alpha_1(t),\dots,\alpha_{n-1}(t) α0(t),α1(t),...,αn−1(t)是待定的时间函数。
二、通用求解方法
步骤 1：确定特征多项式并建立表示式
设 A A A的特征多项式为：
p ( λ ) = det ( λ I − A ) = λ n + c n − 1 λ n − 1 + ⋯ + c 1 λ + c 0 p(\lambda) = \det(\lambda I - A) = \lambda^n + c_{n-1}\lambda^{n-1} + \cdots + c_1 \lambda + c_0 p(λ)=det(λI−A)=λn+cn−1λn−1+⋯+c1λ+c0
建立表示式：
e A t = α 0 ( t ) I + α 1 ( t ) A + α 2 ( t ) A 2 + ⋯ + α n − 1 ( t ) A n − 1 ( 1 ) e^{At} = \alpha_0(t) I + \alpha_1(t) A + \alpha_2(t) A^2 + \cdots + \alpha_{n-1}(t) A^{n-1} \quad (1) eAt=α0(t)I+α1(t)A+α2(t)A2+⋯+αn−1(t)An−1(1)
步骤 2：利用特征值建立方程
关键定理：表示式 (1) 对 A A A的特征值 λ \lambda λ同样成立：
e λ t = α 0 ( t ) + α 1 ( t ) λ + α 2 ( t ) λ 2 + ⋯ + α n − 1 ( t ) λ n − 1 ( 2 ) e^{\lambda t} = \alpha_0(t) + \alpha_1(t) \lambda + \alpha_2(t) \lambda^2 + \cdots + \alpha_{n-1}(t) \lambda^{n-1} \quad (2) eλt=α0(t)+α1(t)λ+α2(t)λ2+⋯+αn−1(t)λn−1(2)
步骤 3：求解系数函数 α k ( t ) \alpha_k(t) αk(t)
情况一：特征值互异
设特征值为 λ 0 , λ 1 , ... , λ n \lambda_0,\lambda_1,\dots,\lambda_n λ0,λ1,...,λn ，建立方程组：
{ e λ 1 t = α 0 ( t ) + α 1 ( t ) λ 1 + ⋯ + α n − 1 ( t ) λ 1 n − 1 e λ 2 t = α 0 ( t ) + α 1 ( t ) λ 2 + ⋯ + α n − 1 ( t ) λ 2 n − 1 ⋮ e λ n t = α 0 ( t ) + α 1 ( t ) λ n + ⋯ + α n − 1 ( t ) λ n n − 1 \begin{cases} e^{\lambda_1 t} = \alpha_0(t) + \alpha_1(t) \lambda_1 + \cdots + \alpha_{n-1}(t) \lambda_1^{n-1} \\ e^{\lambda_2 t} = \alpha_0(t) + \alpha_1(t) \lambda_2 + \cdots + \alpha_{n-1}(t) \lambda_2^{n-1} \\ \vdots \\ e^{\lambda_n t} = \alpha_0(t) + \alpha_1(t) \lambda_n + \cdots + \alpha_{n-1}(t) \lambda_n^{n-1} \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧eλ1t=α0(t)+α1(t)λ1+⋯+αn−1(t)λ1n−1eλ2t=α0(t)+α1(t)λ2+⋯+αn−1(t)λ2n−1⋮eλnt=α0(t)+α1(t)λn+⋯+αn−1(t)λnn−1
解此线性方程组求得所有 α k ( t ) \alpha_k(t) αk(t)
情况二：有重特征值
若 λ i \lambda_i λi为重数为 m m m 的特征值，需对 (2) 式求导建立额外方程：
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原方程： e λ t = ∑ k = 0 n − 1 α k ( t ) λ k e^{\lambda t} = \sum_{k=0}^{n-1} \alpha_k(t) \lambda^k eλt=∑k=0n−1αk(t)λk
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一阶导： t e λ t = ∑ k = 1 n − 1 k α k ( t ) λ k − 1 t e^{\lambda t} = \sum_{k=1}^{n-1} k \alpha_k(t) \lambda^{k-1} teλt=∑k=1n−1kαk(t)λk−1
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二阶导： t 2 e λ t = ∑ k = 2 n − 1 k ( k − 1 ) α k ( t ) λ k − 2 t^2 e^{\lambda t} = \sum_{k=2}^{n-1} k(k-1) \alpha_k(t) \lambda^{k-2} t2eλt=∑k=2n−1k(k−1)αk(t)λk−2
直至 m − 1 m-1 m−1 阶导数
步骤 4：代回表示式
将求得的 α k ( t ) \alpha_k(t) αk(t)代回 (1) 式：
e A t = α 0 ( t ) I + α 1 ( t ) A + ⋯ + α n − 1 ( t ) A n − 1 e^{At} = \alpha_0(t) I + \alpha_1(t) A + \cdots + \alpha_{n-1}(t) A^{n-1} eAt=α0(t)I+α1(t)A+⋯+αn−1(t)An−1
三、相关案例
1. 化 e A T e^{AT} eAT为 A A A的有限项法求 e A T e^{AT} eAT，特征值互异的情况
2. 化 e A T e^{AT} eAT为 A A A的有限项法求 e A T e^{AT} eAT，特征值有重根的情况
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四、结论
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理论基础：凯莱-哈密顿定理确保有限项表示的存在性
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特征值的关键作用：将矩阵方程转化为标量方程
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处理重特征值：需要通过求导建立足够的方程
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结果的验证：可通过 d d t e A t = A e A t \frac{d}{dt}e^{At} = A e^{At} dtdeAt=AeAt 验证
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凯莱-哈密顿定理将矩阵指数的计算从无穷维问题转化为有限维问题，是理论分析和实际计算的强有力工具。