【矩阵分析与应用】【第8章 特征分析】【8.3 凯莱-哈密顿定理求解矩阵高次幂详解】

【矩阵分析与应用】【第8章 特征分析】【8.3 凯莱哈密顿定理求解矩阵高次幂详解】

• 一、核心思想
• 二、通用求解方法
• 方法一：递推法
• 方法二：多项式除法法
• 三、实例演示
• • [1. 案例一：计算 A 5 A^5 A5](#1. 案例一：计算 A 5 A^5 A5)
  • [2. 案例二：计算 A 731 A^{731} A731](#2. 案例二：计算 A 731 A^{731} A731)
  • • 方法一：利用特征值解线性方程组
    • 方法二：递推法
• 四、核心优势
• 五、应用技巧：

凯莱-哈密顿定理为计算矩阵高次幂提供了一个强大而优雅的工具，能够避免繁琐的直接连乘计算。

一、核心思想

凯莱-哈密顿定理指出：每个方阵都满足其自身的特征方程。

设 A A A 是 n × n n \times n n×n 矩阵，其特征多项式为： p ( λ ) = det ⁡ ( λ I − A ) = λ n + c n − 1 λ n − 1 + ⋯ + c 1 λ + c 0 p(\lambda) = \det(\lambda I - A) = \lambda^n + c_{n-1}\lambda^{n-1} + \cdots + c_1 \lambda + c_0 p(λ)=det(λI−A)=λn+cn−1λn−1+⋯+c1λ+c0

则有： p ( A ) = A n + c n − 1 A n − 1 + ⋯ + c 1 A + c 0 I = 0 p(A) = A^n + c_{n-1}A^{n-1} + \cdots + c_1 A + c_0 I = 0 p(A)=An+cn−1An−1+⋯+c1A+c0I=0

由此可得关键等式： A n = − c n − 1 A n − 1 − c n − 2 A n − 2 − ⋯ − c 1 A − c 0 I A^n = -c_{n-1}A^{n-1} - c_{n-2}A^{n-2} - \cdots - c_1 A - c_0 I An=−cn−1An−1−cn−2An−2−⋯−c1A−c0I

重要推论：矩阵 A A A 的任意高次幂 A m A^m Am ( m ≥ n m \geq n m≥n) 都可以表示为 I , A , A 2 , ... , A n − 1 I, A, A^2, \ldots, A^{n-1} I,A,A2,...,An−1 的线性组合。

二、通用求解方法

方法一：递推法

比较简单，前文已经说过：【矩阵分析与应用】【第8章 特征分析】【8.3 Cayley-Hamilton(凯莱-哈密顿)定理及其应用】

方法二：多项式除法法

步骤 1：确定特征多项式

计算 p ( λ ) = det ⁡ ( λ I − A ) p(\lambda) = \det(\lambda I - A) p(λ)=det(λI−A)，得到： p ( λ ) = λ n + c n − 1 λ n − 1 + ⋯ + c 1 λ + c 0 p(\lambda) = \lambda^n + c_{n-1}\lambda^{n-1} + \cdots + c_1 \lambda + c_0 p(λ)=λn+cn−1λn−1+⋯+c1λ+c0

步骤 2：执行多项式除法

将 λ m \lambda^m λm 除以特征多项式 p ( λ ) p(\lambda) p(λ)： λ m = q ( λ ) ⋅ p ( λ ) + r ( λ ) \lambda^m = q(\lambda) \cdot p(\lambda) + r(\lambda) λm=q(λ)⋅p(λ)+r(λ)

其中 r ( λ ) r(\lambda) r(λ) 为余式，且 deg ⁡ ( r ( λ ) ) < n \deg(r(\lambda)) < n deg(r(λ))<n。

设余式为： r ( λ ) = a 0 + a 1 λ + a 2 λ 2 + ⋯ + a n − 1 λ n − 1 r(\lambda) = a_0 + a_1 \lambda + a_2 \lambda^2 + \cdots + a_{n-1} \lambda^{n-1} r(λ)=a0+a1λ+a2λ2+⋯+an−1λn−1

步骤 3：应用凯莱-哈密顿定理

由于 p ( A ) = 0 p(A) = 0 p(A)=0，代入得： A m = q ( A ) ⋅ p ( A ) + r ( A ) = r ( A ) A^m = q(A) \cdot p(A) + r(A) = r(A) Am=q(A)⋅p(A)+r(A)=r(A)

即： A m = a 0 I + a 1 A + a 2 A 2 + ⋯ + a n − 1 A n − 1 A^m = a_0 I + a_1 A + a_2 A^2 + \cdots + a_{n-1} A^{n-1} Am=a0I+a1A+a2A2+⋯+an−1An−1

三、实例演示

1. 案例一：计算 A 5 A^5 A5

考虑矩阵： A = ( 1 2 3 4 ) A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} A=(1324)

目标：计算 A 5 A^5 A5

• 步骤 1：求特征多项式 p ( λ ) = det ⁡ ( λ − 1 − 2 − 3 λ − 4 ) = ( λ − 1 ) ( λ − 4 ) − 6 = λ 2 − 5 λ − 2 p(\lambda) = \det\begin{pmatrix} \lambda-1 & -2 \\ -3 & \lambda-4 \end{pmatrix} = (\lambda-1)(\lambda-4) - 6 = \lambda^2 - 5\lambda - 2 p(λ)=det(λ−1−3−2λ−4)=(λ−1)(λ−4)−6=λ2−5λ−2

  因此有： A 2 = 5 A + 2 I A^2 = 5A + 2I A2=5A+2I

• 步骤 2：多项式除法，计算 λ 5 ÷ ( λ 2 − 5 λ − 2 ) \lambda^5 \div (\lambda^2 - 5\lambda - 2) λ5÷(λ2−5λ−2)：

  通过长除法得到： λ 5 = ( λ 3 + 5 λ 2 + 27 λ + 145 ) ( λ 2 − 5 λ − 2 ) + ( 779 λ + 290 ) \lambda^5 = (\lambda^3 + 5\lambda^2 + 27\lambda + 145)(\lambda^2 - 5\lambda - 2) + (779\lambda + 290) λ5=(λ3+5λ2+27λ+145)(λ2−5λ−2)+(779λ+290)

  余式为： r ( λ ) = 779 λ + 290 r(\lambda) = 779\lambda + 290 r(λ)=779λ+290

• 步骤 3：代入矩阵 A 5 = 779 A + 290 I A^5 = 779A + 290I A5=779A+290I

• 步骤 4：计算结果
  779 A = 779 ( 1 2 3 4 ) = ( 779 1558 2337 3116 ) 779A = 779 \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 779 & 1558 \\ 2337 & 3116 \end{pmatrix} 779A=779(1324)=(779233715583116)
  290 I = ( 290 0 0 290 ) 290I = \begin{pmatrix} 290 & 0 \\ 0 & 290 \end{pmatrix} 290I=(29000290)
  A 5 = ( 779 1558 2337 3116 ) + ( 290 0 0 290 ) = ( 1069 1558 2337 3406 ) A^5 = \begin{pmatrix} 779 & 1558 \\ 2337 & 3116 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 290 & 0 \\ 0 & 290 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1069 & 1558 \\ 2337 & 3406 \end{pmatrix} A5=(779233715583116)+(29000290)=(1069233715583406)

2. 案例二：计算 A 731 A^{731} A731

A = ( 1 1 2 2 1 ) A = \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} \\ 2 & 1 \end{pmatrix} A=(12211),求 A 731 A^{731} A731。

方法一：利用特征值解线性方程组

• 步骤 1：求特征多项式
  p ( λ ) = det ⁡ ( λ I − A ) = det ⁡ ( λ − 1 − 1 2 − 2 λ − 1 ) p(\lambda) = \det(\lambda I - A) = \det \begin{pmatrix} \lambda - 1 & -\frac{1}{2} \\ -2 & \lambda - 1 \end{pmatrix} p(λ)=det(λI−A)=det(λ−1−2−21λ−1)
  p ( λ ) = ( λ − 1 ) 2 − 1 = λ 2 − 2 λ p(\lambda) = (\lambda - 1)^2 - 1 = \lambda^2 - 2\lambda p(λ)=(λ−1)2−1=λ2−2λ

  特征值为： λ 1 = 0 , λ 2 = 2 \lambda_1 = 0, \quad \lambda_2 = 2 λ1=0,λ2=2

• 步骤 2：建立矩阵等式

  由凯莱-哈密顿定理（ m = 731 , n = 2 m=731,n=2 m=731,n=2），设： A 731 = α 0 I + α 1 A A^{731} = \alpha_0 I + \alpha_1 A A731=α0I+α1A

• 步骤 3：建立标量方程，对每个特征值 λ i \lambda_i λi，有：
  λ i 731 = α 0 + α 1 λ i \lambda_i^{731} = \alpha_0 + \alpha_1 \lambda_i λi731=α0+α1λi

  对 λ 1 = 0 \lambda_1 = 0 λ1=0： 0 731 = α 0 + α 1 ⋅ 0    ⟹    α 0 = 0 0^{731} = \alpha_0 + \alpha_1 \cdot 0 \implies \alpha_0 = 0 0731=α0+α1⋅0⟹α0=0

  对 λ 2 = 2 \lambda_2 = 2 λ2=2： 2 731 = α 0 + α 1 ⋅ 2 2^{731} = \alpha_0 + \alpha_1 \cdot 2 2731=α0+α1⋅2，代入 α 0 = 0 \alpha_0 = 0 α0=0 得： 2 731 = 2 α 1    ⟹    α 1 = 2 730 2^{731} = 2\alpha_1 \implies \alpha_1 = 2^{730} 2731=2α1⟹α1=2730

• 步骤 4：得到结果
  A 731 = 2 730 A = 2 730 ( 1 1 2 2 1 ) = ( 2 730 2 729 2 731 2 730 ) A^{731} = 2^{730} A = 2^{730} \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2^{730} & 2^{729} \\ 2^{731} & 2^{730} \end{pmatrix} A731=2730A=2730(12211)=(2730273127292730)

方法二：递推法

p ( λ ) = ( λ − 1 ) 2 − 1 = λ 2 − 2 λ p(\lambda) = (\lambda - 1)^2 - 1 = \lambda^2 - 2\lambda p(λ)=(λ−1)2−1=λ2−2λ，有凯莱哈密顿定理得，方阵 A A A满足其特征方程，即：
p ( A ) = A 2 − 2 A = 0    ⟹    A 2 = 2 A p(A) =A^2 - 2A=0\implies A^2 =2A p(A)=A2−2A=0⟹A2=2A

所以 A 731 = 730 A A^{731} =730A A731=730A，带入 A A A即可，比较简单。

四、核心优势

• 避免直接连乘：将 O ( m ) O(m) O(m) 量级的乘法运算转化为 O ( n ) O(n) O(n) 量级的线性组合

• 理论深刻：揭示了矩阵幂的有限维结构特性

• 应用广泛：为矩阵函数（如 e A t e^{At} eAt）的计算奠定基础：【矩阵分析与应用】【第8章 特征分析】【8.3.4 凯莱哈密顿定理求解矩阵指数 e^At】

五、应用技巧：

• 对于 2 × 2 2 \times 2 2×2 矩阵，递推法通常最快

• 对于 3 × 3 3 \times 3 3×3 及以上矩阵，建议使用多项式除法法

• 编程实现时，可预先计算余式系数，然后进行矩阵线性组合

通过凯莱-哈密顿定理，我们成功地将一个看似复杂的矩阵高次幂计算问题，转化为熟悉的线性代数运算，体现了该定理在矩阵理论中的核心地位和实用价值。