补码是什么？为什么byte的范围是-128~127，负数要比整数多1个？

引言

在学习任何一门编程语言时，都会首先学习基本数据类型。其中n位的整数类型（有符号）的范围是:
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> − 2 n − 1 ∼ 2 n − 1 − 1 -2^{n-1} \sim 2^{n-1}-1 </math>−2n−1∼2n−1−1

例如C++中的int8_t和char，以及Java中的byte，都是8位有符号整数，范围是 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> − 128 ∼ 127 -128 \sim 127 </math>−128∼127, 有没有想过为什么负数会比正数多一个呢？

另外，如果byte num = 127, 什么num + 1=-128呢？

要想搞清楚背后的原理，就要知道二进制补码表示法

二进制补码表示法

二进制补码是计算机中表示有符号整数的标准方式（例如Java 中 byte、short、int、long 等整数类型均采用补码存储）。在补码出现之前，计算机曾用原码、反码表示有符号整数

原码

表示方式 ：最高位为符号位（0 = 正、1 = 负），数值位为二进制本身。例如 8 位原码+3=00000011，-3=10000011
存在问题 ：
- 存在 "正负 0"（+0=00000000、-0=10000000），浪费一个存储位
- 减法需单独处理（3-2 不能直接用 3+(-2) 的原码相加，结果会出错）。

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  3  -> 00000011
+ -2 -> 10000010
------------------------------------------------
        10000101  -> -5, 结果错误

反码

表示方式 ：正数反码 = 原码；负数反码 = 符号位不变，数值位按位取反。例如 8 位反码：+3=00000011，-3=11111100。
存在问题 ：
- 减法问题：与原码相比，可以处理简单的减法，但是需要进位循环增加硬件按复杂度。更致命的是，无法处理"正负 0" 的歧义导致运算逻辑矛盾

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     3 -> 00000011
  + -2 -> 11111101
  ------------------------------------------------
         100000000  -> 超出8位，需要进位循环，
         舍弃最高位 `1`，将进位加回最低位 → `00000000 + 1 = 00000001`，结果为1，正确；
         
     3 -> 00000011
  + -3 -> 11111100
  ------------------------------------------------
          11111111  -> -0, 但是3-3结果应该是0，存在歧义

补码

补码的核心改进正是针对反码的缺陷：

消除 "正负 0"：仅保留 00000000 作为 0，10000000 分配给 -128（8 位），无歧义；
无需进位循环：补码加法的最高位进位直接舍弃（模运算特性），硬件实现简单；

关键概念：模

"模" 是指存储位数对应的 "溢出值"，即该位数能表示的最大无符号数 + 1。例如8位整数（如 byte）模 = 2⁸ = 256（能表示 0~255 共 256 个值）；

补码计算步骤

正数的补码，与原码完全一致

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规则：符号位为 0，数值位为该数的二进制表示
示例（以 8 位为例）:
+5 的原码 = 00000101 → 补码 = 00000101；
+127 的原码 = 01111111 → 补码 = 01111111

负数的补码：两种等价计算方式
- 方式 1：补码 = 模 - 绝对值的原码
- 方式 2：补码 = 负数的反码 + 1

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示例：计算 8 位 -3 的补码
先求绝对值 3 的原码：00000011
方式 1：模（256） - 3 = 253 → 253 的二进制 = 11111101（即 -3 的补码）；
方式 2：-3 的原码 = 10000011 → 反码（符号位不变，数值位取反）= 11111100 → 反码 + 1 = 11111101（与方式 1 结果一致）。

这里解释一下为什么两个方式等价，也就是: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 模 − 绝对值的原码 = 负数的反码 + 1 模 - 绝对值的原码 = 负数的反码 + 1 </math>模−绝对值的原码=负数的反码+1，假设 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> A > 0 A>0 </math>A>0为正数，则 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> − A < 0 -A<0 </math>−A<0为负数
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> 模 − 绝对值的原码 = 负数的反码 + 1 256 − A 的原码 = − A 的反码 + 1 255 = − A 的反码 + A 的原码 \begin{align*} 模 - 绝对值的原码 &= 负数的反码 + 1 \\ 256-A的原码 &= -A的反码 + 1 \\ 255 &= -A的反码 + A的原码 \end{align*} </math>模−绝对值的原码 256−A的原码 255=负数的反码+1=−A的反码+1=−A的反码+A的原码

根据负数反码的定义符号位不变，数值位按位取反 ，-A的反码和A的原码中，其中一方为1的位另一方就为0，相加刚好是11111111 = 255

如何根据补码求数值？

根据 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 补码 = 模 − 绝对值的原码补码 = 模 - 绝对值的原码 </math>补码=模−绝对值的原码得：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> 绝对值的原码 = 模 − 补码绝对值的原码 = 模 - 补码 </math>绝对值的原码=模−补码

得到绝对值的原码，计算出绝对值，然后再根据补码得符号位判断正负，例如：

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补码10000001表示什么数？
首先用模-补码：100000000 - 10000001 = 01111111 = 127
由于补码第一位是1，所以10000001表示-127

反过来验证一下：
补码 = 负数的反码 + 1
10000001 = 10000000 + 1

补码 = 模 - 绝对值的原码
10000001 = 100000000 - 01111111

为什么负数范围比正数范围多1？

关键在于0得表示，在二进制补码表示法中，0只有唯一的表示方式：00000000，那么10000000在补码中表示什么？

绝对值的原码 = 100000000 - 10000000 = 10000000 = 128，符号位为1，所以是-128

也就是说原码中的表示-0的10000000在补码中表示-128。由于舍弃了-0，并分配给了最小的负数-128，所以负数的范围就比正数多1个

为什么 127 + 1 = -128？

知道了补码的原理后就很好理解了，127 + 1 = 01111111 + 1 = 10000000 = -128