本文是 3Blue1Brown《线性代数的本质》 第一集（向量究竟是什么？）学习笔记及个人理解。
有三种看待向量的视角
物理视角
- 向量是一个带有方向和长度的箭头。
- 决定一个向量的是它的长度和它所指的方向，只要这两个特征相同，可以自由移动向量而保持它不变。
比如：在平面上，一个从原点指向 (3, 4) 的箭头。
计算机视角
- 向量是有序的数字列表。
- 在编程中，向量更像是一个数据结构，比如一个元组。
- 不够直观，但便于存储和计算。
比如：[圆的面积，半径] → [12.56, 2]
数学视角
- 向量可以是任何东西，只要保证两个向量相加以及数字与向量相乘是有意义的即可。
- 关键在于向量的运算规则，而不是它的具体形式，这使得概念可以推广到函数、矩阵等抽象的结构。
从二维平面去理解
在二维平面中，一个向量可以写作：
v⃗=(xy) \vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} v =(xy)
比如
v⃗=(32) \vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} v =(32)
可以有两2种理解：
- 它是平面上的一个点（3,2）
- 它是一个从原点（0,0）出发的位移，先往右3个单位，在往上2个单位
课程认为从几何、运动的角度更有助于理解。
两个二维向量相加
理解
对两个方向的运动（或位移）进行连续的合成。先走第一个向量，再走第二个向量，最终结果是从起点到终点的总位移。
两个向量相加就是找一个能等价于连续执行这两个向量所代表位移的单一位移。
公式
两个二维向量相加的结果是一个新的向量，其分量等于对应分量的和。
设有两个二维向量
a⃗=(axay),b⃗=(bxby) \vec{a} = \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \end{pmatrix} a =(axay),b =(bxby)
a⃗+b⃗=(axay)+(bxby)=(ax+bxay+by) \vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_x + b_x \\ a_y + b_y \end{pmatrix} a +b =(axay)+(bxby)=(ax+bxay+by)
示例
设：a⃗=(34)设：\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}设：a =(34)，b⃗=(1−2)\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}b =(1−2)
则：a⃗+b⃗=(3+14+(−2))=(42) 则： \vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 3 + 1 \\ 4 + (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} 则：a +b =(3+14+(−2))=(42)
一个向量乘以一个数（标量）
理解
一个向量乘以一个数（标量），就是改变它的长度，可能还反转方向。
| 标量 k 的值 | 几何意义 | 对长度的影响 | 对方向的影响 |
|---|---|---|---|
| k > 1 | 拉伸 | 变为原长的 k 倍 | 不变 |
| k = 1 | 不变 | 不变 | 不变 |
| 0 < k < 1 | 压缩 | 变为原长的 k 倍 | 不变 |
| k = 0 | 坍缩为零向量 | 变为 0 | 消失（无方向） |
| -1 < k < 0 | 压缩并反向 | 变为原长的 -k 倍 | 反向 |
| k = -1 | 反向 | 不变 | 反向 |
| k < -1 | 拉伸并反向 | 变为原长的 -k 倍 | 反向 |
公式
设有二维向量：
v⃗=(xy) \vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} v =(xy)
和一个实数 k （标量）
向量与标量相乘的结果是一个新的向量，其每个分量都乘以该标量：
k⋅v⃗=k⋅(vxvy)=(k⋅vxk⋅vy) k \cdot \vec{v} = k \cdot \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k \cdot v_x \\ k \cdot v_y \end{pmatrix} k⋅v =k⋅(vxvy)=(k⋅vxk⋅vy)
示例
设： v⃗=(2−3)\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}v =(2−3)，k=4k = 4k=4
则：4⋅v⃗=4⋅(2−3)=(4×24×(−3))=(8−12) 则：4 \cdot \vec{v} = 4 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \times 2 \\ 4 \times (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ -12 \end{pmatrix} 则：4⋅v =4⋅(2−3)=(4×24×(−3))=(8−12)
设：w⃗=(57)\vec{w} = \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \end{pmatrix}w =(57)，k=−1k = -1k=−1
则：−1⋅w⃗=(−5−7) 则：-1 \cdot \vec{w} = \begin{pmatrix} -5 \\ -7 \end{pmatrix} 则：−1⋅w =(−5−7)