教材《概率论与随机过程》北京邮电大学出版社
适用于本科计算机专业
赌徒破产模型是一个完美的框架 ，几乎所有的核心概念都可以在这个模型里找到直观例子。
我们用这个模型为主线，把所有知识点串一遍。
一、主线：赌徒破产模型（基本设置）（or 随机游动，醉汉回家）
状态 ：赌徒A当前的钱数 {0,1,2,...,n}
规则：每次赌博，以概率 p 赢1元，以概率 q=1−p输1元。
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如果钱到 0，破产，游戏结束（吸收）。
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如果钱到 n，赢够，游戏结束（吸收）。
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在 1,2,...,n−1 之间持续游走。（暂态）
1、如果状态 ii 是吸收态（pii=1），则从 ii 出发下一步必然回到 ii，所以 首次返回概率 fii=1 → 是常返态。并且吸收态的平均返回时间 μi=1（如果从自身出发立即返回），所以是 正常返。
2、1 到 n-1 是暂态， 最终以概率 1 进入吸收态 0 或 n（有限步内），有可能在进入吸收态后永不回到中间态，所以 fii<1 → 暂态。暂态没有平均返回时间（因为平均返回时间 μi 的定义以常返为前提，即 fii=1 时才有意义）。
3、周期
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对于吸收态 0：能回到 0 的步数集合是 {1,2,3,...}，因为p00(1)=1，从 0 出发第 1 步、第 2 步...都仍在 0，gcd=1 → 周期为 1（非周期）。
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对于吸收态 n：同理，周期 1。
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对于中间状态 1,2,...,n−1：回到原点的步数必须是偶数（左右步数相等），所以步数集合是 {2,4,6,...} → gcd=2 → 周期为 2。
4、遍历性
遍历状态 = 正常返 + 非周期(周期1）（+ 互通类内所有状态满足此条件）。
赌徒模型中：
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0,n：正常返 + 周期 1 → 遍历。
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中间状态 1,...,n−1：暂态 → 不是遍历。
5、赌徒模型不是不可约
| 状态 | 常返/暂态 | 正常返/零常返（常返时才讨论） | 周期 | 遍历？ |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 常返 | 正常返 (μ=1) | 1 | 是 |
| n | 常返 | 正常返 (μ=1) | 1 | 是 |
| 1...n-1 | 暂态 | 不讨论 | 2 | 否 |
二、顺着主线：引入定义
1. 马氏性
P(Xn+1=j∣X0,...,Xn=i)=P(Xn+1=j∣Xn=i)
在赌徒模型中：下一局输赢（状态变化）只取决于当前钱数，与之前怎么赢/输无关 ------ 天然满足马氏性。
2. 齐次性
一步转移概率 pi,i+1=p，pi,i−1=q，与时间 n 无关 → 齐次链。
3. n步转移概率 pij(n)
从钱 i开始，经过 n 局后钱变为 j的概率。
C-K方程：
pij(m+n)=∑kpik(m)pkj(n)
矩阵形式：P(n)=P^n
在赌徒模型里：想算 n 步后钱的分布，就要算 Pn。
4. 有限维分布
初始分布 πi(0)=P(X0=i)
绝对分布 πj(n)=P(Xn=j)
公式：
π(n)=π(0)Pn
即 n 步后分布 = 初始分布 × n步转移矩阵。
在赌徒模型里：给定初始钱数i（即初始分布集中在 i），则 π(n) 就是 n 局后钱数的分布。
三、状态分类（这是重点）
1. 可达与互通
可达 i→j：存在 n 使 pij(n)>0。
互通 i↔j：互相可达。
赌徒模型中：
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1↔2↔⋯↔n−1 （互通）
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0 只到自身，n只到自身（吸收）
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从 0 不能到其他状态（除了自身），所以 0 与中间状态不互通。
2. 常返 vs 暂态
常返 ：从 i 出发，最终回到 i 的概率 fii=1 。
暂态：fii<1。
判断常返的另一个等价定理：
级数收敛 → 暂态。
3. 正常返 vs 零常返
常返时，定义 平均返回时间：
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如果 μi<∞ → 正常返
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如果 μi=∞ → 零常返（返回时间均值为无穷）
有限链定理：有限状态马氏链，没有零常返状态，常返必是正常返。
4. 周期
定义：状态 ii 的周期
5. 遍历状态
正常返 + 非周期 → 遍历。
四、类性质
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互通的状态 常返性相同、正常/零常返相同、周期相同。
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赌徒模型中间互通类 {1,...,n−1} 都是暂态（有吸收可达，不闭）。
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吸收态 {0},{n} 各自是闭集（出去概率为0）。
五、状态空间分解定理
状态空间 E= 非常返集 D ∪ 常返闭集 C1∪C2∪...
赌徒模型：
E={0}∪{n}∪{1,2,...,n−1}
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{0},{n}：两个常返闭集（正常返，吸收）
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{1,...,n−1}{1,...,n−1}：非常返集 D
满足：从 D 可进入常返闭集，但反过来不行。
六、平稳分布与极限分布
平稳分布 π=(π0,...,πn) 满足：
πP=π,∑πj=1
物理意义：如果初始分布是 π，那么任意时刻分布都是 π（不变）。
极限分布：
limn→∞pij(n)=πj(与i无关)
存在的条件：链不可约 + 遍历（所有状态正常返非周期）。
赌徒模型：
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可约（因为有多个闭集），极限分布与初态有关：如果从中间出发，最终被 0 或 n 吸收的概率不同，极限分布可能是 (1,0,...,0) 或 (0,...,0,1)，取决于初态。
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平稳分布：有多个，因为每个吸收闭集上可定义一个平稳分布（集中在吸收态上）。方程 πP=ππP=π 的解不唯一。
七、解题与串联主线的方法
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先画状态图，标转移概率。
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判断互通、闭集。
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判断常返/暂态：
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吸收态 → 常返
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有限状态非闭互通类 → 暂态（若有别的闭集可达）
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利用定理：有限链常返态都是正常返。
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周期：看回自身的步数集合的 gcd。
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平稳分布：解 πP=π，看链结构：
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多个闭集 → 多个平稳分布
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不可约遍历 → 唯一平稳分布 = 极限分布
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八、核心定理快速回顾
如果按这个主线------从赌徒模型出发，引入每个概念，再用模型解释 就不会乱。
做题时，先归类模型（是否有限、互通性、闭集），然后套用上面定理，不用每次都从定义硬算。