文章目录
- [1. 2ASK的基本原理](#1. 2ASK的基本原理)
- [2. 2ASK调制器](#2. 2ASK调制器)
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- [2.1 模拟调制器（DSB-SC Modulator）](#2.1 模拟调制器（DSB-SC Modulator）)
- [2.2 键控调制器（Keying Modulator）](#2.2 键控调制器（Keying Modulator）)
- [3. 2ASK信号的波形与频谱](#3. 2ASK信号的波形与频谱)
- [4. 2ASK信号的解调](#4. 2ASK信号的解调)
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- [4.1 AWGN信道下2ASK的最佳接收模型](#4.1 AWGN信道下2ASK的最佳接收模型)
- [4.2 2ASK误码性能分析](#4.2 2ASK误码性能分析)
- [4.3 OOK信号的非相干解调](#4.3 OOK信号的非相干解调)
1. 2ASK的基本原理
2ASK（binary amplitude shift keying，二进制幅移键控）核心原理是用二进制基带信号控制载波幅度的两种状态，这两种状态理论上可以是任意两个不同的幅度值（比如 A cos 2 π f c t A\cos 2\pi f_{\rm c} t Acos2πfct 和 0.5 A cos 2 π f c t 0.5A\cos 2\pi f_{\rm c} t 0.5Acos2πfct）。
OOK（on-off keying，通断键控）是2ASK的特例，它直接将载波的两种幅度状态定义为 "有载波"（对应数字"1"）和"无载波"（对应数字"0"） ，波形如图1所示，其数学表达式为：
s 2 A S K ( t ) = { A cos 2 π f c t , 传输 " 1 " 时 0 , 传输 " 0 " 时 s_{\rm 2ASK}(t)=\begin{cases}A\cos2\pi f_ct, & 传输"1"时 \\ 0, & 传输"0"时\end{cases} s2ASK(t)={Acos2πfct,0,传输"1"时传输"0"时其中， f c f_c fc为载波频率， A A A为载波幅度。
图1 OOK波形示意图
2. 2ASK调制器
图2给出了两种典型的2ASK调制器结构。
2.1 模拟调制器（DSB-SC Modulator）
- 结构：脉冲调制输出的基带信号 m ( t ) m(t) m(t)，与载波 A cos 2 π f c t A\cos2\pi f_{\rm c}t Acos2πfct相乘。
- 原理：利用乘法器实现频谱搬移，将基带信号频谱搬移到 ± f c \pm f_{\rm c} ±fc处，类似于模拟调制中的DSB-SC调制，形成双边带信号。
2.2 键控调制器（Keying Modulator）
- 结构：通过数字基带信号控制开关电路，实现载波的"通/断"控制。
- 原理：传输"1"时开关闭合，载波输出；传输"0"时开关断开，无信号输出，本质是一种简单的振幅键控方式（OOK）。
图2 2ASK调制器
3. 2ASK信号的波形与频谱
根据基带脉冲的带宽特性，2ASK信号分为两种类型。
3.1 无限带宽2ASK信号：发送信号的基带脉冲为方波
（1）波形特征
图3(a)为基带信号 m ( t ) m(t) m(t)波形，它是二进制不归零矩形脉冲序列，而矩形脉冲的频谱是无限带宽 的。 m ( t ) m(t) m(t)经过图3(b)的调制器，与载波 A c cos 2 π f c t A_c\cos2\pi f_c t Accos2πfct相乘，就得到无限带宽的2ASK信号 s ( t ) s(t) s(t)，显然它频谱也会继承"无限带宽"的特性。由于它是随机信号，因此我们下面将分析它的功率谱特性。
图3 无限带宽2ASK信号的波形
（2）功率谱密度
在深入分析2ASK信号功率谱密度之前，我们先回顾一个随机信号的性质。
如图3(b)所示的"随机信号×余弦载波"的调制过程，即
s ( t ) = m ( t ) ⋅ cos 2 π f c t s(t)=m(t)\cdot\cos2\pi f_ct s(t)=m(t)⋅cos2πfct输出信号 s ( t ) s(t) s(t)的功率谱为
P S ( f ) = 1 4 P M ( f − f c ) + P M ( f + f c ) (1) \tag{1} P_S(f)=\frac{1}{4}\leftP_M(f-f_c)+P_M(f+f_c)\\right PS(f)=41PM(f−fc)+PM(f+fc)(1)也就是说，2ASK信号 s ( t ) s(t) s(t)的功率谱密度 P S ( f ) P_S(f) PS(f)，是基带信号 m ( t ) m(t) m(t)的功率谱 P M ( f ) P_M(f) PM(f)分别向 f c f_c fc和 − f c -f_c −fc"处搬移，并乘以系数 1 4 \frac{1}{4} 41后的结果。
显然，我们首先需要求出基带信号 m ( t ) m(t) m(t)的功率谱密度 P M ( f ) P_M(f) PM(f)。由于基带信号 m ( t ) m(t) m(t)为0、1等概的二进制不归零矩形脉冲序列，其功率谱求解如下。
- 步骤1：明确单极性不归零脉冲的基础参数
单极性不归零矩形脉冲的基带信号 m ( t ) m(t) m(t)是由"0""1"电平的矩形脉冲组成的随机序列：
- 脉冲波形： g T ( t ) = A Rect ( t T s ) g_T(t) = A\text{Rect}\left( \frac{t}{T_{\rm s}} \right) gT(t)=ARect(Tst)（ T s T_{\rm s} Ts是码元宽度， A A A是脉冲幅度， Rect ( ⋅ ) \text{Rect}(\cdot) Rect(⋅)是矩形窗函数）；
- 傅里叶变换： G T ( f ) = A T s Sa ( π f T s ) G_{\rm T}(f) = A T_{\rm s} \text{Sa}(\pi f T_{\rm s}) GT(f)=ATsSa(πfTs)（ Sa ( x ) = sin x x \text{Sa}(x)=\frac{\sin x}{x} Sa(x)=xsinx是抽样函数）；
- 统计特性（0、1等概率）：假设 A = 1 A=1 A=1，则有均值 m a = 1 2 m_a = \frac{1}{2} ma=21，方差 σ a 2 = 1 4 \sigma_a^2 = \frac{1}{4} σa2=41
- 步骤2：代入随机脉冲序列的功率谱公式，包含连续谱+离散谱 两部分
P M ( f ) = σ a 2 T s ∣ G T ( f ) ∣ 2 + m a 2 T s ∑ k = − ∞ ∞ ∣ G T ( k T s ) ∣ 2 δ ( f − k T s ) (2) \tag{2} P_M(f) = \frac{\sigma_a^2}{T_{\rm s}} \left| G_{\rm T}(f) \right|^2 + \frac{m_a^2}{T_{\rm s}} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \left| G_{\rm T}\left( \frac{k}{T_{\rm s}} \right) \right|^2 \delta\left( f - \frac{k}{T_{\rm s}} \right) PM(f)=Tsσa2∣GT(f)∣2+Tsma2k=−∞∑∞ GT(Tsk) 2δ(f−Tsk)(2)- 步骤3：代入参数并化简
- 连续谱
σ a 2 T s ∣ G T ( f ) ∣ 2 = A 2 T s 4 Sa 2 ( π f T s ) \frac{\sigma_a^2}{T_{\rm s}} \left| G_{\rm T}(f) \right|^2 = \frac{A^2 T_{\rm s}}{4} \text{Sa}^2(\pi f T_{\rm s}) Tsσa2∣GT(f)∣2=4A2TsSa2(πfTs)- 离散谱
由于 G T ( k T s ) = A T s Sa ( π ⋅ k T s ⋅ T s ) = A T s Sa ( k π ) G_{\rm T}\left( \frac{k}{T_{\rm s}} \right) = A T_{\rm s} \text{Sa}\left( \pi \cdot \frac{k}{T_{\rm s}} \cdot T_{\rm s} \right) = A T_{\rm s} \text{Sa}(k\pi) GT(Tsk)=ATsSa(π⋅Tsk⋅Ts)=ATsSa(kπ)
而 Sa ( k π ) = sin ( k π ) k π \text{Sa}(k\pi) = \frac{\sin(k\pi)}{k\pi} Sa(kπ)=kπsin(kπ)，仅当 k = 0 k=0 k=0时 Sa ( 0 ) = 1 \text{Sa}(0)=1 Sa(0)=1， k ≠ 0 k\neq0 k=0时 Sa ( k π ) = 0 \text{Sa}(k\pi)=0 Sa(kπ)=0。因此离散谱仅保留 k = 0 k=0 k=0项。
最终，0、1等概率下单极性不归零矩形脉冲序列的功率谱密度为：
P M ( f ) = A 2 T s 4 Sa 2 ( π f T s ) + A 2 4 δ ( f ) (3) \tag{3} P_M(f) = \frac{A^2 T_{\rm s}}{4} \text{Sa}^2(\pi f T_{\rm s}) + \frac{A^2}{4} \delta(f) PM(f)=4A2TsSa2(πfTs)+4A2δ(f)(3)
综合公式(1)(2)，可以得到
P 2 A S K ( f ) = A 2 T s 4 S a 2 ( π ( f − f c ) T s ) + S a 2 ( π ( f + f c ) T s ) + A 2 4 δ ( f − f c ) + A 2 4 δ ( f + f c ) (4) \tag{4} P_{\rm 2ASK}(f)=\frac{A^2T_{\rm s}}{4}\left{\\rm Sa}\^2\\left(\\pi(f-f_{\\rm c})T_{\\rm s}\\right)+Sa\^2\\left(\\pi(f+f_{\\rm c})T_{\\rm s}\\right)\\right+\frac{A^2}{4}\delta(f-f_{\rm c})+\frac{A^2}{4}\delta(f+f_{\rm c}) P2ASK(f)=4A2TsSa2(π(f−fc)Ts)+Sa2(π(f+fc)Ts)+4A2δ(f−fc)+4A2δ(f+fc)(4)
图4为基带以及频带2ASK信号功率谱密度，从图4(b)可以看到：
- ASK功率谱是基带谱向 ± f c \pm f_c ±fc处搬移的结果，在 f = f c f = f_c f=fc和 f = − f c f = -f_c f=−fc附近形成两个对称的谱瓣；
- 2ASK信号为无限带宽信号，取其主要能量的集中区间，可以得到第一过零点带宽 B = 2 r s B=2r_{\rm s} B=2rs，是基带第一过零点带宽的2倍。
- 在 ± f c \pm f_{\rm c} ±fc处有两个离散冲激，这是由于基带信号为单极性信号带来的。
图4 无限带宽2ASK信号功率谱密度
3.2 有限带宽2ASK信号：发送信号的基带脉冲为根升余弦波形
（1）波形特征
图5中 m ( t ) m(t) m(t)为带宽有限 的基带信号波形，它是二进制根升余弦脉冲序列。 m ( t ) m(t) m(t)经过图3(b)的调制器，与载波 A c cos 2 π f c t A_c\cos2\pi f_c t Accos2πfct相乘，就得到带宽有限的2ASK信号 s ( t ) s(t) s(t)，下面通过功率谱特性，我们来分析信号带宽。
图5 有限带宽2ASK信号波形示意图
（2）功率谱密度
同样基于公式(1)，可以得到带宽有限的2ASK信号功率谱密度，即
P 2 A S K ( f ) = 1 4 P M ( f − f c ) + P M ( f + f c ) P_{\rm 2ASK}(f)=\frac{1}{4}\leftP_M(f-f_c)+P_M(f+f_c)\\right P2ASK(f)=41PM(f−fc)+PM(f+fc)其中， P M ( f ) P_M(f) PM(f)为基带脉冲的功率谱密度（升余弦频谱），重写公式(2)
P M ( f ) = σ a 2 T s ∣ G T ( f ) ∣ 2 + m a 2 T s ∑ k = − ∞ ∞ ∣ G T ( k T s ) ∣ 2 δ ( f − k T s ) P_M(f) = \frac{\sigma_a^2}{T_{\rm s}} \left| G_{\rm T}(f) \right|^2 + \frac{m_a^2}{T_{\rm s}} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \left| G_{\rm T}\left( \frac{k}{T_{\rm s}} \right) \right|^2 \delta\left( f - \frac{k}{T_{\rm s}} \right) PM(f)=Tsσa2∣GT(f)∣2+Tsma2k=−∞∑∞ GT(Tsk) 2δ(f−Tsk)由于采用根升余弦波形，显然 ∣ G T ( f ) ∣ 2 = ∣ H R C ( f ) ∣ |G_{\rm T}(f)|^2=|H_{\rm RC}(f)| ∣GT(f)∣2=∣HRC(f)∣，且均值 m a = 1 2 m_a = \frac{1}{2} ma=21，方差 σ a 2 = 1 4 \sigma_a^2 = \frac{1}{4} σa2=41，因此
P M ( f ) = 1 4 T s ∣ H R C ( f ) ∣ + 1 4 δ ( 0 ) (5) \tag{5} P_M(f) =\frac{1}{4T_{\rm s}}|H_{\rm RC}(f)|+\frac{1}{4}\delta(0) PM(f)=4Ts1∣HRC(f)∣+41δ(0)(5)
注：升余弦滤波器的频率传递函数如下
H R C ( f ) = { T s , ∣ f ∣ < 1 2 T s ( 1 − α ) T s 2 { 1 − sin T s α ( f − 1 2 T s ) } , 1 2 T s ( 1 − α ) ≤ ∣ f ∣ ≤ 1 2 T s ( 1 + α ) 0 , ∣ f ∣ > 1 2 T s ( 1 + α ) (5b) \tag{5b} H_{\rm RC}(f)= \begin{cases} T_s, & |f| < \dfrac{1}{2T_s}(1-\alpha) \\ \dfrac{T_s}{2}\left\{1-\sin\left\\dfrac{T_s}{\\alpha}\\left(f - \\dfrac{1}{2T_s}\\right)\\right\right\}, & \dfrac{1}{2T_s}(1-\alpha) \leq |f| \leq \dfrac{1}{2T_s}(1+\alpha) \\ 0, & |f| > \dfrac{1}{2T_s}(1+\alpha) \end{cases} HRC(f)=⎩ ⎨ ⎧Ts,2Ts{1−sinαTs(f−2Ts1)},0,∣f∣<2Ts1(1−α)2Ts1(1−α)≤∣f∣≤2Ts1(1+α)∣f∣>2Ts1(1+α)(5b)
故有限带宽2ASK的功率谱密度为
P 2 A S K ( f ) = 1 4 T s ∣ H R C ( f − f c ) ∣ + ∣ H R C ( f + f c ) ∣ + 1 4 δ ( f − f c ) + A 2 4 δ ( f + f c ) , (6) \tag{6} P_{\rm 2ASK}(f)=\frac{1}{4T_{\rm s}}\left\|H_{\\rm RC}(f-f_{\\rm c})\|+\|H_{\\rm RC}(f+f_{\\rm c})\|\\right+\frac{1}{4}\delta(f-f_{\rm c})+\frac{A^2}{4}\delta(f+f_{\rm c}), P2ASK(f)=4Ts1∣HRC(f−fc)∣+∣HRC(f+fc)∣+41δ(f−fc)+4A2δ(f+fc),(6)其示意图如图6所示，其特点在于
- 2ASK信号带宽 B = ( 1 + α ) r s B=(1+\alpha)r_s B=(1+α)rs，是基带信号带宽两倍；
- 在 ± f c \pm f_{\rm c} ±fc处有两个离散冲激，这是由于基带信号为单极性信号带来的。
图6 有限带宽2ASK信号功率谱密度
4. 2ASK信号的解调
解调是调制的逆过程，核心是从频带信号中恢复出原始数字基带信号。2ASK信号的解调分为相干解调和非相干解调两类。
4.1 AWGN信道下2ASK的最佳接收模型
图7展示的是2ASK信号的相关接收机解调过程。其中， s 2 A S K ( t ) s_{\rm 2ASK}(t) s2ASK(t)为经过信道传输的2ASK信号，
s 2 A S K ( t ) = { s 1 ( t ) , "1" s 2 ( t ) , "0" , 0 ≤ t < T s (7) \tag{7} s_{\rm 2ASK}(t)= \begin{cases} s_1(t) , & \text{"1"} \\ s_2(t), & \text{"0"} \end{cases},\quad0\le t<T_{\rm s} s2ASK(t)={s1(t),s2(t),"1""0",0≤t<Ts(7)信号在进入接收机之前，叠加单边功率谱密度为 N 0 N_0 N0的AWGN噪声 n w ( t ) n_w(t) nw(t)，得到接收信号
r ( t ) = s 2 A S K ( t ) + n w ( t ) . (8) \tag{8} r(t)=s_{\rm 2ASK}(t)+n_w(t). r(t)=s2ASK(t)+nw(t).(8)接收信号 r ( t ) r(t) r(t)与本地参考信号 s 1 ( t ) s_1(t) s1(t)相乘后，通过积分器完成一个码元周期 T s T_{\rm s} Ts内的积分并在 t = T s t=T_{\rm s} t=Ts抽样（该过程实现了"匹配滤波"的等效运算），得到判决变量
y = ∫ 0 T s s i ( t ) + n w ( t ) s 1 ( t ) d t , i = 1 , 2. (9) \tag{9} y= \int_{0}^{T_{\rm s}} \left s_i(t) + n_w(t) \\right s_1(t) dt,\quad i=1,2. y=∫0Tssi(t)+nw(t)s1(t)dt,i=1,2.(9)再通过判决（与阈值比较），还原出原始二进制序列的估计值 b ^ n \hat{b}_n b^n。
图7 2ASK信号相关接收机模型
4.2 2ASK误码性能分析
下面我们分析误码率。显然，根据(7)(8)，我们有
- 发送"1"时，接收信号 r ( t ) = s 1 ( t ) + n w ( t ) r(t)=s_1(t)+n_w(t) r(t)=s1(t)+nw(t)，由此可以得到抽样时刻 t = T s t=T_s t=Ts的输出为：
y = ∫ 0 T s s 1 2 ( t ) d t + ∫ 0 T s s 1 ( t ) n w ( t ) d t = E s 1 + z (10) \tag{10} y=\int_0^{T_{\rm s}}s^2_1(t)dt+\int_0^{T_{\rm s}}s_1(t)n_w(t)dt=E_{\rm s1}+z y=∫0Tss12(t)dt+∫0Tss1(t)nw(t)dt=Es1+z(10)其中， E s 1 E_{\rm s1} Es1为 s 1 ( t ) s_1(t) s1(t)的符号能量， z z z为噪声分量，满足分布 z ∼ N ( 0 , E s 1 N 0 2 ) z\sim\mathcal{N}(0,\frac{E_{\rm s1}N_0}{2}) z∼N(0,2Es1N0)。 - 发送"0"时，接收信号 r ( t ) = s 2 ( t ) + n w ( t ) r(t)=s_2(t)+n_w(t) r(t)=s2(t)+nw(t)，由此可以得到抽样时刻 t = T s t=T_s t=Ts的输出为：
y = ∫ 0 T s s 1 ( t ) s 2 ( t ) d t + ∫ 0 T s s 1 ( t ) n w ( t ) d t = ∫ 0 T s s 1 ( t ) s 2 ( t ) d t + z ， y=\int_0^{T_{\rm s}}s_1(t)s_2(t)dt+\int_0^{T_{\rm s}}s_1(t)n_w(t)dt=\int_0^{T_{\rm s}}s_1(t)s_2(t)dt+z， y=∫0Tss1(t)s2(t)dt+∫0Tss1(t)nw(t)dt=∫0Tss1(t)s2(t)dt+z，同样 z ∼ N ( 0 , E s 1 N 0 2 ) z\sim\mathcal{N}(0,\frac{E_{\rm s1}N_0}{2}) z∼N(0,2Es1N0)。基于图3和图5，我们假定 s 2 ( t ) = 0 s_2(t)=0 s2(t)=0，因此有
y = z . (11) \tag{11} y=z. y=z.(11)
基于(10)(11)，可以得到判决变量 y y y在发送"1"和"0"时的条件概率密度函数 p ( y ∣ " 1 " ) p(y|"1") p(y∣"1")与 p ( y ∣ " 0 " ) p(y|"0") p(y∣"0")分别如图8中绿色和紫色分布所示。考虑"0""1"等概，设判决门限 V T = E s 1 / 2 V_{\rm T}=E_{\rm s1}/2 VT=Es1/2，此时误码率 P e = Q ( E s 1 2 N 0 ) P_{\rm e}=Q\left(\sqrt{\frac{E_{\rm s1}}{2N_0}}\right) Pe=Q(2N0Es1 )。由于平均符号能量 E s = 1 2 E s 1 E_{\rm s}=\frac{1}{2}E_{\rm s1} Es=21Es1，因此有
P e = Q ( E s N 0 ) (12) \tag{12} P_{\rm e}=Q\left(\sqrt{\frac{E_{\rm s}}{N_0}}\right) Pe=Q(N0Es )(12)
图8 分别发"1"和"0"时的条件概率密度函数 细心的读者可能已经注意到，我们在分析误码率的时候，并没有区分是频带有限的2ASK还是频带无限的2ASK信号，这是因为二者的接收机模型和误码率分析过程是一样的，不同的只是波形 s 1 ( t ) s_1(t) s1(t)，即
- 带宽无限的2ASK信号， s 1 ( t ) s_1(t) s1(t)波形如图9(a)所示，显然有 E s 1 = A 2 2 T s E_{\rm s1}=\frac{A^2}{2}T_{\rm s} Es1=2A2Ts。
- 带宽有限的2ASK信号， s 1 ( t ) s_1(t) s1(t)波形如图9(b)所示，它的能量求解稍微复杂一点。推导如下：
根据帕塞瓦尔定理,有
E s 1 = ∫ − ∞ ∞ ∣ s 1 ( t ) ∣ 2 d t = ∫ − ∞ ∞ ∣ S 1 ( f ) ∣ 2 d f E_{\rm s1}=\int_{-\infty}^{\infty}|s_1(t)|^2 dt = \int_{-\infty}^{\infty}|S_1(f)|^2 df Es1=∫−∞∞∣s1(t)∣2dt=∫−∞∞∣S1(f)∣2df图9(b)中的波形 s 1 ( t ) = A c m 1 ( t ) cos 2 π f c t s_1(t)=A_{\rm c}m_1(t)\cos2\pi f_{\rm c}t s1(t)=Acm1(t)cos2πfct，模型如图9( c) 所示，显然有 S 1 ( f ) = A c 2 M 1 ( f − f c ) + M 1 ( f + f c ) S_1(f)=\frac{A_{\rm c}}{2}M_1(f-f_{\\rm c})+M_1(f+f_{\\rm c}) S1(f)=2AcM1(f−fc)+M1(f+fc)，其中 ∣ M 1 ( f ) ∣ = H R C ( f ) |M_1(f)|=\sqrt{H_{\rm RC}(f)} ∣M1(f)∣=HRC(f) ，故 E s 1 = A c 2 4 ∫ − ∞ ∞ H R C ( f − f c ) + H R C ( f + f c d f = A c 2 2 E_{\rm s1}=\frac{A_{\rm c}^2}{4}\int_{-\infty}^{\infty}H_{\\rm RC}(f-f_{\\rm c})+H_{\\rm RC}(f+f_{\\rm c} df=\frac{A_{\rm c}^2}{2} Es1=4Ac2∫−∞∞HRC(f−fc)+HRC(f+fcdf=2Ac2。
图9
4.3 OOK信号的非相干解调
非相干解调无需恢复载波相位，结构简单，成本低，适用于对误码率要求不高的场景，如图10所示，由带通滤波器（BPF）、整流器（Rectifier）、低通滤波器（LPF）、抽样和比较器组成。
我这就拆解这个OOK解调流程里每个模块的具体功能：
- 带通滤波器（BPF）：从输入的 s OOK ( t ) s_{\text{OOK}}(t) sOOK(t) 中筛选出OOK信号对应的载波频段，滤除其他频段的噪声、干扰信号。
- 整流器：把BPF输出的"正负波动的交流信号"（载波信号）转换成单极性信号（只保留正极性），相当于提取信号的"包络轮廓"。
- 低通滤波器（LPF）：过滤掉整流后信号里的高频载波成分，只保留基带信号的包络（也就是OOK对应的0/1信息）。
- 抽样模块：按照符号周期 T s T_s Ts（每个0/1符号的时长），在每个符号的结束时刻"抓取"LPF输出信号的幅度值。
- 判决模块：根据抽样得到的幅度值，判断当前符号是"1"还是"0"：
在大信噪比条件下，OOK非相干解调的误码率近似为
P e ≈ 1 2 exp ( − E b 2 N 0 ) P_e \approx \frac{1}{2} \exp\left( -\frac{E_b}{2N_0} \right) Pe≈21exp(−2N0Eb)相比相干解调，非相干解调的误码性能略差，但无需载波同步电路，实现简单。
图10 OOK非相干解调器