20251103折半搜索总结

引子

折半搜索（又称meet-in-the-middle）是一种优化搜索算法的方法。其说白了就是将搜索过程分成两个部分：先分别对两部分进行独立搜索，得到两个结果序列，最后通过合并这两个序列得到答案。

由于搜索算法的时间复杂度通常为指数级，当n较大时容易导致超时。采用折半搜索后，时间复杂度可由O(2n)O(2^n)O(2n)降到O(2n2+1)O(2^{\frac{n}{2}+1})O(22n+1)。

C P4799 世界冰球锦标赛

折半搜索模板为何放在放在第三题？

这题就先折半搜索，接着合并时，我们可以先将一部分进行排列使其有序，然后遍历另一部分，每次进行二分搜索查找可行的答案，最后叠加可行方案数。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
long long m,a[45];
vector<long long> a1,a2;
void dfs1(int k,long long sum){
	if(sum>m)return;
	if(k>n/2){
		a1.push_back(sum);
		return;
	}
	dfs1(k+1,sum+a[k]);
	dfs1(k+1,sum);
}
long long ans=0;
void dfs2(int k,long long sum){
	if(sum>m)return;
	if(k>n){
		a2.push_back(sum);
		return;
	}
	dfs2(k+1,sum+a[k]);
	dfs2(k+1,sum);
}
int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
	}
	dfs1(1,0);
	dfs2(n/2+1,0);
	sort(a2.begin(),a2.end());
	for(auto i:a1){
		int p=upper_bound(a2.begin(),a2.end(),m-i)-a2.begin();
		ans+=p;
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}