一阶低通滤波器（LPF）使用详讲

一阶低通滤波器（Low Pass Filter，LPF）的核心作用是：允许输入信号中频率低于设定截止频率的成分通过（衰减极小），阻隔或大幅衰减高于截止频率的高频噪声，从而获得更纯净的目标信号。

一、一阶低通滤波器定义

对于一阶低通滤波而言，从控制模型上分析就是一个一阶惯性环节，其描述形式如式所示：

\[H\left( s \right) =\frac{1}{Ts+1} \]

\[\text{注：}T=\frac{1}{w_c}\text{，}w_c=2\pi \cdot f_c\text{；} \text{其中，}T\text{为时间常数，}w_c\text{为角频率，}f_c\text{为截止频率} \]

幅频响应：

\[\begin{equation} |H(j\omega)| = \frac{1}{\sqrt{1+(\omega T)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{\omega}{\omega_c}\right)^2}} \end{equation} \]

相频响应：

\[\begin{equation} \angle H(j\omega) = -\arctan(\omega T) = -\arctan\left(\frac{\omega}{\omega_c}\right) \end{equation} \]

简单来说，一阶低通滤波器就做了一件事：让慢的变化通过，阻隔快的变化。 在实际工程中使用一阶低通滤波器时，需特别注意以下特点：

平滑效果：它能滤除高频噪声（如 ADC 抖动、电源纹波）。截止频率设得越低，对输入信号变化的响应越慢。
相位滞后：输出信号总是比输入信号"慢半拍"。在闭环控制系统（如 PID）中，如果滤波强度过大，会导致系统响应迟钝甚至震荡。
衰减特性 ：在截止频率 fc 处，信号幅度衰减至 -3dB（约为 0.707 倍），相位滞后 -45°

滤波效果对比图如下：

二、一阶低通滤波器的使用

在使用滤波器前，需厘清四个核心概念（以车载 IMU 为例）：

信号频率：车辆加速度的变化（你想测的，较慢）；
噪声频率：发动机的震动（你想滤的，较快）；
采样频率：你采集数据的频率（干活速度，必须足够快以看清噪声并滤除）；
截止频率：设定的"分界线"，应介于信号和噪声之间。

在实际工程中，我们设计滤波器主要有两个方向：

1、设计传感器（为了达到目标去选硬件）

这是自顶向下的设计思路。当我们明确了需要测量的信号和需要滤除的噪声时，反过来推算硬件需求。

确定范围：已知信号频率（如 5 Hz）和噪声频率（如 50 Hz）。
设定分界线 ：选择截止频率 fc 介于二者之间（如 10 Hz）。
推算采样频率：为了保证数字滤波算法的准确性，工程上通常要求采样频率大于 10 倍的截止频率（经验值，确保滤波精度）。因此，我们需要选择采样频率至少为 100 Hz 的传感器。

2、使用传感器（有了硬件去调参数）

这是自底向上的调试思路。在硬件采样频率固定（如 IMU 锁定在 100 Hz）的情况下，寻找截止频率的最佳设置区间。

算上限：工程上通常要求采样频率大于 10 倍的截止频率（经验值，确保滤波精度），即截止频率小于 10 Hz。
看下限：为了保留有效信号，截止频率必须大于信号频率（如 5 Hz）。
定参数：在"上限"和"下限"的夹缝中选择一个值（如 8 Hz）。如果信号频率高于上限（如想测 50 Hz 震动），则说明该传感器采样频率不足，无法胜任。

三、C语言实现

使用以下代码，请包含以下公共内容

C 复制代码

#include <stdint.h>
#include <math.h>  /* 双线性变换法需要用到 tanf */

#ifndef PI
#define PI 3.14159265358979323846f
#endif

1、后向差分方法（Backward Difference）

这是最经典、最稳健的实现方式。它利用上一时刻的输出值进行递推，数值稳定性高，无条件稳定。适用于绝大多数传感器滤波、电机控制等通用场景。若调试中发现数据有明显的相位滞后，可适当增大截止频率。

C 复制代码

#include <stdint.h> /* 推荐包含标准类型定义 */


/**
 * @brief       后向差分法一阶低通滤波器结构体
 */
typedef struct
{
	float alpha;           /* 滤波系数 */
	float one_minus_alpha; /* 预计算的 (1 - alpha) */
	float last_output;     /* 上一次滤波输出值 */
	float cutoff_freq;     /* 截止频率 */
	float sample_freq;     /* 采样频率 */
} LPF_BackwardEuler;

/**
 * @brief       后向差分法一阶低通滤波器初始化函数
 * @param       filter : 滤波器结构体指针
 * @param       cutoff_freq : 截止频率
 * @param       sample_freq : 采样频率
 * @retval      0:成功, -1:参数错误
 * @note        建议 sample_freq 至少为 cutoff_freq 的 10 倍以获得较好的效果
 */
int lpf_backward_euler_init(LPF_BackwardEuler *filter, float cutoff_freq, float sample_freq)
{
	if (filter == NULL || cutoff_freq <= 0.0f || sample_freq <= 0.0f)
	{
		return -1;
	}
    
	/* 
	* 限制采样率不得低于奈奎斯特频率 (2倍)，否则无法重构信号。
	* 实际工程中为了滤波效果，通常建议 10 倍以上。
	*/
	if (sample_freq < 2.0f * cutoff_freq)
	{
		return -1; 
	}
	

	float tau = 1.0f / (2.0f * PI * cutoff_freq);
	float ts = 1.0f / sample_freq;
	filter->alpha = ts / (tau + ts);
	
	filter->one_minus_alpha = 1.0f - filter->alpha;
	
	/* 初始化结构体成员 */
	filter->cutoff_freq = cutoff_freq;
	filter->sample_freq = sample_freq;
	filter->last_output = 0.0f;
	
	return 0;
}

/**
 * @brief       后向差分法一阶低通滤波器计算函数
 * @param       filter : 滤波器结构体指针
 * @param       input : 当前输入值
 * @retval      滤波后的输出值
 */
float lpf_backward_euler_update(LPF_BackwardEuler *filter, float input)
{
	float output;
	
	if (filter == NULL)
	{
		return input; 
	}
	
	/* 核心公式：y[n] = alpha * x[n] + (1 - alpha) * y[n-1] */
	output = filter->alpha * input + filter->one_minus_alpha * filter->last_output;
	
	filter->last_output = output;
	
	return output;
}

/**
 * @brief       重置后向差分法一阶低通滤波器状态
 * @param       filter : 滤波器结构体指针
 * @param       init_val : 重置后的初始输出值
 * @retval      0:成功, -1:参数错误
 */
int lpf_backward_euler_reset(LPF_BackwardEuler *filter, float init_val)
{
	if (filter == NULL)
	{
		return -1;
	}
	
	filter->last_output = init_val;
	return 0;
}

2、前向差分法（Forward Difference）

公式简单，但属于显式欧拉法，只有在特定情况下才稳定。由于对采样频率和截止频率的比例敏感，容易出现发散。除非有特殊的极低频需求或对代码极其简化，否则一般不推荐。

c 复制代码

/**
 * @brief       前向差分法一阶低通滤波器结构体
 */
typedef struct
{
	float alpha;           /* 滤波系数 (omega * Ts) */
	float one_minus_alpha; /* 预计算的 (1 - alpha) */
	float last_input;      /* 上一次滤波输入值 x[n-1] */
	float last_output;     /* 上一次滤波输出值 y[n-1] */
	float cutoff_freq;     /* 截止频率 */
	float sample_freq;     /* 采样频率 */
} LPF_ForwardDifference;

/**
 * @brief       前向差分法一阶低通滤波器初始化函数
 * @param       filter : 滤波器结构体指针
 * @param       cutoff_freq : 截止频率
 * @param       sample_freq : 采样频率
 * @retval      0:成功, -1:参数错误
 */
int lpf_forward_difference_init(LPF_ForwardDifference *filter, float cutoff_freq, float sample_freq)
{
	if (filter == NULL || cutoff_freq <= 0.0f || sample_freq <= 0.0f)
	{
		return -1;
	}
	
	/* 
	* 前向差分法虽然有理论稳定极限 (PI * fc)，但在接近极限时误差极大。
	* 此处强制执行 10 倍规则，确保工程应用的可靠性。
	*/
	if (sample_freq < 10.0f * cutoff_freq)
	{
		return -1; 
	}
	
	/* 计算过程系数 */
	float tau = 1.0f / (2.0f * PI * cutoff_freq);
	float ts = 1.0f / sample_freq;
	filter->alpha = ts / tau;
	filter->one_minus_alpha = 1.0f - filter->alpha;
	
	/* 初始化结构体成员 */
	filter->cutoff_freq = cutoff_freq;
	filter->sample_freq = sample_freq;
	filter->last_input = 0.0f;
	filter->last_output = 0.0f;
	
	return 0;
}

/**
 * @brief       前向差分法一阶低通滤波器计算函数
 * @param       filter : 滤波器结构体指针
 * @param       input : 当前输入值
 * @retval      滤波后的输出值
 */
float lpf_forward_difference_update(LPF_ForwardDifference *filter, float input)
{
	float output;
	
	if (filter == NULL)
	{
		return input; 
	}
	
	/* y[n] = (1 - Ts/Tau)y[n-1] + (Ts/Tau)x[n-1] */
	output = filter->one_minus_alpha * filter->last_output + filter->alpha * filter->last_input;
	
	/* 更新历史值：当前输入作为下一次的历史输入 */
	filter->last_input = input;
	filter->last_output = output;
	
	return output;
}

/**
 * @brief       重置前向差分法一阶低通滤波器状态
 * @param       filter : 滤波器结构体指针
 * @param       init_val : 重置后的初始输出值
 * @retval      0:成功, -1:参数错误
 */
int lpf_forward_difference_reset(LPF_ForwardDifference *filter, float init_val)
{
	if (filter == NULL)
	{
		return -1;
	}
	
	filter->last_input = init_val;
	filter->last_output = init_val;
	
	return 0;
}

3、双线性变换法（Tustin / Bilinear）

通过双线性变换将模拟域映射到数字域。它不仅能利用当前输入，还利用了历史输入和输出，其频率响应特性最接近理论模拟滤波器。适用于对幅频特性要求较高的音频处理、信号分析，或采样频率相对较低的精密控制场合。

C 复制代码

/**
 * @brief       双线性变换法一阶低通滤波器结构体
 */
typedef struct
{
	float b0;             /* 输入系数 b0 */
	float b1;             /* 输入系数 b1 */
	float a1;             /* 反馈系数 a1 */
	float last_input;     /* 上一次滤波输入值 x[n-1] */
	float last_output;    /* 上一次滤波输出值 y[n-1] */
	float cutoff_freq;    /* 截止频率 */
	float sample_freq;    /* 采样频率 */
} LPF_BilinearTransform;

/**
 * @brief       双线性变换法一阶低通滤波器初始化函数
 * @param       filter : 滤波器结构体指针
 * @param       cutoff_freq : 截止频率
 * @param       sample_freq : 采样频率
 * @retval      0:成功, -1:参数错误
 */
int lpf_bilinear_transform_init(LPF_BilinearTransform *filter, float cutoff_freq, float sample_freq)
{
	if (filter == NULL || cutoff_freq <= 0.0f || sample_freq <= 0.0f)
	{
		return -1;
	}
	
	/* 奈奎斯特频率限制 */
	if (sample_freq < 2.0f * cutoff_freq)
	{
		return -1; 
	}
	
	float wc = 2.0f * PI * cutoff_freq;
	float T = 1.0f / sample_freq;
	
	/* 频率预扭曲，目的是消除双线性变换在高频处的非线性频率畸变，确保截止频率准确 */
	float wc_twisted = (2.0f / T) * tanf((wc * T) / 2.0f);
	
	/* 计算双线性变换系数 */
	float K = (wc_twisted * T) / 2.0f;
	float denominator = 1.0f + K;
	
	filter->b0 = K / denominator;
	filter->b1 = filter->b0;  
	filter->a1 = (K - 1.0f) / denominator;
	
	/* 初始化结构体成员 */
	filter->cutoff_freq = cutoff_freq;
	filter->sample_freq = sample_freq;
	filter->last_input = 0.0f;
	filter->last_output = 0.0f;
	
	return 0;
}

/**
 * @brief       双线性变换法一阶低通滤波器计算函数
 * @param       filter : 滤波器结构体指针
 * @param       input : 当前输入值
 * @retval      滤波后的输出值
 */
float lpf_bilinear_transform_update(LPF_BilinearTransform *filter, float input)
{
	float output;
	
	if (filter == NULL)
	{
		return input; 
	}
	
	/* 核心公式：y[n] = b0*x[n] + b1*x[n-1] - a1*y[n-1] */
	output = filter->b0 * input 
	+ filter->b1 * filter->last_input 
	- filter->a1 * filter->last_output;
	
	/* 更新历史状态 */
	filter->last_input = input;
	filter->last_output = output;
	
	return output;
}

/**
 * @brief       重置双线性变换法一阶低通滤波器状态
 * @param       filter : 滤波器结构体指针
 * @param       init_val : 重置后的初始输出值
 * @retval      0:成功, -1:参数错误
 */
int lpf_bilinear_transform_reset(LPF_BilinearTransform *filter, float init_val)
{
	if (filter == NULL)
	{
		return -1;
	}
	
	filter->last_input = init_val;
	filter->last_output = init_val;
	
	return 0;
}

4、工程选择速查表

方法	稳定性	计算量	相位/延迟特性	核心特点	适用场景
后向差分法	无条件稳定	极低 (1次乘法 + 1次乘加)	存在相位滞后 (隐式欧拉)	最常用，最稳健。系数计算简单，不涉及三角函数。	绝大多数场景。电机控制、传感器去噪、PID滤波。
双线性变换法	无条件稳定	中等 ( 3 次乘加)	频率响应最准 (需预扭曲)	精度最高。在截止频率处的幅值衰减最准确（-3dB），频率映射保真度最好。	高精度要求。音频处理、精密仪器、精密测量、电源闭环控制。
前向差分法	有条件稳定 (需 fs > π·fc)	极低	延迟最大 (显式，多拍滞后)	算法简单，但天然引入 1 个采样周期的纯延迟，且易发散。	极少推荐。仅在处理极低频信号且计算资源极其受限时考虑。

四、总结

一阶低通滤波器是嵌入式信号处理中最基础、最常用的工具。正确使用它的关键，在于理解信号频率、噪声频率、采样频率与截止频率 之间的制约关系。在实际开发中，建议优先采用后向差分法进行实现，根据实际的采样频率和信号带宽，灵活调整截止频率，以达到去噪与响应速度的最佳平衡。