字典树的一百种用法

\[\huge\texttt{0/1 Trie} \]

\[\LARGE\texttt{\#1-Count Inversions} \]

\[\large\texttt{Problem} \]

$$\texttt{link}$$

\[\large\texttt{Idea} \]

考虑逆序对总个数的表达式：

\[\sum_{i=2}^{n}\sum_{j=1}^{i-1}\left[a_i<a_j\right] \]

显然，通过式子直接暴力，复杂度为 \(\mathcal{O}(n^2)\)，显然错误。

考虑对于内层循环进行优化，主要问题在于如果最原始地进行比较大小需要一个一个进行比较。

于是，想到高位更大的数字一定更大，我们可以从高位依次比较。

于是我们可以考虑使用字典树，利用字典树存储二进制下每个数的每一位数。

\[\large\texttt{Solution} \]

对于每个数一次插入字典树，具体参考模板，以下仅赘述统计逆序对的部分。

假设当前插入的数为 \(x\)：

• 若当前遍历的位数上的编码为 \(\texttt{0}\)，则这一位编码为 \(\texttt{1}\) 的数能与 \(x\) 构成逆序对，更新答案，继续向下一位遍历。
• 若当前遍历的位数上的编码为 \(\texttt{1}\)，则继续向下一位遍历。

具体统计可以记录每个节点下存有几个数。

这里注意一个细节，每个数二进制形式的长度不同，需要统一长度，一种方法是都将长度变为 \(30\)，在前面填 \(\texttt{0}\) 即可。

时间复杂度 \(\mathcal{O}(n)\)，实则如果全部统一成 \(30\) 位是有一个大常数 \(30\) 的，写标准复杂度应该是 \(\mathcal{O}\left(n\log\left(\max\limits_{1\le i\le n}\left\{a_i\right\}\right)\right)\)。

当然还有其它解决长度不统一的方法。

\[\large\texttt{Code} \]

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,nex[15000005][2],cnt,siz[15000005];
long long ans;
void insert(int s){
    int p=0;
    for(int i=29;i>=0;i--){
        int c=(s>>i)&1;
        if(c==0)ans+=siz[nex[p][1]];
        if(!nex[p][c])nex[p][c]=++cnt;
        p=nex[p][c];
        siz[p]++;
    }
}
signed main(){
    cin>>n;
    for(int a,i=1;i<=n;i++){
        cin>>a;
        insert(a);
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}

又短又好写。