P5291 [十二省联考 2019] 希望
对于一个合法方案，可到达的点集一定是一个连通块，于是考虑点减边容斥。
现在，对于每个点 \(u\)，我们要对最远距离 \(u\) \(\le L\) 且包含 \(u\) 的连通块计数。
设 \(f_{u, x}\) 为 \(u\) 的子树内，最远距离 \(u\) 不超过 \(x\) 的连通块的个数，\(g_{u, x}\) 为 \(u\) 的子树外最远距离 \(u\) 不超过 \(x\) 的连通块的个数，有 \(f_{u, x}=\prod_{v\in son_u} f_{v, x-1}+1\)， \(g_{u, x}=g_{fa_u,x-1}\times \prod_{v\in son_{fa_u} \setminus u} f_{v, x-2}+1\)我们对于每个点要得到 \(f_{u, L},f_{u, L-1}, g_{u, L}\) 类似的状物。
\(f_u\) 的转移是经典的长链剖分优化 dp。
关于 \(g\) ，我们也采用类似长链剖分的套路，暴力转移轻儿子，让重儿子继承答案，时间复杂度 \(O(n\log n)\)，可以通过离线处理逆元的方式优化到 \(O(n\log k)\)。
P5292 [HNOI2019] 校园旅行
朴素 dp 设 \(f_{u, v}\) 表示 \(u\) 到 \(v\) 的路径是否可行，转移就是枚举 \(u\) 和 \(v\) 的出边，复杂度 \(O((\sum deg_u)^2)=O(m^2)\)，可以通过枚举中间状态优化到 \(O(nm)\) 但是没有前途。
考虑刻画回文路径的形态，我们发现在路径的中间截断，两端的 \(00\) 可以扩展成 \(0000\)，\(01\) 可以扩展成 \(0101\)，\(11\) 同理，我们把颜色相同或者连续相异的段和并在一起，发现只需要每一段的种类和长度的奇偶性相同即可。我们只要让每两个点之间同种类路径的奇偶可能性保持不变就行了。我们可以只保留一部分边，使得原图和新图的路径等价。具体地：
- 对于每一个同色边的连通块，我们保留一颗生成树，如果有奇环，就随便找一个点添加一个自环
- 对于每一个异色边的连通块，由于其一定没有奇环，只保留一颗生成树。
这样边数就降到了 \(O(n)\)，总复杂度 \(O(n^2)\)。
P9168 [省选联考 2023] 人员调度
构建二分图模型来判定一种方案是否合法，设 \(s_u\) 表示 \(u\) 子树内需要匹配的人员数量，一个合法匹配需要满足，\(\forall u,s_u\le siz_u\)。
用线段数二分将删除转换为撤销，每次加入一个员工 \((x, k)\) 时，找到其最深的祖先 \(u\) 满足 \(siz_u=s_u\)，再找到 \(u\) 子树内能力值最小的 \((x', k')\) 并将其替换。\(O(n\log^3 n)\)。