埃氏筛法简介

【埃氏筛法简介】
● 埃氏筛，全称埃拉托斯特尼筛法（Sieve of Eratosthenes），是一种用于找出自然数范围内所有素数的经典算法，由古希腊数学家埃拉托斯特尼提出。其核心思想是：++从最小的素数 2 开始，逐步筛除每个素数的所有倍数，最终剩下的未被筛除的数即为素数++。埃氏筛的核心代码如下所示。

cpp 复制代码

st[0]=st[1]=false;
for(int i=2; i*i<=n; i++) {
    if(!st[i]) continue;
    for(int j=2*i; j<=n; j+=i) st[j]=false;
}

该算法的时间复杂度为 O(n log log n)，在处理 10^6 及以内的素数查找时效率极高，是数论和算法竞赛中最常用的素数查找方法。

● 埃氏筛法的核心局限性是重复筛除合数。

上图中的不同颜色，代表不同批次筛掉的合数。叠加有椭圆的数，代表进行了重复筛除 。
实际开发中，可将核心代码中 j 的开始位置从 2*i 优化为 i*i 。优化后的核心代码如下所示。

cpp 复制代码

st[0]=st[1]=false;
for(int i=2; i*i<=n; i++) {
    if(!st[i]) continue;
    for(int j=i*i; j<=n; j+=i) st[j]=false;
}

由下图易见，j 的开始位置从 2*i 优化为 i*i 优化后，重复筛除的次数明显减少。

● 欧拉筛（线性筛）通过++每个合数仅被其最小质因数筛除++的规则，将时间复杂度优化至严格 O (n)，使得欧拉筛是处理更大范围素数（如 1e7~1e8）的优选算法。欧拉筛（线性筛）没有埃氏筛法重复筛除合数的核心局限性，

【埃氏筛法代码】
代码来源于"洛谷 P3383"：https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/157643126

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
vector<bool> st; //isPrime
vector<int> p; //prime
 
void e_sieve(int n) { //eratosthenes_sieve
    st.assign(n+1,true); //0~n
    st[0]=st[1]=false;
    for(int i=2; i*i<=n; i++) {
        if(!st[i]) continue;
        for(int j=i*i; j<=n; j+=i) st[j]=false;
    }
 
    for(int i=2; i<=n; i++) {
        if(st[i]) p.push_back(i);
    }
}
 
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
 
    int n,q,k;
    cin>>n>>q;
    e_sieve(n);
    while(q--) {
        cin>>k;
        cout<<p[k-1]<<"\n";
    }
 
    return 0;
}
 
/*
in:
100 5
1
2
3
4
5

out:
2
3
5
7
11
*/

【参考文献】
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/157643126
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/157615246
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/155538927