注：本文为"数学分析和高等代数"相关合辑。
数学分析与高等代数优质公开课推荐（数学系）
双人余 编辑于 2018-01-23 23:38
一、数学分析
1. 中国科学技术大学 常庚哲、史济怀
概念讲解清晰严谨，注重背景交代与动机分析。每引入新概念均阐明其产生背景与研究意义，补充教材未详述但助于深度理解的内容。
教材：
- 《数学分析教程（上册）》（2003）
- 《数学分析教程（下册）》（2003）
- 《数学分析教程（上册·第3版）》（2012）
- 《数学分析教程（下册·第3版）》（2013）
视频资源： https://pan.baidu.com/s/1dGMK5hf?pwd=rsrr
2. 复旦大学 陈纪修 / 於崇华 / 金路
体系完整，注重基础训练与计算能力培养，例题与习题配置丰富，配套习题解答详尽，适合系统学习与应试准备。
教材：
- 《数学分析（第3版·上册）》（2019）
- 《数学分析（第3版·下册）》（2019）
- 《数学分析（第3版）习题全解指南（上册）》（2020）
- 《数学分析（第3版）习题全解指南（下册）》（2020）
视频资源： https://pan.baidu.com/s/1qZlkuHu?pwd=xaf3
二、高等代数
北京大学 丘维声
采用启发式教学，授课风格鲜明，注重思维引导。
教材：
- 《高等代数（上册）》（2010）
- 《高等代数（下册）》（2010）
- 《高等代数（第二版·上册）》（2019）
- 《高等代数（第二版·下册）》（2019）
视频资源： https://pan.baidu.com/s/1ggDSXxT?pwd=hp38
数学分析与高等代数自学教材推荐
殷正 编辑于 2016-10-27 18:13
适用于大二电子工程专业、高等数学基础薄弱，希望夯实数学分析与高等代数理论基础的学习者。
数学分析
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基础阶段
龚昇《简明微积分》，适配高等数学基础薄弱的学习者，可帮助构建对微积分学科的系统认知。
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入门进阶阶段
辛钦《数学分析八讲》，本书面向希望提升分析能力的工程技术人员编写，与电子工程专业学习者的需求契合，适用于非数学、非理科专业学习者，知识脉络清晰，呈现数学分析的主干知识内容。
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深度拓展阶段（二选一）
（1）菲赫金哥尔茨《微积分学教程》（全三卷），内容体系完整，可参照《数学分析八讲》的知识框架，选取对应章节开展学习。
（2）柯朗《微积分与数学分析引论》，译本第二卷第二分册包含微分方程、变分法、复变函数相关内容，可衔接数学分析后续课程。
高等代数
推荐丘维声《高等代数》（清华大学创新课教材），内容详实丰富。
可搭配丘维声《简明线性代数》同步学习，以《简明线性代数》梳理学科主干知识，再结合《高等代数》补充拓展对应内容。
数学分析与高等代数
数学分析与高等代数是大学数学专业的两大基础支柱课程。二者在研究对象、思想方法和工具应用上既分工明确，又深度互补、相互渗透，共同构成现代数学的底层逻辑框架。
一、学科定位与研究对象
1. 数学分析
聚焦连续量与无穷过程，以实数理论为根基，研究极限、微积分、无穷级数、函数连续性等内容，处理连续变化、无穷逼近、局部与整体的分析关系。
2. 高等代数
聚焦离散代数结构与线性关系，以向量空间、线性变换为依托，研究矩阵、行列式、多项式、二次型等内容，处理有限维线性系统、代数运算与结构分解。
二、内在关联与方法论互通
1. 工具互用：彼此提供方法支撑
高等代数为数学分析提供代数工具：
- 多元函数微积分中，雅可比矩阵 描述变量间的线性近似，海塞矩阵判定多元函数极值；
- 傅里叶级数 与正交函数系本质上是函数空间中的正交基展开，依托内积空间理论；
- 二次型 与特征值理论用于多元函数极值判定、二次曲线/曲面的分类与标准化。
数学分析为高等代数提供分析方法：
- 矩阵函数 （如矩阵指数 e A e^A eA、矩阵对数）的定义严格依赖于幂级数展开与收敛性分析；
- 特征值的连续性、矩阵扰动与逼近问题借助极限与拓扑思想；
- 多项式逼近理论、线性变换的数值计算与误差分析依托微积分工具。
2. 思想互通：共享数学思维方式
| 思想 | 高等代数体现 | 数学分析体现 |
|---|---|---|
| 线性化 | 线性系统、向量空间结构 | 微分（切线/切平面近似）、泰勒展开 |
| 逼近 | 正交投影、最佳逼近、基展开 | 泰勒展开、傅里叶逼近、数值积分 |
| 结构不变性 | 代数结构（群、环、域）、相似不变量 | 分析结构（连续性、可微性、积分不变性） |
3. 体系互补：覆盖数学的两大基本维度
- 数学分析 刻画连续、无穷、动态 的数学世界，强调度量、收敛、微积分；
- 高等代数 刻画离散、有限、静态 的线性结构，强调抽象化、分类、不变量。
分析提供近似的语言 ，代数提供精确的结构；两者交织于泛函分析、微分方程、代数几何，共同构成现代数学的两大支柱。
二者结合，完整覆盖了数学研究的基础场景：从有限到无穷、从离散到连续、从静态结构到动态演化。
三、学科交汇与后续延伸
两门课程是后续现代数学分支的共同基石：
- 泛函分析：将有限维线性空间（高等代数）推广至无穷维，同时纳入极限、连续（数学分析）概念，实现两门学科的深度融合；
- 微分几何：用线性代数（张量、微分形式、变换群）描述几何结构，用数学分析（微积分、微分方程）研究几何性质与曲率；
- 数值分析与计算数学：微积分提供连续模型与误差估计，线性代数提供离散化求解与矩阵算法；
- 机器学习与数据科学：优化理论（梯度下降、变分法）依托分析，数据表示与算法实现（矩阵分解、特征提取）依托代数。
四、具体应用领域
（一）数学理论领域
- 泛函分析：无穷维线性空间理论（算子谱理论、巴拿赫空间、希尔伯特空间）是高等代数与数学分析的统一框架；
- 微分方程：常微分方程的线性系统理论直接应用矩阵方法；偏微分方程的泛函方法、变分原理与索伯列夫空间理论融合两门学科；
- 微分几何与拓扑：用微积分刻画流形上的变化规律，用线性代数（切空间、张量丛、德拉姆上同调）描述局部线性结构。
（二）自然科学领域
- 物理学：经典力学与场论通过微积分描述连续运动与场分布，通过线性代数处理坐标变换与多体耦合；量子力学以希尔伯特空间（线性代数）为状态空间框架，以微分方程（数学分析）描述演化；
- 化学与力学：反应动力学、量子化学计算、结构力学有限元分析，均需先建立微分方程模型，再离散化为线性系统求解。
（三）工程与技术领域
- 信号与信息处理：傅里叶分析、小波变换（分析）用于信号分解，滤波与特征提取（代数）依赖矩阵运算与正交变换；
- 计算机科学：
- 机器学习：损失函数优化、反向传播（微积分），神经网络前向传播、降维、特征空间运算（线性代数）；
- 计算机图形学：三维变换、投影、光照模型依赖矩阵运算与微分几何；
- 控制工程：系统建模（微分方程），能控性、能观性分析与状态反馈设计（线性代数）。
（四）经济与金融领域
- 微积分：动态优化、边际分析、连续时间金融模型（布莱克-斯科尔斯方程）；
- 线性代数：投入产出分析、资产组合优化（马科维茨模型）、风险矩阵、主成分分析。
五、视频学习资源推荐
1. 几何直觉与概念串联）
- 3Blue1Brown《线性代数的本质》系列：以几何可视化揭示线性代数概念，明确展示其与微积分"局部线性化"思想的内在联系；
- 宋浩老师（B站）：高等数学与线性代数联动讲解，通俗梳理工具层面的交叉应用，适合建立初步认知。
2. 系统构建知识框架
- 中国科学技术大学、北京大学数学分析/高等代数公开课：系统讲授课程体系，明确知识点间的衔接逻辑；
- B 站数学系基础课串讲：聚焦考点与综合应用，强化两门课程的交叉解题能力。
3. 深层次理论融合
- 泛函分析/实变函数入门课程：从无穷维空间与算子理论视角，理解有限维线性代数向无穷维分析的推广逻辑，把握两门学科的统一本质。
Ref：
- 有哪些比较好的数学分析和高等代数的公开课（数学系）？ - 知乎 2018
https://www.zhihu.com/question/30145281 - 自学数学分析、高等代数这两门课请问用哪些教材比较好？ - 知乎 2016
https://www.zhihu.com/question/21142283