等效波阻抗的两种推导方法：电路理论与电磁场理论的对比与统一

摘要

等效波阻抗是多层媒质中电磁波传播分析与传输线理论的核心概念。本文从电路理论和电磁场理论两个角度，分别推导等效波阻抗的表达式，并揭示二者的内在统一性。电路角度基于传输线的分布参数模型和基尔霍夫定律，导出阻抗变换公式；电磁场角度则从麦克斯韦方程出发，利用平面波垂直入射多层媒质的边界条件，得到完全相同的表达式。本文旨在帮助读者深入理解等效波阻抗的物理本质及其在不同理论框架下的表现形式。

1. 引言

在微波工程、天线设计、隐身技术等领域，常遇到电磁波在多层媒质中传播的问题。等效波阻抗（或输入阻抗）是描述分界面处电磁波特性的关键参数，它反映了从某一分界面看向后方媒质时，该分界面上的总电场与总磁场之比，或传输线上该点的电压与电流之比。

等效波阻抗的推导可以从两个角度进行：

电路角度：将媒质层视为一段传输线，利用分布参数模型和阻抗变换公式。
电磁场角度：将媒质层视为连续媒质，利用平面波传播理论和边界条件。

本文分别介绍这两种推导方法，并说明它们的内在一致性。

2. 电路角度推导等效波阻抗

2.1 传输线的分布参数模型

一段均匀传输线可建模为一系列无穷小的集总参数单元，每个单元长度为 Δz\Delta zΔz，包含：

串联电阻 RΔzR \Delta zRΔz（Ω/m\Omega/\text{m}Ω/m）
串联电感 LΔzL \Delta zLΔz（H/m\text{H}/\text{m}H/m）
并联电导 GΔzG \Delta zGΔz（S/m\text{S}/\text{m}S/m）
并联电容 CΔzC \Delta zCΔz（F/m\text{F}/\text{m}F/m）

其中 R,L,G,CR, L, G, CR,L,G,C 是单位长度的参数。

2.2 电报方程

应用基尔霍夫电压定律和电流定律于微元段，并取极限 Δz→0\Delta z \to 0Δz→0，得到时域电报方程：

电压方程：
−∂v(z,t)∂z=Ri(z,t)+L∂i(z,t)∂t -\frac{\partial v(z,t)}{\partial z} = R i(z,t) + L \frac{\partial i(z,t)}{\partial t} −∂z∂v(z,t)=Ri(z,t)+L∂t∂i(z,t)

电流方程：
−∂i(z,t)∂z=Gv(z,t)+C∂v(z,t)∂t -\frac{\partial i(z,t)}{\partial z} = G v(z,t) + C \frac{\partial v(z,t)}{\partial t} −∂z∂i(z,t)=Gv(z,t)+C∂t∂v(z,t)

在正弦稳态下，用相量表示 v(z,t)=Re[V(z)ejωt]v(z,t) = \text{Re}[V(z) e^{j\omega t}]v(z,t)=Re[V(z)ejωt]，i(z,t)=Re[I(z)ejωt]i(z,t) = \text{Re}[I(z) e^{j\omega t}]i(z,t)=Re[I(z)ejωt]，得到频域电报方程：

−dV(z)dz=(R+jωL)I(z) -\frac{dV(z)}{dz} = (R + j\omega L) I(z) −dzdV(z)=(R+jωL)I(z)
−dI(z)dz=(G+jωC)V(z) -\frac{dI(z)}{dz} = (G + j\omega C) V(z) −dzdI(z)=(G+jωC)V(z)

2.3 波动方程与通解

由频域电报方程导出波动方程。对第一式求导，代入第二式：

d2V(z)dz2=(R+jωL)(G+jωC)V(z) \frac{d^2 V(z)}{dz^2} = (R + j\omega L)(G + j\omega C) V(z) dz2d2V(z)=(R+jωL)(G+jωC)V(z)

令传播常数：
γ=α+jβ=(R+jωL)(G+jωC) \gamma = \alpha + j\beta = \sqrt{(R + j\omega L)(G + j\omega C)} γ=α+jβ=(R+jωL)(G+jωC)

则：
d2V(z)dz2−γ2V(z)=0 \frac{d^2 V(z)}{dz^2} - \gamma^2 V(z) = 0 dz2d2V(z)−γ2V(z)=0

这是一个二阶常系数微分方程，通解为：
V(z)=V+e−γz+V−eγz V(z) = V^+ e^{-\gamma z} + V^- e^{\gamma z} V(z)=V+e−γz+V−eγz

其中 V+V^+V+ 是向 +z+z+z 方向传播的波，V−V^-V− 是向 −z-z−z 方向传播的波。

2.4 电流的表达式

利用频域电报方程的第一式：
I(z)=−1R+jωLdV(z)dz I(z) = -\frac{1}{R + j\omega L} \frac{dV(z)}{dz} I(z)=−R+jωL1dzdV(z)

对 V(z)V(z)V(z) 求导：
dV(z)dz=−γV+e−γz+γV−eγz \frac{dV(z)}{dz} = -\gamma V^+ e^{-\gamma z} + \gamma V^- e^{\gamma z} dzdV(z)=−γV+e−γz+γV−eγz

代入：
I(z)=−1R+jωL[−γV+e−γz+γV−eγz] I(z) = -\frac{1}{R + j\omega L} \left[ -\gamma V^+ e^{-\gamma z} + \gamma V^- e^{\gamma z} \right] I(z)=−R+jωL1[−γV+e−γz+γV−eγz]
I(z)=γR+jωL[V+e−γz−V−eγz] I(z) = \frac{\gamma}{R + j\omega L} \left[ V^+ e^{-\gamma z} - V^- e^{\gamma z} \right] I(z)=R+jωLγ[V+e−γz−V−eγz]

引入特性阻抗 Z0Z_0Z0：
Z0=R+jωLG+jωC Z_0 = \sqrt{\frac{R + j\omega L}{G + j\omega C}} Z0=G+jωCR+jωL

同时：
γR+jωL=(R+jωL)(G+jωC)R+jωL=G+jωCR+jωL=1Z0 \frac{\gamma}{R + j\omega L} = \frac{\sqrt{(R + j\omega L)(G + j\omega C)}}{R + j\omega L} = \sqrt{\frac{G + j\omega C}{R + j\omega L}} = \frac{1}{Z_0} R+jωLγ=R+jωL(R+jωL)(G+jωC) =R+jωLG+jωC =Z01

因此：
I(z)=1Z0(V+e−γz−V−eγz) I(z) = \frac{1}{Z_0} \left( V^+ e^{-\gamma z} - V^- e^{\gamma z} \right) I(z)=Z01(V+e−γz−V−eγz)

2.5 输入阻抗公式

在传输线末端 z=0z=0z=0 处接负载阻抗 ZL=V(0)/I(0)Z_L = V(0)/I(0)ZL=V(0)/I(0)。由 V(0)=V++V−V(0) = V^+ + V^-V(0)=V++V−，I(0)=(V+−V−)/Z0I(0) = (V^+ - V^-)/Z_0I(0)=(V+−V−)/Z0，可得反射系数：
ΓL=V−V+=ZL−Z0ZL+Z0 \Gamma_L = \frac{V^-}{V^+} = \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0} ΓL=V+V−=ZL+Z0ZL−Z0

在输入端 z=dz = dz=d 处，输入阻抗为：
Zin=V(d)I(d)=Z0V+e−γd+V−eγdV+e−γd−V−eγd Z_{\text{in}} = \frac{V(d)}{I(d)} = Z_0 \frac{V^+ e^{-\gamma d} + V^- e^{\gamma d}}{V^+ e^{-\gamma d} - V^- e^{\gamma d}} Zin=I(d)V(d)=Z0V+e−γd−V−eγdV+e−γd+V−eγd

代入 V−=ΓLV+V^- = \Gamma_L V^+V−=ΓLV+：
Zin=Z0e−γd+ΓLeγde−γd−ΓLeγd Z_{\text{in}} = Z_0 \frac{e^{-\gamma d} + \Gamma_L e^{\gamma d}}{e^{-\gamma d} - \Gamma_L e^{\gamma d}} Zin=Z0e−γd−ΓLeγde−γd+ΓLeγd

分子分母同乘以 eγde^{\gamma d}eγd：
Zin=Z01+ΓLe2γd1−ΓLe2γd Z_{\text{in}} = Z_0 \frac{1 + \Gamma_L e^{2\gamma d}}{1 - \Gamma_L e^{2\gamma d}} Zin=Z01−ΓLe2γd1+ΓLe2γd

代入 ΓL\Gamma_LΓL 的表达式，化简后得到标准的输入阻抗公式：
Zin=Z0ZL+Z0tanh⁡(γd)Z0+ZLtanh⁡(γd) Z_{\text{in}} = Z_0 \frac{Z_L + Z_0 \tanh(\gamma d)}{Z_0 + Z_L \tanh(\gamma d)} Zin=Z0Z0+ZLtanh(γd)ZL+Z0tanh(γd)

这就是电路角度的等效波阻抗公式。

3. 电磁场角度推导等效波阻抗

3.1 平面波垂直入射模型

考虑平面波从媒质1垂直入射到媒质2（厚度 ddd，本征阻抗 η2\eta_2η2，传播常数 γ2\gamma_2γ2），背后是媒质3（本征阻抗 η3\eta_3η3）。为方便起见，设分界面②位于 z=0z=0z=0，分界面①位于 z=−dz=-dz=−d。

3.2 媒质2中的场分布

在媒质2中，电场和磁场为：
E2(z)=E2+e−γ2z+E2−eγ2z E_2(z) = E_2^+ e^{-\gamma_2 z} + E_2^- e^{\gamma_2 z} E2(z)=E2+e−γ2z+E2−eγ2z
H2(z)=1η2(E2+e−γ2z−E2−eγ2z) H_2(z) = \frac{1}{\eta_2} \left( E_2^+ e^{-\gamma_2 z} - E_2^- e^{\gamma_2 z} \right) H2(z)=η21(E2+e−γ2z−E2−eγ2z)

其中 E2+E_2^+E2+ 是向 +z+z+z 方向传播的波，E2−E_2^-E2− 是向 −z-z−z 方向传播的波。

3.3 分界面②的边界条件

在 z=0z=0z=0 处，电场和磁场连续：
E2(0)=E2++E2−=E3(0) E_2(0) = E_2^+ + E_2^- = E_3(0) E2(0)=E2++E2−=E3(0)
H2(0)=1η2(E2+−E2−)=H3(0) H_2(0) = \frac{1}{\eta_2}(E_2^+ - E_2^-) = H_3(0) H2(0)=η21(E2+−E2−)=H3(0)

对于半无限大媒质3（无反射波），有 E3(0)=η3H3(0)E_3(0) = \eta_3 H_3(0)E3(0)=η3H3(0)，代入得：
E2++E2−=η3⋅1η2(E2+−E2−) E_2^+ + E_2^- = \eta_3 \cdot \frac{1}{\eta_2}(E_2^+ - E_2^-) E2++E2−=η3⋅η21(E2+−E2−)

整理得：
η2(E2++E2−)=η3(E2+−E2−) \eta_2(E_2^+ + E_2^-) = \eta_3(E_2^+ - E_2^-) η2(E2++E2−)=η3(E2+−E2−)
(η2−η3)E2++(η2+η3)E2−=0 (\eta_2 - \eta_3)E_2^+ + (\eta_2 + \eta_3)E_2^- = 0 (η2−η3)E2++(η2+η3)E2−=0

解得反射系数：
Γ2=E2−E2+=η3−η2η3+η2 \Gamma_2 = \frac{E_2^-}{E_2^+} = \frac{\eta_3 - \eta_2}{\eta_3 + \eta_2} Γ2=E2+E2−=η3+η2η3−η2

3.4 分界面①的等效波阻抗

在 z=−dz = -dz=−d 处，等效波阻抗定义为该处的总电场与总磁场之比：
ηe1=E2(−d)H2(−d) \eta_{e1} = \frac{E_2(-d)}{H_2(-d)} ηe1=H2(−d)E2(−d)

代入场表达式：
E2(−d)=E2+eγ2d+E2−e−γ2d E_2(-d) = E_2^+ e^{\gamma_2 d} + E_2^- e^{-\gamma_2 d} E2(−d)=E2+eγ2d+E2−e−γ2d
H2(−d)=1η2(E2+eγ2d−E2−e−γ2d) H_2(-d) = \frac{1}{\eta_2} \left( E_2^+ e^{\gamma_2 d} - E_2^- e^{-\gamma_2 d} \right) H2(−d)=η21(E2+eγ2d−E2−e−γ2d)

因此：
ηe1=η2⋅E2+eγ2d+E2−e−γ2dE2+eγ2d−E2−e−γ2d \eta_{e1} = \eta_2 \cdot \frac{E_2^+ e^{\gamma_2 d} + E_2^- e^{-\gamma_2 d}}{E_2^+ e^{\gamma_2 d} - E_2^- e^{-\gamma_2 d}} ηe1=η2⋅E2+eγ2d−E2−e−γ2dE2+eγ2d+E2−e−γ2d

代入反射系数 Γ2=E2−/E2+\Gamma_2 = E_2^-/E_2^+Γ2=E2−/E2+：
ηe1=η2⋅eγ2d+Γ2e−γ2deγ2d−Γ2e−γ2d \eta_{e1} = \eta_2 \cdot \frac{e^{\gamma_2 d} + \Gamma_2 e^{-\gamma_2 d}}{e^{\gamma_2 d} - \Gamma_2 e^{-\gamma_2 d}} ηe1=η2⋅eγ2d−Γ2e−γ2deγ2d+Γ2e−γ2d

3.5 用 η3\eta_3η3 表示并引入双曲函数

代入 Γ2=(η3−η2)/(η3+η2)\Gamma_2 = (\eta_3 - \eta_2)/(\eta_3 + \eta_2)Γ2=(η3−η2)/(η3+η2)：

分子：
eγ2d+η3−η2η3+η2e−γ2d=(η3+η2)eγ2d+(η3−η2)e−γ2dη3+η2 e^{\gamma_2 d} + \frac{\eta_3 - \eta_2}{\eta_3 + \eta_2} e^{-\gamma_2 d} = \frac{(\eta_3 + \eta_2) e^{\gamma_2 d} + (\eta_3 - \eta_2) e^{-\gamma_2 d}}{\eta_3 + \eta_2} eγ2d+η3+η2η3−η2e−γ2d=η3+η2(η3+η2)eγ2d+(η3−η2)e−γ2d

分母：
eγ2d−η3−η2η3+η2e−γ2d=(η3+η2)eγ2d−(η3−η2)e−γ2dη3+η2 e^{\gamma_2 d} - \frac{\eta_3 - \eta_2}{\eta_3 + \eta_2} e^{-\gamma_2 d} = \frac{(\eta_3 + \eta_2) e^{\gamma_2 d} - (\eta_3 - \eta_2) e^{-\gamma_2 d}}{\eta_3 + \eta_2} eγ2d−η3+η2η3−η2e−γ2d=η3+η2(η3+η2)eγ2d−(η3−η2)e−γ2d

因此：
ηe1=η2⋅(η3+η2)eγ2d+(η3−η2)e−γ2d(η3+η2)eγ2d−(η3−η2)e−γ2d \eta_{e1} = \eta_2 \cdot \frac{(\eta_3 + \eta_2) e^{\gamma_2 d} + (\eta_3 - \eta_2) e^{-\gamma_2 d}}{(\eta_3 + \eta_2) e^{\gamma_2 d} - (\eta_3 - \eta_2) e^{-\gamma_2 d}} ηe1=η2⋅(η3+η2)eγ2d−(η3−η2)e−γ2d(η3+η2)eγ2d+(η3−η2)e−γ2d

利用双曲函数：

cosh⁡(γ2d)=(eγ2d+e−γ2d)/2\cosh(\gamma_2 d) = (e^{\gamma_2 d} + e^{-\gamma_2 d})/2cosh(γ2d)=(eγ2d+e−γ2d)/2
sinh⁡(γ2d)=(eγ2d−e−γ2d)/2\sinh(\gamma_2 d) = (e^{\gamma_2 d} - e^{-\gamma_2 d})/2sinh(γ2d)=(eγ2d−e−γ2d)/2

分子可写为：
(η3+η2)eγ2d+(η3−η2)e−γ2d=2η3cosh⁡(γ2d)+2η2sinh⁡(γ2d) (\eta_3 + \eta_2) e^{\gamma_2 d} + (\eta_3 - \eta_2) e^{-\gamma_2 d} = 2\eta_3 \cosh(\gamma_2 d) + 2\eta_2 \sinh(\gamma_2 d) (η3+η2)eγ2d+(η3−η2)e−γ2d=2η3cosh(γ2d)+2η2sinh(γ2d)

分母：
(η3+η2)eγ2d−(η3−η2)e−γ2d=2η2cosh⁡(γ2d)+2η3sinh⁡(γ2d) (\eta_3 + \eta_2) e^{\gamma_2 d} - (\eta_3 - \eta_2) e^{-\gamma_2 d} = 2\eta_2 \cosh(\gamma_2 d) + 2\eta_3 \sinh(\gamma_2 d) (η3+η2)eγ2d−(η3−η2)e−γ2d=2η2cosh(γ2d)+2η3sinh(γ2d)

代入：
ηe1=η2⋅2η3cosh⁡(γ2d)+2η2sinh⁡(γ2d)2η2cosh⁡(γ2d)+2η3sinh⁡(γ2d) \eta_{e1} = \eta_2 \cdot \frac{2\eta_3 \cosh(\gamma_2 d) + 2\eta_2 \sinh(\gamma_2 d)}{2\eta_2 \cosh(\gamma_2 d) + 2\eta_3 \sinh(\gamma_2 d)} ηe1=η2⋅2η2cosh(γ2d)+2η3sinh(γ2d)2η3cosh(γ2d)+2η2sinh(γ2d)

分子分母约去 2：
ηe1=η2⋅η3cosh⁡(γ2d)+η2sinh⁡(γ2d)η2cosh⁡(γ2d)+η3sinh⁡(γ2d) \eta_{e1} = \eta_2 \cdot \frac{\eta_3 \cosh(\gamma_2 d) + \eta_2 \sinh(\gamma_2 d)}{\eta_2 \cosh(\gamma_2 d) + \eta_3 \sinh(\gamma_2 d)} ηe1=η2⋅η2cosh(γ2d)+η3sinh(γ2d)η3cosh(γ2d)+η2sinh(γ2d)

分子分母除以 cosh⁡(γ2d)\cosh(\gamma_2 d)cosh(γ2d)：
ηe1=η2⋅η3+η2tanh⁡(γ2d)η2+η3tanh⁡(γ2d) \eta_{e1} = \eta_2 \cdot \frac{\eta_3 + \eta_2 \tanh(\gamma_2 d)}{\eta_2 + \eta_3 \tanh(\gamma_2 d)} ηe1=η2⋅η2+η3tanh(γ2d)η3+η2tanh(γ2d)

这就是电磁场角度的等效波阻抗公式。

4. 两种角度的统一

比较电路角度得到的输入阻抗公式：
Zin=Z0ZL+Z0tanh⁡(γd)Z0+ZLtanh⁡(γd) Z_{\text{in}} = Z_0 \frac{Z_L + Z_0 \tanh(\gamma d)}{Z_0 + Z_L \tanh(\gamma d)} Zin=Z0Z0+ZLtanh(γd)ZL+Z0tanh(γd)

与电磁场角度得到的等效波阻抗公式：
ηe1=η2η3+η2tanh⁡(γ2d)η2+η3tanh⁡(γ2d) \eta_{e1} = \eta_2 \frac{\eta_3 + \eta_2 \tanh(\gamma_2 d)}{\eta_2 + \eta_3 \tanh(\gamma_2 d)} ηe1=η2η2+η3tanh(γ2d)η3+η2tanh(γ2d)

可见二者在数学形式上完全一致，只需对应：

传输线特性阻抗 Z0Z_0Z0 ⟺ 媒质本征阻抗 η2\eta_2η2
负载阻抗 ZLZ_LZL ⟺ 背后媒质本征阻抗 η3\eta_3η3
传播常数 γ\gammaγ ⟺ 媒质传播常数 γ2\gamma_2γ2
线长 ddd ⟺ 媒质厚度 ddd

这表明，在TEM波传播的情况下，传输线理论与平面波垂直入射理论是完全等价的。

5. 两种角度的根本性比较

角度	理论基础	适用范围	物理本质
电路角度	基尔霍夫定律、分布参数模型	低频、TEM模式、工程应用	电压和电流的波动
电磁场角度	麦克斯韦方程组	所有频率、所有传播模式	电磁波的传播与反射

从物理学本体论角度看，电磁场角度更根本，因为它直接建立在麦克斯韦方程组这一电磁学的基本定律之上。电路理论（包括传输线理论）是电磁场理论在特定条件下的近似和简化：

麦克斯韦方程组是电磁现象的统一理论基础
电路理论假设电磁波长远大于电路尺寸（集总参数）或特定模式传播（TEM模式）
电压和电流在电路理论中是基本量，但在电磁场理论中它们是场的积分量

6. 两种方法的优缺点对比

电路角度的优缺点

优点：

物理图像直观，易于工程理解和应用
计算简便，适合手算和初步设计
与经典电路理论衔接良好

缺点：

仅适用于TEM模式传播
处理复杂媒质（如各向异性、非线性）时困难
对高频效应的描述不够直接

电磁场角度的优缺点

优点：

理论基础坚实，适用范围广
能处理任意模式、任意媒质
物理本质清晰，直接反映波的传播特性

缺点：

数学推导相对复杂
对初学者不够直观
工程应用中需要一定的场论基础

7. 结论

本文从电路理论和电磁场理论两个角度，分别推导了等效波阻抗的表达式，并证明二者在数学形式上完全统一。电路角度基于传输线模型，强调电压电流的波动；电磁场角度基于平面波模型，强调电磁波的传播与反射。

两种方法各有优势，互为补充，共同构成了理解和分析多层媒质中电磁波传播问题的完整框架：

对于工程师而言，电路角度更直观、便于计算，是日常设计的有力工具
对于物理学家而言，电磁场角度更深刻、更具普遍性，揭示了现象的物理本质

掌握两种推导方法，有助于更全面地理解等效波阻抗的物理本质及其在隐身技术、微波电路、天线设计等领域的广泛应用。

无论是从电压电流的波动，还是从电磁波的传播角度出发，最终都指向同一个核心公式------这恰恰体现了物理学中不同理论框架之间的内在和谐与统一。

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