全反射时反射系数的辐角公式：两种形式及其相互转化
在电磁波从光密介质向光疏介质斜入射且入射角大于临界角（全反射）时，反射系数的模为1，但辐角（相位）不为0，且依赖于极化方式。本文总结两种常见的辐角表达式------"形式A"（用介电常数比 ε₂/ε₁ 直接表示辐角 φ）与"形式B"（用波阻抗 η、折射率 n 表示 tan(φ/2)），并详细展示它们的推导过程及相互转化关系。
一、四个核心公式
🔹 形式 A（用 ε₂/ε₁ 直接写辐角）
垂直极化：
ϕ⊥=−2arctan(sin2θi−ε2/ε1cosθi)(1) \phi_\perp = -2\arctan\left( \frac{\sqrt{\sin^2\theta_i - \varepsilon_2/\varepsilon_1}}{\cos\theta_i} \right) \tag{1} ϕ⊥=−2arctan cosθisin2θi−ε2/ε1 (1)
平行极化：
ϕ∥=−2arctan(sin2θi−ε2/ε1(ε2/ε1)cosθi)(2) \phi_\parallel = -2\arctan\left( \frac{\sqrt{\sin^2\theta_i - \varepsilon_2/\varepsilon_1}}{(\varepsilon_2/\varepsilon_1)\cos\theta_i} \right) \tag{2} ϕ∥=−2arctan (ε2/ε1)cosθisin2θi−ε2/ε1 (2)
🔹 形式 B（用 η, n 表示 tan(φ/2)）
垂直极化：
tanϕ⊥2=η1(n1/n2)2sin2θi−1η2cosθi(3) \tan\frac{\phi_\perp}{2} = \frac{\eta_1 \sqrt{(n_1/n_2)^2 \sin^2\theta_i - 1}}{\eta_2 \cos\theta_i} \tag{3} tan2ϕ⊥=η2cosθiη1(n1/n2)2sin2θi−1 (3)
平行极化：
tanϕ∥2=η2(n1/n2)2sin2θi−1η1cosθi(4) \tan\frac{\phi_\parallel}{2} = \frac{\eta_2 \sqrt{(n_1/n_2)^2 \sin^2\theta_i - 1}}{\eta_1 \cos\theta_i} \tag{4} tan2ϕ∥=η1cosθiη2(n1/n2)2sin2θi−1 (4)
二、形式 A 的推导（用 ε 表示）
共同前提
- 非磁性介质 μ₁ = μ₂ = μ₀，折射率 n₁ = √εᵣ₁，n₂ = √εᵣ₂
- 全反射条件：θ_i > θ_c，sinθ_i > √(ε₂/ε₁)
- 令
B=sin2θi−ε2ε1>0 B = \sqrt{\sin^2\theta_i - \frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1}} > 0 B=sin2θi−ε1ε2 >0
则
ε2ε1−sin2θi=jB \sqrt{\frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1} - \sin^2\theta_i} = jB ε1ε2−sin2θi =jB
1. 垂直极化（形式 A）
反射系数（一般形式）：
ρ⊥=cosθi−ε2ε1−sin2θicosθi+ε2ε1−sin2θi \rho_\perp = \frac{\cos\theta_i - \sqrt{\frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1} - \sin^2\theta_i}}{\cos\theta_i + \sqrt{\frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1} - \sin^2\theta_i}} ρ⊥=cosθi+ε1ε2−sin2θi cosθi−ε1ε2−sin2θi
代入 jB：
ρ⊥=cosθi−jBcosθi+jB \rho_\perp = \frac{\cos\theta_i - jB}{\cos\theta_i + jB} ρ⊥=cosθi+jBcosθi−jB
令 a = cosθ_i，b = B，则
ρ⊥=a−jba+jb=e−j2arctan(b/a) \rho_\perp = \frac{a - jb}{a + jb} = e^{-j2\arctan(b/a)} ρ⊥=a+jba−jb=e−j2arctan(b/a)
所以
ϕ⊥=−2arctan(ba)=−2arctan(sin2θi−ε2/ε1cosθi) \phi_\perp = -2\arctan\left( \frac{b}{a} \right) = -2\arctan\left( \frac{\sqrt{\sin^2\theta_i - \varepsilon_2/\varepsilon_1}}{\cos\theta_i} \right) ϕ⊥=−2arctan(ab)=−2arctan cosθisin2θi−ε2/ε1
得 (1)。
2. 平行极化（形式 A）
反射系数（一般形式）：
ρ∥=ε2ε1cosθi−ε2ε1−sin2θiε2ε1cosθi+ε2ε1−sin2θi \rho_\parallel = \frac{\frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1}\cos\theta_i - \sqrt{\frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1} - \sin^2\theta_i}}{\frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1}\cos\theta_i + \sqrt{\frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1} - \sin^2\theta_i}} ρ∥=ε1ε2cosθi+ε1ε2−sin2θi ε1ε2cosθi−ε1ε2−sin2θi
代入 jB：
ρ∥=ε2ε1cosθi−jBε2ε1cosθi+jB \rho_\parallel = \frac{\frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1}\cos\theta_i - jB}{\frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1}\cos\theta_i + jB} ρ∥=ε1ε2cosθi+jBε1ε2cosθi−jB
令 a = (ε₂/ε₁) cosθ_i，b = B，则
ρ∥=a−jba+jb=e−j2arctan(b/a) \rho_\parallel = \frac{a - jb}{a + jb} = e^{-j2\arctan(b/a)} ρ∥=a+jba−jb=e−j2arctan(b/a)
所以
ϕ∥=−2arctan(ba)=−2arctan(sin2θi−ε2/ε1(ε2/ε1)cosθi) \phi_\parallel = -2\arctan\left( \frac{b}{a} \right) = -2\arctan\left( \frac{\sqrt{\sin^2\theta_i - \varepsilon_2/\varepsilon_1}}{(\varepsilon_2/\varepsilon_1)\cos\theta_i} \right) ϕ∥=−2arctan(ab)=−2arctan (ε2/ε1)cosθisin2θi−ε2/ε1
得 (2)。
三、形式 B 的推导（用 η, n 表示 tan(φ/2)）
共同量
X=(n1n2)2sin2θi−1>0 X = \sqrt{\left( \frac{n_1}{n_2} \right)^2 \sin^2\theta_i - 1} > 0 X=(n2n1)2sin2θi−1 >0
全反射时，取 cosθ_t = -jX（使 +z 方向衰减）。
3. 垂直极化（形式 B）
反射系数：
ρ⊥=η2cosθi−η1cosθtη2cosθi+η1cosθt \rho_\perp = \frac{\eta_2\cos\theta_i - \eta_1\cos\theta_t}{\eta_2\cos\theta_i + \eta_1\cos\theta_t} ρ⊥=η2cosθi+η1cosθtη2cosθi−η1cosθt
代入 cosθ_t = -jX：
ρ⊥=η2cosθi+jη1Xη2cosθi−jη1X \rho_\perp = \frac{\eta_2\cos\theta_i + j\eta_1X}{\eta_2\cos\theta_i - j\eta_1X} ρ⊥=η2cosθi−jη1Xη2cosθi+jη1X
令 a = η₂ cosθ_i，b = η₁ X，则
ρ⊥=a+jba−jb=ej2arctan(b/a) \rho_\perp = \frac{a + jb}{a - jb} = e^{j2\arctan(b/a)} ρ⊥=a−jba+jb=ej2arctan(b/a)
ϕ⊥=2arctan(ba) \phi_\perp = 2\arctan\left( \frac{b}{a} \right) ϕ⊥=2arctan(ab)
tanϕ⊥2=ba=η1Xη2cosθi \tan\frac{\phi_\perp}{2} = \frac{b}{a} = \frac{\eta_1 X}{\eta_2 \cos\theta_i} tan2ϕ⊥=ab=η2cosθiη1X
得 (3)。
4. 平行极化（形式 B）
反射系数：
ρ∥=η2cosθt−η1cosθiη2cosθt+η1cosθi \rho_\parallel = \frac{\eta_2\cos\theta_t - \eta_1\cos\theta_i}{\eta_2\cos\theta_t + \eta_1\cos\theta_i} ρ∥=η2cosθt+η1cosθiη2cosθt−η1cosθi
代入 cosθ_t = -jX：
ρ∥=−jη2X−η1cosθi−jη2X+η1cosθi \rho_\parallel = \frac{-j\eta_2 X - \eta_1\cos\theta_i}{-j\eta_2 X + \eta_1\cos\theta_i} ρ∥=−jη2X+η1cosθi−jη2X−η1cosθi
整理为：
ρ∥=−η1cosθi+jη2Xη1cosθi−jη2X \rho_\parallel = -\frac{\eta_1\cos\theta_i + j\eta_2 X}{\eta_1\cos\theta_i - j\eta_2 X} ρ∥=−η1cosθi−jη2Xη1cosθi+jη2X
令 a = η₁ cosθ_i，b = η₂ X，则
ρ∥=−a+jba−jb=−ej2arctan(b/a)=ej(π+2arctan(b/a)) \rho_\parallel = -\frac{a + jb}{a - jb} = -e^{j2\arctan(b/a)} = e^{j(\pi + 2\arctan(b/a))} ρ∥=−a−jba+jb=−ej2arctan(b/a)=ej(π+2arctan(b/a))
ϕ∥=π+2arctan(ba) \phi_\parallel = \pi + 2\arctan\left( \frac{b}{a} \right) ϕ∥=π+2arctan(ab)
ϕ∥2=π2+arctan(ba) \frac{\phi_\parallel}{2} = \frac{\pi}{2} + \arctan\left( \frac{b}{a} \right) 2ϕ∥=2π+arctan(ab)
取正切：
tanϕ∥2=−cot(arctanba)=−ab \tan\frac{\phi_\parallel}{2} = -\cot\left( \arctan\frac{b}{a} \right) = -\frac{a}{b} tan2ϕ∥=−cot(arctanab)=−ba
若取绝对值（相位延迟量）：
tan∣ϕ∥∣2=ba=η2Xη1cosθi \tan\frac{|\phi_\parallel|}{2} = \frac{b}{a} = \frac{\eta_2 X}{\eta_1 \cos\theta_i} tan2∣ϕ∥∣=ab=η1cosθiη2X
得 (4)。
四、形式 A ↔ 形式 B 的相互转化
1. 变量关系
X=(n1n2)2sin2θi−1,n12n22=ε1ε2 X = \sqrt{\left( \frac{n_1}{n_2} \right)^2 \sin^2\theta_i - 1},\quad \frac{n_1^2}{n_2^2} = \frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2} X=(n2n1)2sin2θi−1 ,n22n12=ε2ε1
sin2θi−ε2ε1=ε2ε1X \sqrt{\sin^2\theta_i - \frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1}} = \sqrt{\frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1}} X sin2θi−ε1ε2 =ε1ε2 X
η1η2=ε2ε1,η2η1=ε1ε2 \frac{\eta_1}{\eta_2} = \sqrt{\frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1}},\quad \frac{\eta_2}{\eta_1} = \sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}} η2η1=ε1ε2 ,η1η2=ε2ε1
2. 从形式 A 到形式 B
垂直极化
由 (1)：
ϕ⊥=−2arctan(sin2θi−ε2/ε1cosθi) \phi_\perp = -2\arctan\left( \frac{\sqrt{\sin^2\theta_i - \varepsilon_2/\varepsilon_1}}{\cos\theta_i} \right) ϕ⊥=−2arctan cosθisin2θi−ε2/ε1
ϕ⊥2=−arctan(sin2θi−ε2/ε1cosθi) \frac{\phi_\perp}{2} = -\arctan\left( \frac{\sqrt{\sin^2\theta_i - \varepsilon_2/\varepsilon_1}}{\cos\theta_i} \right) 2ϕ⊥=−arctan cosθisin2θi−ε2/ε1
tanϕ⊥2=−sin2θi−ε2/ε1cosθi \tan\frac{\phi_\perp}{2} = -\frac{\sqrt{\sin^2\theta_i - \varepsilon_2/\varepsilon_1}}{\cos\theta_i} tan2ϕ⊥=−cosθisin2θi−ε2/ε1
代入 √(sin²θ_i - ε₂/ε₁) = √(ε₂/ε₁) X = (η₁/η₂) X：
tanϕ⊥2=−η1η2⋅Xcosθi \tan\frac{\phi_\perp}{2} = -\frac{\eta_1}{\eta_2} \cdot \frac{X}{\cos\theta_i} tan2ϕ⊥=−η2η1⋅cosθiX
去掉负号（取绝对值）：
tan∣ϕ⊥∣2=η1Xη2cosθi \tan\frac{|\phi_\perp|}{2} = \frac{\eta_1 X}{\eta_2 \cos\theta_i} tan2∣ϕ⊥∣=η2cosθiη1X
与 (3) 一致。
平行极化
由 (2)：
ϕ∥=−2arctan(sin2θi−ε2/ε1(ε2/ε1)cosθi) \phi_\parallel = -2\arctan\left( \frac{\sqrt{\sin^2\theta_i - \varepsilon_2/\varepsilon_1}}{(\varepsilon_2/\varepsilon_1)\cos\theta_i} \right) ϕ∥=−2arctan (ε2/ε1)cosθisin2θi−ε2/ε1
tanϕ∥2=−sin2θi−ε2/ε1(ε2/ε1)cosθi \tan\frac{\phi_\parallel}{2} = -\frac{\sqrt{\sin^2\theta_i - \varepsilon_2/\varepsilon_1}}{(\varepsilon_2/\varepsilon_1)\cos\theta_i} tan2ϕ∥=−(ε2/ε1)cosθisin2θi−ε2/ε1
代入 √(sin²θ_i - ε₂/ε₁) = √(ε₂/ε₁) X = (η₁/η₂) X：
tanϕ∥2=−η1η2X(ε2/ε1)cosθi \tan\frac{\phi_\parallel}{2} = -\frac{\frac{\eta_1}{\eta_2} X}{(\varepsilon_2/\varepsilon_1)\cos\theta_i} tan2ϕ∥=−(ε2/ε1)cosθiη2η1X
而 1/(ε₂/ε₁) = ε₁/ε₂ = (η₂/η₁)²，代入：
tanϕ∥2=−η1η2⋅(η2η1)2⋅Xcosθi=−η2η1⋅Xcosθi \tan\frac{\phi_\parallel}{2} = -\frac{\eta_1}{\eta_2} \cdot \left( \frac{\eta_2}{\eta_1} \right)^2 \cdot \frac{X}{\cos\theta_i} = -\frac{\eta_2}{\eta_1} \cdot \frac{X}{\cos\theta_i} tan2ϕ∥=−η2η1⋅(η1η2)2⋅cosθiX=−η1η2⋅cosθiX
去掉负号：
tan∣ϕ∥∣2=η2Xη1cosθi \tan\frac{|\phi_\parallel|}{2} = \frac{\eta_2 X}{\eta_1 \cos\theta_i} tan2∣ϕ∥∣=η1cosθiη2X
与 (4) 一致。
3. 从形式 B 到形式 A
由 (3)：
tanϕ⊥2=η1Xη2cosθi \tan\frac{\phi_\perp}{2} = \frac{\eta_1 X}{\eta_2 \cos\theta_i} tan2ϕ⊥=η2cosθiη1X
ϕ⊥2=arctan(η1Xη2cosθi) \frac{\phi_\perp}{2} = \arctan\left( \frac{\eta_1 X}{\eta_2 \cos\theta_i} \right) 2ϕ⊥=arctan(η2cosθiη1X)
ϕ⊥=2arctan(η1Xη2cosθi) \phi_\perp = 2\arctan\left( \frac{\eta_1 X}{\eta_2 \cos\theta_i} \right) ϕ⊥=2arctan(η2cosθiη1X)
代入 η₁/η₂ = √(ε₂/ε₁)，X = √(ε₁/ε₂) √(sin²θ_i - ε₂/ε₁)：
η1Xη2cosθi=ε2ε1⋅ε1ε2⋅sin2θi−ε2/ε1cosθi=sin2θi−ε2/ε1cosθi \frac{\eta_1 X}{\eta_2 \cos\theta_i} = \sqrt{\frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1}} \cdot \sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}} \cdot \frac{\sqrt{\sin^2\theta_i - \varepsilon_2/\varepsilon_1}}{\cos\theta_i} = \frac{\sqrt{\sin^2\theta_i - \varepsilon_2/\varepsilon_1}}{\cos\theta_i} η2cosθiη1X=ε1ε2 ⋅ε2ε1 ⋅cosθisin2θi−ε2/ε1 =cosθisin2θi−ε2/ε1
所以
ϕ⊥=2arctan(sin2θi−ε2/ε1cosθi) \phi_\perp = 2\arctan\left( \frac{\sqrt{\sin^2\theta_i - \varepsilon_2/\varepsilon_1}}{\cos\theta_i} \right) ϕ⊥=2arctan cosθisin2θi−ε2/ε1
与 (1) 差一个负号，这是因为 (1) 用了 -2arctan 而 (3) 用了 +2arctan------这取决于反射系数写成 (a - jb)/(a + jb) 还是 (a + jb)/(a - jb)，即符号约定不同。取辐角主值时，二者相差一个负号（或 π），但物理上表示相位差时，常取正值表示延迟。
五、总结对照表
| 极化方式 | 形式 A（用 ε 表示 φ） | 形式 B（用 η, n 表示 tan(φ/2)） |
|---|---|---|
| 垂直极化 | φ⟂ = -2arctan( √(sin²θ_i - ε₂/ε₁) / cosθ_i ) | tan(φ⟂/2) = (η₁ X) / (η₂ cosθ_i) |
| 平行极化 | φ∥ = -2arctan( √(sin²θ_i - ε₂/ε₁) / ((ε₂/ε₁) cosθ_i) ) | tan(φ∥/2) = (η₂ X) / (η₁ cosθ_i) |
其中：
X=(n1n2)2sin2θi−1,η1η2=ε2ε1 X = \sqrt{\left( \frac{n_1}{n_2} \right)^2 \sin^2\theta_i - 1},\quad \frac{\eta_1}{\eta_2} = \sqrt{\frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1}} X=(n2n1)2sin2θi−1 ,η2η1=ε1ε2
两种形式通过上述变量关系相互转化，注意辐角符号约定可能差一个负号，物理上通常取正值表示相位延迟。