剑指offer-78、求平⽅根

题⽬描述

给定⼀个⾮负整数 x ，计算并返回 x 的平⽅根，即实现 int sqrt(int x) 函数。

正数的平⽅根有两个，只输出其中的正数平⽅根。如果平⽅根不是整数，输出只保留整数的部分，⼩数部分将被舍去。

示例1 输⼊：8 返回值：2 解释：8 的平⽅根是 2.82842...，由于⼩数部分将被舍去，所以返回 2

思路及解答

暴力枚举

从0开始递增，找到最大的i满足i² ≤ x < (i+1)²

java 复制代码

public class Solution {
    public int sqrt(int x) {
        // 处理边界情况
        if (x < 0) return -1; // 输入非法
        if (x <= 1) return x; // 0和1的平方根是自身
        
        // 从1开始线性查找
        int i = 1;
        while (i <= x / i) { // 使用除法避免溢出
            i++;
        }
        return i - 1; // i是第一个使i² > x的数，所以平方根是i-1
    }
}

时间复杂度：O(√x)，最多需要√x次循环
空间复杂度：O(1)，只使用常数空间

二分查找（最优解）

在 $0, x$ 范围内查找平方根，不断缩小区间，直到找到满足条件的最大整数

如果 $m 2 m^2$ m2 < n, ⽽且 $（ m + 1 ） 2 （m+1）^2$ （m+1）2>n，那么说明 m 是 n 的平⽅根。

java 复制代码

public class Solution {
    public int sqrt(int x) {
        if (x < 0) return -1;
        if (x <= 1) return x;
        
        int left = 1;
        int right = x / 2; // 优化：平方根不会超过x/2（x≥4时）
        int result = 0;
        
        while (left <= right) {
            int mid = left + (right - left) / 2; // 防止溢出
            long square = (long) mid * mid; // 使用long防止溢出
            
            if (square == x) {
                return mid; // 找到精确平方根
            } else if (square < x) {
                result = mid; // 记录当前可能的结果
                left = mid + 1; // 向右查找
            } else {
                right = mid - 1; // 向左查找
            }
        }
        
        return result;
    }
}

时间复杂度：O(logn)，每次将搜索范围减半
空间复杂度：O(1)

牛顿迭代法

这就属于是使用数学方法了

利用切线逼近平方根，迭代公式：xₙ₊₁ = (xₙ + a/xₙ)/2，其中a是要求平方根的数

java 复制代码

public class Solution {
    public int sqrt(int x) {
        if (x < 0) return -1;
        if (x == 0) return 0;
        
        double guess = x; // 初始猜测值
        double epsilon = 1e-6; // 精度要求
        
        // 牛顿迭代
        while (Math.abs(guess * guess - x) > epsilon) {
            guess = (guess + x / guess) / 2.0;
        }
        
        return (int) guess; // 向下取整
    }
    
    /**
     * 整数版本：避免浮点数运算
     */
    public int sqrtInt(int x) {
        if (x < 0) return -1;
        if (x <= 1) return x;
        
        long r = x; // 使用long防止溢出
        // 牛顿迭代的整数版本
        while (r * r > x) {
            r = (r + x / r) / 2;
        }
        
        return (int) r;
    }
}

时间复杂度：O(log x)，收敛速度极快
空间复杂度：O(1)，常数空间

位运算

利用二进制特性逐位确定平方根，最高位开始，逐位尝试将1变为0或保持1

java 复制代码

public class Solution {
    public int sqrt(int x) {
        if (x < 0) return -1;
        if (x <= 1) return x;
        
        int result = 0;
        int bit = 1 << 15; // 从第16位开始尝试（因为int最大值约21亿，平方根约46340）
        
        while (bit > 0) {
            int temp = result | bit; // 尝试将当前位设为1
            if (temp <= x / temp) { // 等价于temp² ≤ x
                result = temp; // 当前位可以设为1
            }
            bit >>= 1; // 移到下一位
        }
        
        return result;
    }
}

时间复杂度：O(log x)，固定32次循环（对于int类型）
空间复杂度：O(1)，常数空间

位运算原理解析

为什么从第16位开始？

int最大值：2³¹-1 ≈ 21亿
√21亿 ≈ 46340 < 2¹⁶ = 65536
所以只需要检查16位即可

执行过程示例（x=8，二进制1000）：

text 复制代码

初始: result=0, bit=1<<15=32768
bit太大，跳过...
直到bit=4: temp=4, 4²=16 > 8 → 不设置
bit=2: temp=2, 2²=4 ≤ 8 → result=2
bit=1: temp=3, 3²=9 > 8 → 不设置
返回: result=2