这篇博客为总结的解题流程和模板 ，如果想要算法具体的原理和数学证明的话请参考：Prefix function. Knuth--Morris--Pratt algorithm
最长相等真前后缀
最长相等前后缀也被称为 Border ，KMP算法就利用了其性质来进行匹配优化。
- 前缀：从字符串第一个字符开始的子串。
- 后缀：以字符串最后一个字符结束的子串。
- 真：长度严格小于原字符串长度。
求法（ \(O(n^2)\) ）：
python
def border(s):
n = len(s)
L = 0
for i in range(1, n): # 长度为 i 上限为 n-1 确保为真前后缀
if s[:i] == s[n-i:n]:
L = i
return L还有更加高效的算法，可以优化到 \(O(n)\) 。正是这个优化产生了 KMP 算法。
前缀函数
在 KMP 中的前缀函数的到数组 \(\pi\) ，其中 \(\pi[i]\) 表示字符串的前缀 \(t[0\dots i]\) 中，最长的相等真前后缀的长度。
如果使用暴力枚举每个子串进行一次 border 函数的话时间复杂度是 \(O(n^3)\)
python
b = []
for i in range(len(s)):
b.append(border(s[:i + 1])) 通过递推可以在 \(O(n)\) 时间内求出前缀数组 \(\pi\)
- 假设我们正在计算 \(\pi[i]\) ，并且已知 \(\pi[i-1]=j\) 。
- 这意味着 \(t[0\dots j-1]\) 是 \(t[0\dots i-1]\) 的最长相等前后缀。
- 情况A：如果 \(t[i]==t[j]\) ，那么 \(\pi[i] = j+1\) 。
- 情况B：如果 \(t[i] \ne t[j]\) ，我们需要一个更短的相等前后缀。于是我们可以让 \(j=\pi[j-1]\) ，然后重复 \(t[i]\) 和 \(t[j]\) 的比较过程，直到匹配或 \(j\) 降为 \(0\) 。
具体代码为
python
def get_pi(s):
n = len(s)
pi = [0] * n
for i in range(1, n):
j = pi[i - 1] # 取前一个的位置的pi
while j > 0 and s[i] != s[j]: # 情况B
j = pi[j - 1]
if s[i] == s[j]: # 情况A
j += 1
pi[i] = j
return pi应用
模式串匹配
已知模式串 \(t\) 和匹配串 \(s\) ，在预处理完模式串的 \(\pi\) 数组后可以通过双指针匹配。
- 指针 \(i\) ：始终在 \(s\) 上向右移动，不回退。
- 指针 \(j\) ：在 \(t\) 上移动，如果匹配
j++如果失配 \(j\) 根据 \(\pi\) 数组向左跳，跳到一个可以让前面部分继续匹配的位置。
这个根据 \(\pi\) 数组向左跳的过程可以理解成下面这句有名名的话：
一个人能走的多远不在于他在顺境时能走的多快，而在于他在逆境时多久能找到曾经的自己。
python
m, n = len(t), len(s)
pi = get_pi(t)
j = 0 # 模式串指针
for i in range(n): # 文本串指针永不回退
while j > 0 and s[i] != t[j]:
j = pi[j - 1]
if s[i] == t[j]:
j += 1
if j == m: # 匹配成功
# 位置为 i - j + 1 0-based
j = pi[j - 1] # 继续匹配可能重叠的下一处求字符串周期
先利用预处理的 \(\pi\) 数组求出所有的 Border ，再根据这些 Border 就可以构造出所有的周期串了。
求字符串所有周期
由于 \(\pi\) 数组记录了最长 Border ，而次长的 Border 可能通过 \(\pi[\pi[n-1]-1]\) 递归求得，因此我们可以不断回跳，求出所有的 Border 后，周期就是 n - Border。
python
n = len(s)
pi = get_pi(s)
b = []
k = pi[n - 1]
while k:
b.append(n - k)
k = pi[k - 1]
b.append(n)
print(*b)不要忘记了 \(s\) 自身也是周期，然后每个周期串就是 s[:b[i]] 。
完全循环
在 \(\pi[n-1]>0\) 基础上，当它的最小正周期 \(n-\pi[n-1]\) 可以被总长度 \(n\) 整除时，存在完全循环。
python
n = len(s)
pi = get_pi(s)
k = n - pi[n - 1]
print("YES" if pi[n - 1] > 0 and n % k == 0 else "NO")例题
1753 String Matching - CSES 模式串匹配模版
1732 Finding Borders - CSES 求出字符串所有 Border
1733 Finding Periods CSES 求出所有的周期大小
459. 重复的子字符串 - 力扣 判断是否存在完全循环