GESPC++考试五级语法知识（二、埃氏筛与线性筛）课后习题

🌟《素数筛法10道经典训练题》

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第一题：输出1~n所有素数（埃氏筛基础题）

1、🏰故事

素数王国要发布一份 素数名单。

（1）输入一个数字 n，请输出：

1~n 所有素数

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（2）输入

30

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（3）输出

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29

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2、思路

（1）使用 埃氏筛

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（2）步骤：

1 初始化全部为素数

2 从2开始

3 删除倍数

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3、参考代码

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 1000000;
bool isPrime[N];

int main()
{
    int n;
    cin>>n;

    for(int i=2;i<=n;i++)
        isPrime[i]=true;

    for(int i=2;i*i<=n;i++)
    {
        if(isPrime[i])
        {
            for(int j=i*i;j<=n;j+=i)
                isPrime[j]=false;
        }
    }

    for(int i=2;i<=n;i++)
        if(isPrime[i])
            cout<<i<<" ";
}

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第二题：统计素数个数

1、🏰故事

（1）国王想知道：

1~n 一共有多少个素数

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（2）输入

20

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（3）输出

8

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（4）因为

2 3 5 7 11 13 17 19

数一数，一共是8个

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2、思路

先 筛素数

再 统计数量

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3、参考代码

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 1000000;
bool isPrime[N];

int main()
{
    int n;
    cin>>n;

    for(int i=2;i<=n;i++)
        isPrime[i]=true;

    for(int i=2;i*i<=n;i++)
        if(isPrime[i])
            for(int j=i*i;j<=n;j+=i)
                isPrime[j]=false;

    int cnt=0;

    for(int i=2;i<=n;i++)
        if(isPrime[i])
            cnt++;

    cout<<cnt;
}

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第三题：判断多个数字是否为素数

1、🏰故事

（1）城门守卫需要检查很多数字。

输入 t个数字，判断每个是不是素数。

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（2）输入

5
2 4 7 9 11

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（3）输出

Yes
No
Yes
No
Yes

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2、思路

先筛到 最大值

再查询。

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3、参考代码

#include <iostream>
using namespace std;

const int N=1000000;
bool isPrime[N];

int main()
{
    int t;
    cin>>t;

    int a[1000];
    int mx=0;

    for(int i=0;i<t;i++)
    {
        cin>>a[i];
        mx=max(mx,a[i]);
    }

    for(int i=2;i<=mx;i++)
        isPrime[i]=true;

    for(int i=2;i*i<=mx;i++)
        if(isPrime[i])
            for(int j=i*i;j<=mx;j+=i)
                isPrime[j]=false;

    for(int i=0;i<t;i++)
    {
        if(isPrime[a[i]])
            cout<<"Yes\n";
        else
            cout<<"No\n";
    }
}

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第四题：输出第k个素数（线性筛）

1、🏰故事

数学家问：

第1000个素数是多少？

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2、思路

使用 线性筛

记录素数数组。

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3、参考代码

#include <iostream>
using namespace std;

const int N=1000000;

int prime[N];
bool vis[N];

int main()
{
    int n;
    cin>>n;

    int cnt=0;

    for(int i=2;i<N;i++)
    {
        if(!vis[i])
            prime[cnt++]=i;

        for(int j=0;j<cnt && i*prime[j]<N;j++)
        {
            vis[i*prime[j]]=true;

            if(i%prime[j]==0)
                break;
        }

        if(cnt>=n)
            break;
    }

    cout<<prime[n-1];
}

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第五题：求1~n所有素数的和

1、🏰故事

（1）数学家问：

1~n所有素数的和是多少？

（2）输入

10

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（2）输出

17

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（3）因为

2+3+5+7=17

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2、参考代码

#include <iostream>
using namespace std;

const int N=1000000;

bool isPrime[N];

int main()
{
    int n;
    cin>>n;

    for(int i=2;i<=n;i++)
        isPrime[i]=true;

    for(int i=2;i*i<=n;i++)
        if(isPrime[i])
            for(int j=i*i;j<=n;j+=i)
                isPrime[j]=false;

    long long sum=0;

    for(int i=2;i<=n;i++)
        if(isPrime[i])
            sum+=i;

    cout<<sum;
}

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第六题：输出区间内素数

1、🏰故事

（1）数学家问：

输入一个区间，输出区间内的所有素数。

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（2）输入：

L R

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（3）输出

L~R 的所有素数

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2、输入

10 30

输出

11 13 17 19 23 29

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3、思路

筛到 R

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4、参考代码

#include <iostream>
using namespace std;

const int N=1000000;

bool isPrime[N];

int main()
{
    int L,R;
    cin>>L>>R;

    for(int i=2;i<=R;i++)
        isPrime[i]=true;

    for(int i=2;i*i<=R;i++)
        if(isPrime[i])
            for(int j=i*i;j<=R;j+=i)
                isPrime[j]=false;

    for(int i=L;i<=R;i++)
        if(isPrime[i])
            cout<<i<<" ";
}

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第七题：统计区间素数数量

1、🏰故事

（1）数学家问：

输入一个区间，输出区间内的所有素数的数量。

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（2）输入

L R

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（3）输出

区间素数数量

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2、参考代码

#include <iostream>
using namespace std;

const int N=1000000;

bool isPrime[N];

int main()
{
    int L,R;
    cin>>L>>R;

    for(int i=2;i<=R;i++)
        isPrime[i]=true;

    for(int i=2;i*i<=R;i++)
        if(isPrime[i])
            for(int j=i*i;j<=R;j+=i)
                isPrime[j]=false;

    int cnt=0;

    for(int i=L;i<=R;i++)
        if(isPrime[i])
            cnt++;

    cout<<cnt;
}

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第八题：输出前n个素数（线性筛）

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1、🏰故事

（1）数学家问：

输入数字n,输出从第一个到第n个素数。

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（2）输入

10

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（3）输出

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29

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2、参考代码

#include <iostream>
using namespace std;

const int N=1000000;

int prime[N];
bool vis[N];

int main()
{
    int n;
    cin>>n;

    int cnt=0;

    for(int i=2;i<N;i++)
    {
        if(!vis[i])
            prime[cnt++]=i;

        for(int j=0;j<cnt && i*prime[j]<N;j++)
        {
            vis[i*prime[j]]=true;

            if(i%prime[j]==0)
                break;
        }

        if(cnt>=n)
            break;
    }

    for(int i=0;i<n;i++)
        cout<<prime[i]<<" ";
}

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第九题：判断哥德巴赫猜想

1、🏰故事

（1）数学家问：

输入任意大于2的偶数，将它分为两个素数的和

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（2）输入：

n (偶数)

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（3）找两个素数：

p + q = n

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（4）输入

20

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（5）输出

3 17

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2、参考代码

#include <iostream>
using namespace std;

const int N=1000000;

bool isPrime[N];

int main()
{
    int n;
    cin>>n;

    for(int i=2;i<=n;i++)
        isPrime[i]=true;

    for(int i=2;i*i<=n;i++)
        if(isPrime[i])
            for(int j=i*i;j<=n;j+=i)
                isPrime[j]=false;

    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(isPrime[i] && isPrime[n-i])
        {
            cout<<i<<" "<<n-i;
            break;
        }
    }
}

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第十题：统计每个数的最小质因数（线性筛进阶）

1、🏰故事

（1）数学家问：

给你一个数字n，输出从2~n它的最小因数

这题是 线性筛的优势题。

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（2）输入

10

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（3）输出

2:2
3:3
4:2
5:5
6:2
7:7
8:2
9:3
10:2

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2、参考代码

#include <iostream>
using namespace std;

const int N=1000000;

int prime[N];
int minp[N];
bool vis[N];

int main()
{
    int n;
    cin>>n;

    int cnt=0;

    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prime[cnt++]=i;
            minp[i]=i;
        }

        for(int j=0;j<cnt && i*prime[j]<=n;j++)
        {
            vis[i*prime[j]]=true;

            minp[i*prime[j]]=prime[j];

            if(i%prime[j]==0)
                break;
        }
    }

    for(int i=2;i<=n;i++)
        cout<<i<<":"<<minp[i]<<endl;
}

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🌟10题知识总结

题目	使用筛法
输出素数	埃氏筛
统计素数	埃氏筛
多次查询	埃氏筛
第k个素数	线性筛
素数求和	埃氏筛
区间素数	埃氏筛
区间统计	埃氏筛
前n素数	线性筛
哥德巴赫	埃氏筛
最小质因数	线性筛

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🎯 最重要经验

比赛中：

1、埃氏筛

适合：

快速得到所有素数

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2、线性筛

适合：

记录素数表
记录最小质因数
复杂数论

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