LeetCode 516：最长回文子序列

🔗 题目链接

👉 https://leetcode.cn/problems/longest-palindromic-subsequence/

📖 题目概要

给你一个字符串 s ，找出其中最长的回文子序列，并返回该序列的长度。

子序列 定义：不要求字符连续，在不改变原有字符顺序的前提下，可以删除某些字符（也可以不删除）得到新字符串。

回文定义：正读和反读完全一致的字符串。

示例

示例 1：

输入：s = "bbbab"

输出：4

解释：一个可能的最长回文子序列为 "bbbb"。

示例 2：

输入：s = "cbbd"

输出：2

解释：一个可能的最长回文子序列为 "bb"。

约束条件

1 <= s.length <= 1000
s 仅由小写英文字母组成

📌 题目考点

经典区间动态规划
回文子序列 DP 模型（与最长回文子串区分）
区间 DP 遍历顺序、状态转移逻辑考察
字符串动态规划高频面试题

💡 解题思路

本题和「最长回文子串」不同：子序列不要求连续，因此解题思路采用标准区间 DP 求解。

1. 状态定义

定义二维 dp 数组：

dp[i][j] 表示字符串区间 s[i ... j] 中，最长回文子序列的长度。

2. 初始状态

单个字符一定是回文子序列，长度为 1。

因此初始化：dp[i][i] = 1（所有对角线位置赋值为 1）。

3. 状态转移方程

分两种情况讨论区间 [i, j]：

两端字符相等（s[i] == s[j]）

两端字符可以同时加入回文序列，结果为内部区间最长回文长度 + 2

dp $i$ $j$ =dp $i+1$ $j-1$ +2dp $i$ $j$ = dp $i+1$ $j-1$ + 2dp $i$ $j$ =dp $i+1$ $j-1$ +2
两端字符不相等（s[i] != s[j]）

只能舍弃左端字符或舍弃右端字符，取两种情况的最大值：

dp $i$ $j$ =max⁡(dp $i+1$ $j$ ,dp $i$ $j-1$ )dp $i$ $j$ = \max(dp $i+1$ $j$ , dp $i$ $j-1$ )dp $i$ $j$ =max(dp $i+1$ $j$ ,dp $i$ $j-1$ )

4. 遍历顺序（核心要点）

dp[i][j] 的结果依赖于：dp[i+1][j-1]、dp[i+1][j]、dp[i][j-1]，也就是当前区间依赖更小的内层区间 / 下一行 / 前一列 。

因此遍历规则：

左边界 i：从后往前遍历（从字符串末尾向开头）
右边界 j：从 i+1 开始向后遍历（保证区间长度由小到大）

5. 最终答案

整个字符串对应区间 [0, len-1]，最终返回 dp[0][len-1]。

✅ AC 代码

java 复制代码

class Solution {
    public int longestPalindromeSubseq(String s) {
        char[] ss = s.toCharArray();
        int len = s.length();
        int [][] dp = new int[len+1][len+1];
        
        // 初始化：单个字符最长回文子序列长度为 1
        for(int i = 0; i < len; i++) {
            dp[i][i] = 1;
        }

        // 左边界从后往前遍历
        for(int i = len - 1; i >= 0; i--) {
            // 右边界从 i+1 开始
            for(int j = i + 1; j < len; j++) {
                if(ss[i] == ss[j]) {
                    // 两端字符相等，内部结果 + 2
                    dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2;
                } else {
                    // 两端不等，取左右区间最大值
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i+1][j], dp[i][j-1]);
                }
            }
        }
        return dp[0][len-1];
    }
}

⏱️ 复杂度分析

指标	复杂度	说明
时间复杂度	O(n2)O(n^2)O(n2)	两层循环遍历所有区间，nnn 为字符串长度
空间复杂度	O(n2)O(n^2)O(n2)	开辟二维 dp 数组存储区间状态

💡 补充总结

区分易混点：最长回文子串（连续）、最长回文子序列（不连续），二者均常用区间 DP，但状态转移逻辑不同。
遍历顺序：区间 DP 通用规律，依赖内层子区间时，左边界逆序遍历。
基础边界：单个字符回文长度固定为 1，是 DP 初始化的关键。