Internal Gravity Waves
内重力波
Introduction
当一个人站在船上或海滩上，会观察到被"表面重力"波扰动的大海。然而，更难察觉的是，在这躁动的表面之下，海洋内部同样充满了"内"重力波。与发生在空气-海水界面的海面波类似，内波发生在海洋内部，即不同密度水层的界面处。由于太阳加热、淡水的降水以及河流的注入，海水密度从海洋表面向温度低且盐度高的海底逐渐增大。这种垂向密度梯度促进了内波的传播。由于空气和水的密度差异非常大，表面重力波的波高从几十厘米到几米不等。相比之下，海洋内部的密度差异很小，因此内重力波的波幅可达几十米到几百米。与表面波一样，内重力波的恢复力也是重力。内重力波在全球海洋中普遍存在。它们与海洋混合和物质扩散密切相关，影响着海洋构筑物、海洋声学以及船舶航行。
内波最初是由海员"发现"的，他们船只的航行速度因内波而减慢。这类事件的首次记录出自挪威探险家南森，1893年秋季，他乘"弗雷姆"号航行于西伯利亚北部的泰穆尔岛和阿尔姆奎斯特群岛之间的海峡时（Nansen, 1897）。南森写道："我们靠近冰块以便系泊，但'弗雷姆'号陷入了'死水'，尽管主机全速运转，船只却几乎无法前行。""弗雷姆"号当时正航行在一层由冰融化形成的淡水层中，其航行并未受到海底的阻碍。"死水"现象引起了挪威海洋学家埃克曼的关注，他通过大量的实验室实验成功解释了这一现象（Ekman, 1904）。在实验室里，埃克曼在一个水槽中填充了上层的淡水和用墨水染色的下层咸水。他用恒定的力通过绳子拉动一个"弗雷姆"号船模在上层水中行驶。他观察到，当"死水"现象发生时，本该推动船前进的力，反而在淡水和咸水层的界面上产生了内波（图1），从而使船速减慢。
图1 为了理解"死水"现象，埃克曼进行了一系列实验。实验水槽中填充了上层淡水和用墨水染色的下层咸水。埃克曼用恒定的力通过绳子拉动一个船模在上层水中行驶。这张照片展示了水槽侧面、"弗雷姆"号船模（并附有"弗雷姆"号上部的草图），以及船后水层界面上产生的内波。经许可复制自：Ekman, V. W. (1904). On dead water. 载于：Nansen, F. (编), The Norwegian north polar expedition 1893--1896. Scientific Results, 第五卷, 第83--278页. 克里斯蒂安尼亚。
内波的首批测量数据于1900年获得，当时挪威海洋学家海兰德-汉森和南森（1909）领导了一次挪威海的海洋学考察。当他们重复测量盐度和温度的垂向剖面时，注意到"在20米深处采集的大量观测数据表明，该深度水体必然存在显著的垂向运动。"海兰德-汉森和南森还写道："这种振荡运动可能使温度为4.8°C的水团抬升或下降了约10至15米，甚至更多。"正如海面波一样，内波也会传播。对于一个固定在空间中的观测者来说，界面的起伏可能归因于内波波峰和波谷的经过。
内波影响着众多人类活动。虽然通过卫星对海洋表面的观测可以估算平均海面高度、海流以及特定密度面的深度，但内波使得卫星观测数据的解读复杂化，因为这些波存在于从几十公里到数百公里的广泛水平尺度上，并在海面产生几厘米高的起伏信号。例如，预测并消除潮汐内波在海面信号对SWOT测高数据的影响，是SWOT任务的目标之一（Fu等，2012）。内波也一直是军方资助研究的重点，因为内波导致的密度层强垂向运动可能对潜艇航行造成不利影响，并且潜艇产生的内波尾迹有可能被遥感探测到，从而暴露潜艇位置。此外，内波引起声速的随机变化会使声线发生偏折，这也给常规的声学潜艇探测手段带来了复杂性。在民用领域，与内波相关的海流和浮力变化也是海上石油钻井作业中需要考虑的问题。
或许最重要的是内波在全球海洋气候塑造中所扮演的角色。传播中的内波（包括潮汐频率的内波）所伴随的水平流垂向分布及其垂向切变，当这些内波向近岸传播时，最终会导致不稳定和湍流的产生。因此，这些波是海洋内部垂向混合的主要驱动者（Munk, 1966）。这种混合在决定海洋环流强度，进而影响向极热量输送和气候方面起着至关重要的作用。混合及其相关的环流还为进行初级生物生产的、有光照的上层海洋提供了营养盐通量。此外，内波可以搅动沉积物，并在浅的陆架和陆坡上输送沉积物和营养盐。因此，理解内波至关重要，尤其是在它们发生的尺度太小、无法在海洋数值模型中被显式处理的背景下。它们的影响必须通过"参数化"方案，即仅使用模型中的变量来表示。
这篇短文将首先描述内重力波的理论，这类波在海洋中可以表现为波束和界面波。随后将讨论它们的生成机制、演化过程以及与海洋混合的关系。我们将利用频率-波数谱来总结本文涉及的许多概念。文中将始终参考内波的观测和模拟结果。近几十年来，这些观测和数值模拟的质量及其解释能力显著提高，推动了内波研究的快速发展。
Internal Wave Theory
The Basic Physics
在连续层结流体中，一个在垂直方向上被位移距离η的微团，会受到一个恢复浮力Fb的作用。如果一个完整的水柱被垂直位移，由于运动的垂直均匀性，意味着静压垂直梯度没有变化，因此每个微团上的恢复力仅仅是重力g乘以密度扰动，而密度扰动等于负的垂直位移乘以垂直密度梯度∂ρ/∂z。这导致水柱运动满足一个简谐振动方程，其振荡频率由"浮力频率"N给出，其中N2=−(g/ρ)(∂ρ/∂z)N^2 = -(g/\rho)(\partial \rho/\partial z)N2=−(g/ρ)(∂ρ/∂z)。注意，驱动这种振荡的浮力与N2ηN^2\etaN2η成正比。浮力将位移的水柱拉回其平衡位置。然而，由于惯性，水柱会越过平衡位置，在无摩擦的情况下，这种振荡将无限期地进行下去。浮力频率是内波频率的上限。发生在此频率下的内"波"运动并不表现出任何波动传播的特性。
如果现在允许水柱进行与垂直方向成角度θ的倾斜振荡（见图2），则垂直恢复力沿运动路径的分量将减少一个因子cosθ\cos \thetacosθ。垂直位移η与倾斜位移ξ的关系为η=ξcosθ\eta = \xi \cos \thetaη=ξcosθ。因此，沿倾斜运动路径的恢复力与N2ξcos2θN^2 \xi \cos^2 \thetaN2ξcos2θ成正比。在此例中，我们假设N不随深度变化。在没有旋转的情况下，与此倾斜振荡相关的频率为ω2=N2cos2θ\omega^2 = N^2 \cos^2 \thetaω2=N2cos2θ。注意，倾斜振荡的频率低于浮力频率。在这些较低的频率下，内波现在可以传播了。内波也被称为"横波"。这意味着水质点运动发生在平行于波峰的方向上，并且垂直于波的传播方向（即波峰移动的方向）。这个传播方向由图2中的波数向量k=(k,l,m)\mathbf{k} = (k, l, m)k=(k,l,m)表示，它在xxx、yyy和zzz方向上有三个分量。注意，波周期与频率的关系为T=2π/ωT = 2\pi/\omegaT=2π/ω，波长与波数的关系为L=2π/KL = 2\pi/KL=2π/K，其中KKK是k\mathbf{k}k的模。
图2 内波沿对角虚线方向运动的示意图，该虚线与zzz轴呈角度θ\thetaθ。球形质点沿zzz轴的垂直位移为η\etaη，沿对角方向的位移为ξ\xiξ。作用于质点上的浮力为Fb\mathbf{F}_bFb。波数向量k\mathbf{k}k垂直于运动平面，该平面平行于波峰。波数向量指示波峰（相位）传播的方向。群速度向量cg\mathbf{c}_gcg沿运动平面方向，指示能量传播的方向。
在旋转的地球上，倾斜运动还会受到科里奥利力的作用，因此，在倾斜薄片内的流体振荡现在会产生一种横向运动，该运动发生在薄片平面内，但与无旋转时的运动方向正交。此时，振荡频率的关系式中包含了地球自转频率。假设NNN远大于科里奥利频率fff（fff是地球自转垂直分量的两倍），则频率ω\omegaω与方向θ\thetaθ的关系变为
这也被称为内重力波的频散关系。式（2）是使用波数分量（k,l,mk, l, mk,l,m）表示的另一种表达式。
当水质点运动为垂直方向时，频率最高可达NNN；而当运动趋于水平，在"惯性"圆中进行时，频率不能低于科里奥利频率fff，这体现了在非旋转参考系下保持稳定直线运动的趋势。介于这两个极限频率之间的任何运动频率都是可能的，具体取决于角度θ\thetaθ，或者等价地，取决于垂直波数与水平波数的比值。群速度向量（波包或能量传播的速度）由cg=(∂ω/∂k,∂ω/∂l,∂ω/∂m)\mathbf{c}_g = (\partial \omega / \partial k, \partial \omega / \partial l, \partial \omega / \partial m)cg=(∂ω/∂k,∂ω/∂l,∂ω/∂m)给出。对于内波，从式（2）可以很容易证明，cg\mathbf{c}_gcg与波数向量k\mathbf{k}k垂直。换言之，能量是平行于波峰传播的（图2），而不是像表面波那样垂直于波峰传播！就垂直传播而言，相位向上传播的波，其能量通量向下，反之亦然。在接下来的两节中，将讨论内波的两种表现形式：内波束和界面波。
Internal Wave Beams
内波可以呈现出"波束"状的外观。内波能量沿着该波束传播，而波峰则如前一节所述，垂直于波束方向传播。对于相同频率的波，如果浮力频率不随水深变化，这些波束将是笔直的。这种形态的内波在海洋中很难观测到。原因之一是这些波束中的速度切变非常高，导致它们在波源附近就迅速耗散。另一个原因是，由于海洋中层结和海流的空间不均匀性，这些波束会很快散射成不相干的结构。然而，内波束在实验水槽中很容易产生和观测到，如图3所示。
图3：通过"纹影法"可视化的内波束图像，该方法使用点光源照射水槽后方的白色屏幕。内波由一个垂直振荡的圆柱体（黑色圆）以11秒的单一周期产生。浮力频率恒定，其周期约为5秒。波束由平行排列的、明暗交替的波峰和波谷构成。请注意波束在槽底和混合层底部发生的反射。图片来源：https://www.ocean.washington.edu/courses/oc512/lab8.html。
图4 暖水层（上层）与冷水层（下层）界面上的内波，由水温传感器记录，显示为随深度和时间（小时）的变化。长波的波谷在16:30时深度达到35米，波峰在21:00时深度达到20米。叠加在长波之上的是短波孤立波，其波峰到波谷的高度超过10米。这些观测数据于2017年9月在加利福尼亚州尖兵滩附近水深45米处获得，是ONR资助的内陆架直接研究计划的一部分。颜色代表以°C为单位的温度。
这背后的理论要求波的振幅远小于层厚。许多观测到的界面波（图4）违反了这一假设，以及波长远大于层厚的要求。有限振幅会导致波形趋于变陡，类似于海滩上破碎波的发展过程。另一方面，如果水平尺度相对于较薄层的厚度来说不够长，则会导致频散，即一个扰动会分裂成不同波长的波，并以不同速度传播。有趣的是，这些效应可以相互抵消，从而产生"内孤立波"------一种具有有限振幅、可以在空间上局域化并保持形状不变传播的波。它们可以单独出现，也可以像图4那样成群出现。即使这些孤立波发生在海面以下数米或数十米深的密度界面上，如果上层水体浑浊，它们也常常能被看到，因为从上方看，波峰所在处比周围水体显得更浑浊。更常见的是，它们因为伴随的海流引起海面粗糙度的可见变化而被观测到（图5）。
图5 从太空观测到的特立尼达岛附近的孤立内波波列。图片来源：http://earthobservatory.nasa.gov/IOTD/view.php?id=80337。
虽然海洋可以简化为两层模型，但实际的海洋更为复杂。在海洋中，密度并不是从表层到底层突然变化的，而是随深度逐渐变化。在这种层结下，存在垂向模态波。这些波在水平面上是传播波（如同界面波），在垂直面上则是驻波，因为它们在海底和海面之间反射。第一模态波在垂直方向上有一个节点，节点上下两侧的水平质点速度方向相反；第二模态波的水平速度有两个节点；第三模态波有三个节点，以此类推。如果密度随深度线性变化，即浮力频率为常数，那么对于模态波而言，水平速度、垂直速度以及垂直位移都是水深的正弦函数。更高模态波的波长和相速度大致与∼1/n\sim 1/n∼1/n成比例，其中nnn是模态数。垂向模态波的线性化频散关系为
其中 cnc_ncn 是不受旋转影响的内波模态的相速度，kkk 和 lll 分别是沿 xxx 和 yyy 方向的水平波数。特征速度 cnc_ncn 取决于水深、浮力频率和模态数，它们是通过求解特定 NNN 剖面和给定 fff 值下的Sturm--Liouville问题得到的特征值（Gill, 1982）。内波的一个显著特性是，如果 NNN 不随深度变化且海床平坦，那么所有垂向模态波的总和（即它们的速度和位移之和）就构成了上一节讨论的波束。
Internal Waves in the Ocean
海洋内部受到具有不同周期（或频率）和波长（或波数）的内波的扰动，这些特征反映了内波的生成和耗散机制。下文将讨论内波的生成、与地形、背景流及其他波的相互作用，以及它们在 global 海洋中的耗散过程。
Generation
风在"近惯性"内波的生成中扮演着重要角色。快速移动的风暴在上层海洋中驱动海流，由此产生的科里奥利力与压力梯度不相平衡。这就导致了近惯性运动，其海流矢量以接近当地fff的频率旋转。然而，这些运动的水平尺度很大，意味着它们在不同纬度会受到不同的fff影响。不同纬度处的海流矢量因此以不同速率旋转，这增加了海流矢量的经向梯度，减小了水平尺度。由此产生的辐合和垂直运动意味着这些波不能再是纯粹的惯性波；它们保持自身频率，但向赤道方向（fff较小的区域）传播。与此同时，它们发展出增大的垂向群速度，并向海洋深处传播（D'Asaro, 1985）。图6展示了基于真实大气强迫的全球模型模拟计算得出的风能输入以及惯性频率下第一模态内波的能量通量（Alford等，2016）。风能输入（或称"风做功"）在中纬度风暴路径区域最大。从这些区域，低模态能量通量向赤道方向辐射，这是因为近惯性内波只能向低于其生成纬度的区域（即满足频率ω≥f\omega \geq fω≥f）传播。
频率更高的内波可能由移动较慢的风暴、表层混合层中的湍流、表面波之间的精细相互作用产生，也可能是海洋涡旋衰减过程的一部分。它们还可能源于先前存在的内波之间的相互作用，这一点稍后将讨论。
图6 第一垂向模态中惯性频率处的水平能量通量：模型模拟结果（蓝色箭头）与观测结果（红色箭头）。模型模拟值基于2007年数据；观测结果则跨越了20年的测量。插图显示了由全球海洋模型计算得出的半球及全球积分风做功。水绿色表示风做功的年平均分布，突出了风暴路径下方的增强区域。经许可复制自：Alford, M. H., MacKinnon, J. A., Simmons, H. L., Nash, J. D. (2016). Near-inertial internal gravity waves in the ocean. Annual Review of Marine Science 8, 95--123。
潮汐是整个海洋中观测到的内波的另一个重要能量来源（Wunsch, 1975）。与海面潮汐变化相关的正压（即不随深度变化）潮流驱动层结海水流过海底地形特征，从而引发内部振荡，其原理类似于地形特征作为振荡波源在原本静止的海洋中产生波动。这些"内潮"主要具有潮汐频率，但也可能包含更高谐波的能量。图7展示了从真实强迫的全球1/25°混合坐标海洋模型（HYCOM）模拟中提取的、以及从高度计约束的内潮模型------高分辨率经验潮汐模型（HRET_v8.1）中提取的M2M_2M2内潮低模态海面高度的稳态同相分量（Edward D. Zaron，个人通讯）。HYCOM模拟解析了第1至5模态，而HRET_v8.1主要捕捉了第1和第2模态的海面高度信号。在HYCOM中，表层潮汐和被解析的低模态向未被解析的高模态的能量损失需要通过线性波拖曳进行参数化，以正确模拟表层潮汐和内潮。该波拖曳是地形粗糙度和密度层结的函数。内潮生成于深海大洋中脊、岛屿链和陆架区域（图7）。生成之后，它们沿着狭窄且近乎直线的路径传播数千公里。在传播过程中，其能量被认为会因与地形、随时间变化的低频背景流以及内波之间的相互作用（见后续章节）而逐渐耗散和散射。HYCOM模拟结果与高度计结果显示出良好的一致性，尤其是在生成源附近，但也存在差异。HYCOM中的内潮似乎比高度计结果中的能量更强、传播更远。原因之一是，对于更长的时间序列，稳态分量所占比例会变小：HYCOM结果基于2周的时间序列，而高度计结果基于25年的时间序列。这些差异还由于在某些低频流区域无法从高度计数据中提取内潮信号，以及HYCOM中地形和动力学的描述未能达到最优。
在低频流较强且海底地形粗糙的区域，例如南大洋及其他海域，平均流似乎会引发准稳态的"背风波"，即地形特征后方的驻立内波（如同大气中发生的情况）（例如，Nikurashin and Ferrari, 2011）。这些波可能向上传播进入海洋内部。在全球尺度上，由涡流引发的内背风波生成的相对重要性尚未完全确定，但当前的观点认为，风生近惯性波和粗糙地形上生成的内潮是全球内重力波场最重要的能量来源。
图7 从真实强迫的全球1/25°水平分辨率HYCOM模拟（上图）和高度计约束的内潮模型HRET_v8.1（下图）中提取的M2M_2M2潮汐低模态海面高度的稳态同相分量。内潮从诸如夏威夷和法属波利尼西亚等大洋中脊以及亚马逊陆架等大陆架区域向外辐射。未发表的HYCOM结果由Gordon Stephenson提供，高度计数据由Edward D. Zaron提供。
反射与散射
当内波在边界处反射时，它们保持自身频率不变，因此其相对于水平面的传播角度也保持不变（这是其独特频散关系的推论）。在平坦边界（如海面）上，反射的内波行为类似于常规波（例如声波），它们相对于反射面的传播角度守恒。然而，入射波和反射波相对于倾斜坡面的角度则不同（图8）。
图8 内波射线在海底发生反射时，相对于底坡法线保持等角关系。下标 iii 和 rrr 分别表示入射波和反射波。
在亚临界底坡（即坡度缓于内波传播角度）上，向岸传播的平面波总是被反射向坡上，这会汇聚波射线，增加波数，降低群速度，并增大振幅。在超临界底坡（即坡度陡于内波传播角度）上，向上坡方向的反射是不可能的，所有能量均被反射向海。在这种情况下，向下反射会汇聚波。无论是亚临界还是超临界坡度，当坡度接近临界（即几乎等于内波传播角度）时，反射能量密度增强最为显著。在临界坡度处，频散关系预测反射波将具有无限大的波数和为零的群速度，但时域解析解（Scotti, 2011）以及实验室实验和数值模拟表现良好，它们显示出大但有限的波数。在实践中，临界和近临界坡度处的反射可导致不稳定和波浪破碎，其机制将在下文讨论。
在科里奥利力的"传统近似"下，内波的频率被限制在fff和NNN之间。因此，向极地方向传播的内波可以到达一个"转向纬度"，在该纬度处当地的∣f∣|f|∣f∣超过ω\omegaω，从而导致指数衰减而非波动传播（即波数变为虚数）。在这些纬度，相速度趋于无穷大，群速度趋于零，因此波会发生折射（类似于边缘波）并向赤道方向反射。在动量方程中保留非传统的科里奥利项会修改在转向纬度处的反射行为。
波也会在层结较弱、NNN降至ω\omegaω以下的区域发生反射。这些屏障通常与充分混合的表层和底层边界层有关（另见图3）。内反射的一个后果是，波在一定程度上与边界层内粗糙地形引起的散射相隔绝。在中等水深区域，内波可以"隧道效应"穿过足够薄的弱层结层。
前面的讨论考虑的是垂向传播的波，然而，垂向驻波（即前面讨论过的垂向模态波）在海洋中也很常见，尤其是在潮汐频率和惯性频率处。这些波在水平方向上传播，有时可达数千公里，在遇到大洋中脊和大陆坡等大型地形特征之前，它们会越过粗糙地形。如上所述，亚临界坡度将入射波汇聚向较浅水域，在那里波形可能变陡并破碎；而陡峭的超临界坡度的行为类似于垂直墙，会将波能量反射回地形特征顶部以下，并将能量透射至顶部以上。大量的小尺度粗糙地形和偶尔出现的陡峭近临界坡度，都能有效地将波从低波数散射至高波数，但它们对全球能量平衡的相对贡献目前尚不确定。
波-背景流相互作用
内波通过纳维-斯托克斯方程中的非线性项u⋅∇\mathbf{u} \cdot \nablau⋅∇与背景流和层结相互作用（Kelly等，2016）。这种相互作用对于预测波的传播以及诊断波能的源和汇都具有重要意义。当波的振幅较小，且其时空尺度与背景流不同时，可以导出简化方程。例如，在具有大空间尺度的稳态背景流中的小振幅波，可以通过借用光学中的术语------"几何近似"，利用射线追踪方法来建模。在这种情形下，波由于平均流的平流作用和传播速度的变化而发生折射和反射（图9）。当背景流的空间尺度与波长相近时，几何近似无效，并可能出现其他效应，例如波在背景剪切流中的"临界层"被捕获、由背景应变或散度引起的不稳定性，以及背景涡度对低频截止频率的修改。当背景流能量强、尺度小且快速演变时，波-背景流相互作用变得极其复杂，以至于甚至难以将波从背景流中分离出来。
图9 低模态内潮通过中尺度湍流传播的数值模拟。(A) 相对于科里奥利频率归一化的表层相对涡度 ζ(z=0)\zeta(z = 0)ζ(z=0)。(B) 内潮的海面高度 ηc\eta_cηc。图中显示了内潮造波器和松弛层。内潮受到中尺度湍流的散射和折射。经许可复制自：Ponte, A. L. and P. Klein (2015). Incoherent signature of internal tides on sea level in idealized numerical simulations. Geophysical Research Letters 42, 1520--1526。
波-波相互作用
有几种过程会导致潮汐和风生波的能量被散射到不同的频率和波数。其中之一似乎是共振波-波相互作用：在纳维-斯托克斯方程中，涉及u⋅∇\mathbf{u} \cdot \nablau⋅∇的非线性项对于单个波而言为零，但如果存在两个波，则会产生相互作用项（参考文献见Müller等，2015）。动量和密度方程中的这些项可被视为强迫项，其频率和波数由两个原始波的和频与差频及和波数与差波数给出。对于某些波对，其和频（或差频）恰好等于具有和波数（或差波数）的自由波所期望的频率，因此这个波现在被共振激发，从原始的两个波中获取能量。对此理论的详细计算，以及在弱相互作用假设不成立时采用的不同方法的研究表明，存在一个能量向更短尺度波级联的过程。
能量在频率域中的流向尚不太明确，尽管有一种相互作用机制，即参数化次谐波不稳定性（PSI），类似于通过以其固有频率的两倍振荡支点来激发单摆，可以产生频率为母波一半的小尺度波（前提是这个半频仍大于fff）。
能量学与混合
在全球海洋盆地中，内波要么从生成源向外传播，要么就在生成地直接破碎（图10）。对于那些从生成区向外传播的内波，其演变过程被描述为能量从大尺度向更小尺度的级联，最终它们会破碎，完全失去其能量（MacKinnon等，2018）。如上所述，这种能量级联的发生是由于波-波相互作用。那些在穿越海洋盆地时未损失能量的波，最终会撞击大陆边缘，在那里它们要么破碎，通过湍流耗散损失能量，要么反射回海洋中继续其跨盆地的旅程。
图10 示意图展示了生成内波的各种过程，如潮汐、风和平均流（背风波），以及导致内波能量湍流耗散和损失的过程，如局地耗散、与涡旋和平均流的相互作用、波-波相互作用、地形散射以及与大陆坡的相互作用（包括浅化效应和孤立波生成）。上图中的灰色曲线表示湍流耗散。经许可复制自：MacKinnon, J. A., 等 (2018). Climate process team on internal wave--driven ocean mixing. Bulletin of the American Meteorological Society 98, 2429--2454。
对这种能量损失（即湍动能耗散率）的观测，可以使用湍流微结构剖面仪获得（Moum and Osborn, 1986），该仪器直接测量水体中与内波相关的小尺度湍流剪切。此外，基于能量从大尺度向小尺度级联的原理以及波-波相互作用理论，耗散率也可以从全球Argo阵列以及其他自主、锚系和船载海洋观测系统等平台获取的水体密度和/或速度剪切的精细尺度结构中推断出来。
上层1-2000米湍能耗散率的全球分布图显示出整个海洋盆地内的巨大变异性（图11）。研究发现，利用Argo阵列基于应变推断法估算的耗散率，与微结构剖面仪直接估算的耗散率结果吻合良好（Whalen等，2015）。增强的耗散与粗糙地形区域相关，例如中大西洋海脊和夏威夷海脊上空，但目前尚不清楚这是直接源于反射和散射波增强的剪切，还是由于内波能量增加导致更强的波-波相互作用所致。南北半球的中纬度地区显示出与冬季风暴（及其产生的风生近惯性波）相关的、耗散率升高的区域（具有季节性循环）。
图11 基于全球Argo阵列在250米至500米深度范围内的密度垂向剖面，应用基于应变的精细尺度参数化方法估算的平均湍动能耗散率 epsilon（单位：瓦/千克）。经许可复制自：Whalen, C.B., MacKinnon, J. A., Talley, L. D., and Waterhouse, A. F. (2015). Estimating the mean diapycnal mixing using a finescale strain parameterization. Journal of Physical Oceanography 45, 1174--1188。
在一些区域，如南大洋，由于粗糙地形处背风波的形成，整个水柱的混合可能相当强烈。相反，海洋主温跃层中相当弱的混合，加上强混合区深海盆中非常弱的层结，意味着内波场的总能量损失小到需要数十天才能耗散掉观测到的能量水平。这可能与一个显著特征有关：海洋中观测到的内波能量水平在空间和时间上似乎相当均匀，至少比表面重力波均匀得多；并不存在所谓的"内波平静期"。对此的解释是，与表面波的情况不同，内波的衰减时间远长于两次生成事件之间的间隔。
当然，这种情况也有例外，例如，北冰洋的内波能量水平和混合强度要低得多（除了一些地形特征附近），这可能是由于海冰覆盖导致风力生成减少，以及潮流本身较弱所致。然而，随着气候变化和极地气温上升，北冰洋的海冰覆盖将减少，我们可能会看到风生内波的增加，这可能导致混合增强和热量再分配，从而进一步减少海冰覆盖。这种正反馈循环可能会改变我们目前对北冰洋内波特性的理解（Dosser and Rainville, 2016）。
全包容的频率-波数谱
海洋中潮汐和近惯性波的存在，以及它们向更小尺度和不同频率的散射，可以通过频率谱和波数谱清晰地捕捉到。内波频率谱的测量可以通过分析固定点的测量时间序列获得，例如使用海流计或温度传感器，后者能显示温度层结水体垂直运动引起的变化。这些测量结果显示，在fff和NNN之间的频率范围内存在一个能量块。对于海流而言，通常在fff附近有一个峰值（"惯性尖峰"，见图12底部子图），但这一峰值在温度数据中被抑制，因为近惯性运动主要是水平的。温度和流速方差谱都显示出潮汐峰值（见图12）。在高于fff和高于潮汐频率的频率处，内重力波连续谱的能量分布以接近ω−2\omega^{-2}ω−2的规律下降。这种连续谱由Garrett and Munk (1975)描述，被认为源于内波之间的波-波相互作用，其中风生近惯性能量和内潮能量是主要来源。
然而，单个固定点的测量无法提供任何频率处能量的垂向和水平波数含量信息。我们可以通过分析在多个垂直深度采样的海流计数据，或利用电磁流速剖面仪来计算垂向波数谱（Leaman and Sanford, 1975）。图12最右边的子图展示了一个来自数值模型的水平波数谱示例。模态1和模态2的波数对应于0.04和0.09弧度/米附近的小峰值。
图12 基于水平分辨率为1/25°的全球HYCOM模拟数据，计算得到的动能频率-波数（K−ωK-\omegaK−ω）谱 E(K,ω)E(K, \omega)E(K,ω)，单位为 (m/s)² [(天) (公里)]，采用 log10\log_{10}log10 尺度着色。水平波数的大小为 K=(k2+l2)1/2K = (k^2 + l^2)^{1/2}K=(k2+l2)1/2。该谱是针对北太平洋的一个矩形区域计算的。白色曲线表示前三个内波垂直模态的边界线性频散关系（式(3)）：实线 = 模态1；虚线 = 模态2；点划线 = 模态3）。模态带在面板内用白色文字标注。在彩色绘制的 E(K,ω)E(K, \omega)E(K,ω) 的下方和右侧，分别展示了对所有水平波数 KKK 积分的谱 E(ω)E(\omega)E(ω)，以及对大于惯性频率（ω≥f29N\omega \geq f_{29N}ω≥f29N）的频率积分的谱 EITW(K)E_{\text{ITW}}(K)EITW(K)。在 E(ω)E(\omega)E(ω) 谱中，青色线标示了边界纬度29°N和43°N处的惯性频率，同时也标出了M₂和M₄潮汐频率。经许可复制自：Müller, M., Arbic, B. K., Richman, J. G., Shriver, J. F., Kunze, E. L., Scott, R. B., Wallcraft, A. J., and Zamudio, L. (2015). Toward an internal gravity wave spectrum in global ocean models. Geophysical Research Letters 42, 3474--3481。
使用数值海洋模型计算能够解析内重力波连续谱的频率谱和波数谱是可行的，前提是模型同时具备大气强迫（以生成近惯性流）、潮汐强迫（以生成内潮）和高网格分辨率（以解析波-波相互作用）。这种内重力波谱无法从卫星高度计数据中计算出来，因为后者缺乏足够的时间采样。最近，Müller等人（2015）利用同时包含潮汐和大气强迫的全球1/25° HYCOM模拟，计算了水平波数-频率谱。这些频率谱和波数谱（黑色曲线）以及频率-波数谱（彩色）展示在图12中。由于频率-波数谱是在覆盖纬度14°的区域内计算的，近惯性频率覆盖了一个宽频带（见底部子图中的E(ω)E(\omega)E(ω)曲线），并且Sturm-Liouville问题在彩色图中为每个垂直模态生成了一束（白色的）频散曲线。在整个近惯性频带以及较窄的半日潮频带中都可以看到高方差。Müller等人（2015）最令人兴奋的新结果是沿着低频模态频散曲线、在半日潮频率以上的频率处也出现了方差，这有力地证明了最近的高分辨率数值模拟正在生成一个超潮汐频率的内重力波连续谱（Arbic, 2018）。
结论
风和潮汐生成的内重力波在全球海洋中无处不在，它们主要以界面波的形式出现。内重力波是海洋行为的关键组成部分，因为它们通过混合影响大尺度环流。近年来，在对内重力波能量学的理解方面取得了很大进展。尽管全球海洋数值模型在低模态波的模拟方面与观测相比获得了符合实际的结果，但更高垂直模态波的生成与传播、波-波相互作用、与平均态的相互作用、粗糙海底的反射与散射以及波浪破碎过程仍然没有得到充分模拟，因为模型的分辨率尚不足以解析所有这些过程。因此，这些过程必须通过次网格尺度方案来表示，例如地形内波拖曳和波浪破碎参数化方案。与10年前相比，我们现在对其中许多过程，以及如何解析和/或参数化它们有了更深入的了解，但我们仍在努力实现对海洋内重力波的全面理解，并朝着正确模拟其所有复杂性的目标迈进。