1、齐次线性方程组
①当时，方程组有唯一零解。
②当，方程组有非零解，
个线性无关的解。
通解求解：
先把增广矩阵化成行阶梯矩阵，确定自由变量，分别对自由变量去，求出其它变量的值。
例：
先化成行阶梯矩阵
取自由未知量得到
2、非其次线性方程组
①若,则方程组无解。
②若，则方程组有唯一解。
③若,则方程组有无穷多解。
通解求解：
先求出齐次方程组的通解，在求出一个特解，非齐次线性方程组 的通解为特解 +齐次方程组的通解
例子：
秩为2，齐次通解为 特解（令自由系数为零）为
解为
2.1、求一个矩阵P使得PA=B
考虑，将
按列分块为
则有
此时
2.2、对于无解方程的最佳近似解
如果无解 那么
一定有一个解
，是原方程的最佳近似解
证明一定有解：
证明是最佳近似解：
化简得到
3、方程组的公共解
例如对两个齐次线性方程组 的公共解 是满足方程组
3.1、如何求解公共解
①把第一个的通解带入第二个方程，得到k的关系，得到公共解
例题：
两个基础解系是和
带入方程组得到
得到公共解
②
由上式子可得到可得
得到公共解
③也可以直接使用组合方程求四个方程的通解就是他们的公共解
4、同解方程组
若两个方程组 有完全相同的解，则称他们为同解方程组。
于是，他们的解向量组是等价的，即可以互相表示。
4.1、如何证明两个方程组是同解方程组？
①两个方程组的系数矩阵秩相同
②其中一个的解全是另一个方程组的解
4.2、证明四秩相同
由同解可得：
