前言
最近在学习一些新概念，发现有些关于偏振态的知识有点捋不清了，回头去看之前的整理和公式推导，觉得仍然存在逻辑不连贯的地方，于是重新理解和推演了一遍，以便后续工作的开展。
光的偏振态
对于完全偏振的单色平面光波，假设沿z轴传播，其光波矢量沿x-y方向的电场分量可以表示为：
（1）
（2）
为了方便后续计算，这里将电场分量改为复数形式，并忽略矢量的方向性，即：
（3）
（4）
其中，我们通常会提出公共的时间-空间相位项，并将剩下的部分写成一个向量形式，也即琼斯矢量。
（5）
通过对琼斯矢量的化简可以知道，x-y方向分量的光场振幅比和相位差，决定叠加光场的偏振态。很容易知道，当相位差为0时，叠加出来的是线偏振光；而当相位差为±pi/2且振幅项相等时，叠加出来的是圆偏振光；其他情况均为椭圆偏振光。
如果需要直观的看到振幅比与相位差如何影响偏振态的参量，那么就需要求解出偏振态的轨迹方程。这里得注意一个问题，就是偏振态的轨迹是一个随时间累积的呈现，所以轨迹方程的求解是得回归到光波的表达式（1）（2）里，将余弦函数展开并消去时间项得到，具体的推导过程在之前的博客里有，这里直接上结果。
(6)
式子里面出现了交叉项，根据高中数学的知识我们可以知道，这是个中心在原点的一般椭圆方程。当然了，还有一种更直观的表示方法，可以用两个圆周来模拟x和y分量的位置，然后直接描点画出轨迹，就像下面这样。
大概就那么个意思吧，要是能做个动画会更直观一点
表达椭圆偏振态的参量只有两个，一个是椭偏度β，表示"椭"的程度；另外一个是方位角α，表示这个一般椭圆的主轴与x方向的夹角，同理，这里直接上结论。
(7)
(8)
(9)
椭圆偏振态
Stokes参量
庞加莱提出用一个球面上的点来表征完全偏振态时所用到的数学工具便是stokes参量。1852年，Stokes提出可以用四个参量来表示光的偏振态，分别是S0,S1,S2和S3。这四个参量的物理意义如下：
表示光场的总光强
表示水平/垂直偏振方向的光强差
表示45°/135°偏振方向的光强差
表示右旋/左旋偏振方向的光强差
关于参量的定义这部分，Deepseek提供的官方推导是先建立了一个相干矩阵，然后将其拆分为四个幺正矩阵的线性叠加，四个stokes参数便对应着幺正矩阵的系数。但这个官方解释读起来不太直观，在看到表达式时我的疑惑点在两处，第一，为什么要用这三个参量来表示三种光强差；第二这个表达式是怎么得到的，就是说为什么45°/135°的光强差对应着前面的式子。
针对这两个问题我没找到什么参考资料，只能用我为数不多的数理知识进行分析了。x-y、45°-135°、左旋-右旋偏振是三组完全独立的正交基，每种偏振态或多或少都会在这三种基矢上有投影，所以S1、S2和S3的值的平方便会等于所有偏振光的强度，这时倘若入射光为完全偏振光，那么便存在着下面的等式：
(10)
当然这一分析在数学证明中是不严谨的，但只能先这么理解着。接下来可以看看四个参量所对应的表达式。S0和S1很好理解，比较不好理解的是S2和S3。前面我们写出了x-y方向的电场矢量表达式，那么很明显是可以通过基矢间的变换来得到45°-135°线偏振方向以及正交圆偏分量的电场表达式。
(11)
(12)
分别计算D/A方向电场分量的时间平均，即求光强，可以得到：
(13)
(14)
(15)
同理，根据R = x -iy L = x+iy可以求解到S3的表达式。
(16)
从式（10）中可以看到，这三组正交基张成了一个球面，所有的完全偏振光均可根据坐标分布在球面上。这个概念球便是庞加莱球。我们先将这个球的表达式进行化简。
（17）
归一化庞加莱球
为了知道偏振光到庞加莱球面上的映射关系，我们需要建立起偏振态参数球面参数之间的关系。球上任意一点与球心连成的向量可以用xyz坐标来简单表示：
(18)
也就是说，Stokes参量与球面坐标之间存在着下面的关系：
(19)
现在回过头去看描述偏振态的两个参量，椭偏度和方位角, 可以发现其能够很直观的与stokes参量建立起联系：
(20)
从公式(19)与(20)容易发现，庞加莱球的球坐标参数与偏振态的参数之间存在一个很直接的数量关系，即：
(21)
这个表达式说明了，球面上的经度坐标为偏振态旋转角的两倍，纬度坐标为椭偏度的两倍。也就是说随着赤道转一周，经度范围为2pi，而偏振态的方位角则翻转了pi;从南极到北极，纬度范围为pi，椭偏度则变化pi/2, 从-pi/4的左旋到pi/4的右旋。
Stokes参量的实验测定
在了解了stokes参量的物理意义之后，实验上的测定便和容易了。用QWP、HWP和LP的偏振控制器组合来分别测定H/V/D/A/R/L方向的光强度。目前也有很多研究是通过single shot来捕获和分析光场偏振态的，不过需要借助其他的光场调控元件。
拓展
经典的庞加莱球针对的是平面内均匀分布的偏振态，或者说是单点偏振态。如果考虑面内不均匀的矢量光场偏振态，将其均映射到庞加莱球上，并将映射的球面矢量保留为一个新的物理量，就是近几年火的一塌糊涂的Skyrmions.
后记
看似是一篇新博客，实则还是旧知识点。没辙，慢慢来吧。祝大家少走弯路，无限进步。