5.前缀和

核心思想

通过预处理生成前缀和数组，将 "区间和查询" 从 O (n) 优化为 O (1)，适用于多次查询的场景。

1. 一维前缀和

定义

原数组a[1..n]（下标从 1 开始），前缀和数组s[1..n]，其中s[i] = a[1] + a[2] + ... + a[i]；
区间和公式：sum(l..r) = s[r] - s[l-1]（下标从 1 开始，避免l=1时l-1=0的边界问题）。

代码模板（含应用）

C++ 复制代码

#include <cstdio>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;
int a[N], s[N];

int main() 
{
    int n, m;// n个数，处理m次查询
    scanf("%d%d", &n,&m);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
    // 预处理前缀和
    for (int i = 1; i <= n; i++) s[i] = s[i-1] + a[i];
    
    while (m--) 
    {
        int l, r;
        scanf("%d%d", &l, &r);
        printf("%d\n", s[r] - s[l-1]);
    }
    
    return 0;
}

测试案例

输入：n=5，a=[1,2,3,4,5]，m=2，查询 (1,3)、(2,5)
预处理：s=[0,1,3,6,10,15]
查询结果：6-0=6（1+2+3），15-1=14（2+3+4+5）
输出：6、14

2. 二维前缀和（子矩阵和）

定义

原矩阵a[1..n][1..m]（下标从 1 开始），前缀和矩阵s[1..n][1..m]，其中s[x][y]表示左上角 (1,1) 到右下角 (x,y) 的子矩阵和；
预处理公式：s[x][y] = s[x-1][y] + s[x][y-1] - s[x-1][y-1] + a[x][y]（避免重复计算重叠区域）；
子矩阵和公式：sum(x₁,y₁,x₂,y₂) = s[x₂][y₂] - s[x₁-1][y₂] - s[x₂][y₁-1] + s[x₁-1][y₁-1]。

代码模板（含应用）

C++ 复制代码

#include <cstdio>
using namespace std;

const int N = 1e3 + 10;
int s[N][N]; // 直接用s存储原矩阵+前缀和（节省空间）

int main() 
{
    int n, m, q;
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
    // 读入原矩阵并预处理前缀和
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
    {
        for (int j = 1; j <= m; j++) 
        {
            scanf("%d", &s[i][j]);
            s[i][j] += s[i-1][j] + s[i][j-1] - s[i-1][j-1];//求前缀和
        }
    }
    // 处理q次查询
    while (q--) 
    {
        int x1, y1, x2, y2;
        scanf("%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2);
        int res = s[x2][y2] - s[x1-1][y2] - s[x2][y1-1] + s[x1-1][y1-1];//算矩阵和
        printf("%d\n", res);
    }
    return 0;
}

测试案例

输入矩阵：

1 2 3

4 5 6

7 8 9
预处理 s 矩阵（部分）：s [2][2] = 1+2+4+5=12，s [3][3] = 45
查询子矩阵 (1,1,2,2)：12，查询 (2,2,3,3)：5+6+8+9=28
输出：12、28