在数学（特别是线性代数、泛函分析和矩阵理论）中的 偏迹 （Partial Trace），是矩阵（或更一般地，张量积空间上的线性算子）上的一个运算，用于从复合系统的密度矩阵中约化出一个子系统的状态。
定义（有限维情形）
设 和
是两个有限维希尔伯特空间，维数分别为
和
。在张量积空间
上有一个线性算子（矩阵）
。关于子系统
的偏迹
是一个作用在
上的线性算子，由以下条件唯一确定：
其中：
-
用基表示：设
是
-
矩阵元：
-
偏迹
等价表述（使用部分内积）
其中 是
的一组标准正交基。
【注，这里对第一个表述中的形式做一些说明，
这个写法确实容易引起歧义。严格来说，你引用的写法：
在形式上是准确的，但需要明确其下标约定，否则容易误解为"四个指标"。
准确含义解释
设：
-
-
则 的一组基为
，可用双指标
标记。
矩阵 的矩阵元通常写作：
即 行由 标记，列由
标记。
那么，定义给出的表达式：
表示 列指标的第二个下标 与行指标的第二个下标
取相同值。也就是说：
-
行指标：
-
列指标：
可能的混淆点
-
四个指标变成三个不同指标 ：
-
括号位置 ：
或
更严谨的等价写法（避免歧义）
为了避免歧义，常见教材会写成以下形式之一：
写法1（显式基展开）：
这里 就是一个数，不需要引入
符号。
写法2（用矩阵元符号，但写明指标对应关系）：
并事先说明： 的矩阵元按基
排序，行标签
，列标签
。
】
接下来，我们将 通过多个计算示例来更具体地掌握偏迹（Partial Trace）。
1. 偏迹的定义
1.1 动机
在量子力学中，复合系统 的态用密度矩阵
描述。那么，当我们只关心子系统
时，需要忽略掉其中
的状态，这里通过对子系统
求平均来 "忽略"
，这个操作就是偏迹：
对复合系统 的密度矩阵
求关于子系统
的偏迹，得到的结果
一定是子系统 的密度矩阵 （即作用在
的 Hilbert 空间上的合法密度矩阵）。
1.2 数学定义
设复合系统 的 Hilbert 空间为
，维数分别为
和
。
取 的一组正交归一基
，则偏迹定义为：
等价地，用矩阵元表示为：
其中 是
的基。
注：
直观理解 ：把 的指标"求和掉"，剩下只含
的矩阵。
2. 示例 1：直积态（最简单）
设 ，其中：
（均为 矩阵，但一般
本身是密度矩阵）
计算 ：
取 的基
。
因为 ，所以：
结果 ：对直积态求 的偏迹，直接得到
。
3. 示例 2：2-qubit 最大纠缠态
考虑贝尔态 ，
密度矩阵 。
在基 下：
求 ，用定义：
计算各个矩阵元：
所以：
结果 ：最大纠缠态对 求偏迹，得到
的最大混合态。
4. 示例 3：使用矩阵分块法（2 2 系统通用方法）
对于 2-qubit， 是
矩阵，可以写成
分块形式：
其中 都是
矩阵。
公式：
即把对角分块加起来。
验证示例 2：
所以 ，
5. 示例 4：部分纠缠态
设 ，
。
在 基下：
（）
用分块法：
结果 ：非最大纠缠时， 不是最大混合态，对角元是纠缠系数的平方。
6. 示例 5：3 2 系统（不同维度）
设 维度 3（基
），
维度 2（基
）。
取 ，其中
。
注意第二项 ：第一个数
，第二个数
。
写出 矩阵太繁琐，用定义：
即：
更直接：将 按
的基展开：
则
即：
验证：，且半正定。
7. 重要性质总结
| 性质 | 公式 |
|---|---|
| 迹不变 | |
| 线性 | |
| 直积态 | |
| 部分求迹顺序可换 |
8. 计算口诀
-
小系统：用定义式直接计算矩阵元。
-
2
-
一般系统 ：将
掌握了这些示例，我们应该能计算任何偏迹了。