【题目来源】
https://www.luogu.com.cn/problem/P8749
https://www.acwing.com/problem/content/3421/
【题目描述】
下面的图形是著名的杨辉三角形：
如果我们按从上到下、从左到右的顺序把所有数排成一列，可以得到如下数列：
1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,...
给定一个正整数 N，请你输出数列中第一次出现 N 是在第几个数。
【输入格式】
输入一个整数 N 。
【输出格式】
输出一个整数代表答案。
【输入样例】
6
【输出样例】
13
【数据范围】
对于 20% 的评测用例, 1≤N≤10；
对于所有评测用例, 1≤N≤10^9 。
【算法分析】
● 杨辉三角（又称帕斯卡三角）是一个由数字排列成的三角形数表，其核心规律是每行首尾均为 1，中间每个数等于它上方两个数之和，本质上是二项式系数的直观排列，是数学与信息学中递推思想的经典模型。
● 杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列。
（1）杨辉三角第 n 行（n≥1）包含 n 个数字，对应二项式 (a+b)ⁿ⁻¹ 展开式的系数。其中，(a+b)ⁿ = C(n,0)aⁿ + C(n,1)aⁿ⁻¹b¹ + C(n,2)aⁿ⁻²b² + ... + C(n,n-1)a¹bⁿ⁻¹ + C(n,n)bⁿ。
（2）杨辉三角第 n 行第 k 个数等于组合数 C(n-1,k-1)。其中，C(n,k) = n! ∕ (k!·(n−k)!)。
（3）杨辉三角每行数字左右对称：C(n,k)=C(n,n−k)。
（4）杨辉三角第 n 行的数字和为 2ⁿ⁻¹。
（5）杨辉三角左对齐后，沿 45° 斜线（↙方向）的数字和构成斐波那契数列。
（6）杨辉三角左对齐后，第 i 行第 j 列的数=第 i-1 行第 j-1 列的数+第 i-1 行第 j 列的数。正是组合数性质 C(i, j)=C(i-1, j-1)+C(i-1, j) 的几何体现。
● 计算给定数字在杨辉三角中按行优先遍历首次出现的序号（从 1 开始计数 ）
（1）由于杨辉三角的每行数字均呈严格左右对称，且满足组合数性质 C(n,k)=C(n,n−k)，因此在计算与构造时，我们仅需关注对称轴左侧的数字即可。
（2）若行号与列号均从 1 开始计数，则杨辉三角第 i 行对称轴上的数可表示为组合数 C(2(i−1), i−1)。显然，图示各行对称轴上的数分别为 C(0,0)=1、C(2,1)=2、C(4,2)=6、C(6,3)=20。
（3）杨辉三角对称轴左侧的数字，在每条左上至右下的斜线（↙）上单调不减，在每条左至右的横线（→）上也单调不减。因此，可以采用二分的思想进行求解。
● 核心代码解析
（1）求组合数 C(a,b)
下面代码基于 C(a,b)=a×(a-1)×...×(a-b+1)/(1×2×...×b) 编写。这是求组合数最稳、最常用的安全写法。
cpp
LL C(int a,int b) {
LL res=1;
for(int i=a,j=1;j<=b;i--,j++) {
res=res*i/j;
if(res>n) return res;
}
return res;
}（2）由于 C(32,16)≤10^9＜C(34,17)，所以依据"++若行号与列号均从 1 开始计数，则杨辉三角第 i 行对称轴上的数可表示为组合数 C(2(i−1), i−1)++"知，所以最多只需要查找 17 斜列 即可在题目范围 1e9 内找到对应数字。
【算法代码】
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL n;
LL C(int a,int b) {
LL res=1;
for(int i=a,j=1; j<=b; i--,j++) {
res=res*i/j;
if(res>n) return res;
}
return res;
}
bool check(int k) {
LL le=k*2,ri=max(n,le);
while(le<ri) {
LL mid=le+ri>>1;
if(C(mid,k)>=n) ri=mid;
else le=mid+1;
}
if(C(ri,k)!=n) return false;
cout<<ri*(ri+1)/2+k+1;
return true;
}
int main() {
cin>>n;
int k=16;
while(!check(k)) {
k--;
}
return 0;
}
/*
in:6
out:13
*/【参考文献】
https://www.acwing.com/solution/content/179551/
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/147570319
https://www.acwing.com/solution/content/167373/
https://www.luogu.com.cn/problem/solution/P8749
https://www.acwing.com/video/2842/