引言
- 算法稳定性与数值误差传播的研究背景
- 研究意义与应用场景（科学计算、机器学习、工程仿真等）
算法稳定性的基本概念
- 稳定性定义：前向稳定性、后向稳定性、混合稳定性
- 稳定性与收敛性的关系
- 常见稳定与不稳定算法示例
数值误差的来源与分类
- 截断误差与舍入误差
- 误差的累积与传播机制
- 浮点数系统的局限性（IEEE 754标准）
误差传播分析方法
- 条件数与误差放大
- 局部误差与全局误差的量化
- 矩阵运算中的误差传播（线性方程组、特征值问题）
稳定性改进技术
- 算法设计策略：避免减法抵消、迭代修正、高精度计算
- 数值库的选择与优化（BLAS、LAPACK）
- 混合精度计算的应用
实验与案例分析
- 经典算法对比（如高斯消元法与迭代法的稳定性）
- 实际应用中的数值问题（如深度学习训练中的梯度爆炸）
- 误差可视化与统计分析
未来研究方向
- 自适应稳定性控制方法
- 量子计算中的误差抑制
- 自动化稳定性验证工具
结论
- 算法稳定性研究的核心挑战
- 对工程实践的建议与展望
参考文献
- 经典教材与前沿论文列表
- 开源工具与数据集推荐