树状数组正确性证明

（证明并不严谨，都是自己想的方法）

我将以下代码为后面证明过程中的树状数组模板

cpp 复制代码

void add(int x, int k){
    for(;x <= n; x += lowbit(x)){
        tree[x] += k;
	}
}

int query(int x){
    int res = 0;
    for(;x; x-= lowbit(x)){
        res += tree[x];
	}
    return res;
}

定义 $A$ 为我们往树状数组（即tree数组）内加入的数的下标，$B$ 为我们将要查询的下标（$A \ne 0$ 且 $B \ne 0$）

定义函数 $P(x,y)$ 表示 x 自增 y 次 lowbit，函数 $M(x,y)$ 表示 x 自减 y 次 lowbit

我们要证明内容如下

当 $A > B$ 时，满足 $\\forall y_1,y_2 \\ge 0 \$，\$P(A,y_1) \\ne M(B,y_2)$
当 $A \le B$ 时，恰好存在一组 $y_1, y_2$ 满足 $P(A, y_1) == M(B,y_2)$

通俗的讲，就是保证在查询下标为 $B$ 的前缀和时，加入的数中下标大于 $B$ 的不会被计算，小于等于 $B$ 的会被恰好计算一次

首先，我们需要发现一个性质，即在二进制下，一个数在自增 lowbit 时，当一位上的 0 变成 1 ，并满足其后面所有位置的数都是 0 ，且自增过程中会保证除首位外每一位 1 最后都会变成 0；相反的，一个数在自减 lowbit 中，当一位上的 1 变成 0 的，并满足其后面所有位置的数都是 0，且自减过程中会保每一位 1 最后都会变成 0

这里举一个例子，比如说对于一个二进制数字 1011000，其自增 lowbit 后会变成 1100000 ；会发现从右往左第 6 项变为了 0 ，并且后面的数字也全都是 0

这个性质是显然可以证明的，故此不再证明

然后，我们证明最开始的内容

对于 $A > B$ 的情况，因为 lowbit 不为负，所以始终满足 $P(A, y_1) > M(B,y_2)$

对于 $A = B$ 的情况，又由于lowbit 必定为正，所以对于 $\\forall y_1,y_2 \\ge 1$ ，满足 $P(A, y_1) > M(B,y_2)$ ；且仅当 $y_1 = 0$ 且 $y_2 = 0$ 时 $P(A, y_1) = P(B,y_2)$

对于 $A < B$ 的情况：

设 $A = \sum_{i=0}^{n} a_i * 2^i (a_i \in \left \{ 0, 1\right \})$， $B = \sum_{i=0}^{n} b_i * 2^i (b_i \in \left \{ 0, 1\right \})$

即可以看成 $A = {a_{n}a_{n-1}...a_2a_1a_0}{(2)}$ ， $B = {b{n}b_{n-1}...b_2b_1b_0}_{(2)}$

则存在 $j$ 满足 $a_j < b_j$ 且 $a_na_{n-1}...a_{j+1} = b_nb_{n-1}...b_{j+1}$

由于 $a_j < b_j$ ，故此时 $P(A,y_1) < M(B,y_2)$，在 $a_j = b_j$ 前一直成立

此时又分两种情况
- 当 $a_ja_{j-1}...a_1a_0 = 0$ 时，由于上面性质可以得、到在自减 lowbit 时存在 $y_2$ 使得 $B = M(B,y_2)$ 后 $b_j = 0$ 且 $b_{j-1}b_{j-2}...b_1b_0 = 0$ ，所以此时 $A = B$，即转变到了上一种情况
- 当 $a_ja_{j-1}...a_1a_0 > 0$ 时，由于上面性质可以得到在自加 lowbit 时存在 $y_1$ 使得 $A = P(A,y_1)$ 后 $a_j = 1$ 且 $a_{j-1}a_{j-2}...a_1a_0 = 0$ ，所以此时 $A = B$，即转变到了上一种情况

故，证毕