微带贴片天线——腔模理论分析（公式推导&代码分析）

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| 资料参考来源： * Deepseek * Gemini * 深圳大学张晓老师的B站课程------极速入门：贴片天线腔体模型及模式简介_哔哩哔哩_bilibili |

一、谐振腔分离变量法

1、模型假设与坐标系

2、空腔内的电磁场

3、边界条件

[3.1 上、下电壁（ z=0和z=h ）](#3.1 上、下电壁（ z=0和z=h ）)

[3.2 四周磁壁 x = 0, a 和 y = 0, b](#3.2 四周磁壁 x = 0, a 和 y = 0, b)

二、matlab代码分析电场强度与电流密度强度分布

1、matlab绘制图像代码

2、输出图像

3、结论分析

一、谐振腔分离变量法

下面基于谐振腔理论，详细推导矩形微带贴片天线的空腔模型，重点关注边界条件的处理。

1、模型假设与坐标系

矩形贴片尺寸：a×b ，位于 z = h 处；接地板位于 z = 0 ；介质基片厚度h ，相对介电常数，磁导率。
假设基片厚度远小于工作波长，场沿z方向无变化，因此问题简化为二维。
贴片与接地板均为理想导体 → 电壁（切向电场为零）。
贴片四周开放边界，因基片很薄，边缘辐射弱，近似为磁壁（切向磁场为零）。

坐标系：，，z为垂直方向。

关于四周是磁壁的理解：(源于Gemini的解释，个人认为比较直接清晰)

进一步深入理解为什么是切向磁场：

2、空腔内的电磁场

对于 TM 模，由麦克斯韦方程组可导出满足二维亥姆霍兹方程：

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其中，且。

其他场分量可由表示：

（证明：从和出发，结合可得上述关系。）

此处推导过程较为复杂，推导省略，后期专门出一期关于谐振腔的推导过程。

3、边界条件

3.1 上、下电壁（ z=0和z=h ）

理想导体表面切向电场为零：。
在近似下，、自动满足，无需额外条件。

3.2 四周磁壁 x = 0, a 和 y = 0, b

磁壁条件：切向磁场为零。

在 x=0 和 x=a 处，切向磁场分量为和。因，只需。
由，得：
【重点是关注TM mode纵向量与所关注求解的方向x之间的联系】

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在 y=0 和 y=b 处，切向磁场分量为和。因，只需。
由，得：
【重点是关注TM mode纵向量与所关注求解的方向y之间的联系】

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因此，磁壁条件等价于 Neumann 边界条件：电场纵向分量的法向导数在侧壁上为零。

4、分离变量法求解

设，代入亥姆霍兹方程：

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令

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则 .

解：

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边界条件。若，则；若，则X为常数，允许。
。若，则，。

同理，；，。

于是：

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其中，但对应常数解，没有意义，舍去。

【m与n不能同时为0，注意这里的求解其实有个小窍门：涉及求导的都是cos的形式】

5、横向场分量

代入关系式：

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6、谐振频率

由，且，得：

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考虑基片介电常数，并引入边缘效应修正（通常用等效尺寸），但基本公式如上。

7、模式讨论

模：m, n可以为零，但不能同时为零。（m=1, n=0）和是常用工作模式。
若 a > b，的谐振频率最低，称为主模。
电场分布：时，在 x = a / 2 处最大，沿 y 方向均匀，对应贴片长度方向谐振。

8、与封闭矩形谐振腔的对比

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| 边界条件 | 封闭腔（TE/TM） | 微带贴片空腔模型 |
| x=0,a | 电壁 | 磁壁 |
| y=0,b | 电壁 | 磁壁 |
| z=0,d | 电壁 | 电壁（）但 d=h 相较于波长很小，近似二维 |

因此微带空腔模型本质是一个PMC-PEC 混合腔，只支持模（p = 0），且为余弦分布而非正弦。

总结：微带贴片天线的空腔模型通过将四周开路近似为磁壁，成功将问题简化为二维谐振腔，从而获得本征模式和谐振频率。边界条件是推导的关键，它来源于磁壁上的切向磁场为零。

二、matlab代码分析电场强度与电流密度强度分布

1、matlab绘制图像代码

Matlab 复制代码

% 矩形贴片天线 TM_mn 模：电场幅度 |Ez| 与电流密度幅度 |Js| 对比图
clear; clc; close all;

% ========== 参数设置 ==========
a = 50e-3;      % 贴片长度 (m)，例如 50 mm
b = 40e-3;      % 贴片宽度 (m)，例如 40 mm
m = 2;          % 模数 m (0,1,2,...)   TM10 模式
n = 1;          % 模数 n (0,1,2,...)   m=n=0 无意义
E0 = 1;         % 电场振幅 (归一化)
freq = 2.4e9;   % 工作频率 (Hz)，仅用于计算 omega*eps，若只画相对分布可忽略
eps_r = 4.4;    % 基片相对介电常数
eps0 = 8.854e-12;
eps = eps_r * eps0;
omega = 2*pi*freq;

% 横向波数平方
kc2 = (m*pi/a)^2 + (n*pi/b)^2;
if kc2 == 0
    error('m 和 n 不能同时为零！');
end

% 网格剖分
Nx = 200; Ny = 200;
x = linspace(0, a, Nx);
y = linspace(0, b, Ny);
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% 计算电场幅度 |Ez| (归一化)
Ez_abs = abs(cos(m*pi*X/a) .* cos(n*pi*Y/b));

% 计算电流密度幅度 |Js| (相对值，省略常数因子)
Jmag = sqrt( (m*pi/a)^2 * sin(m*pi*X/a).^2 .* cos(n*pi*Y/b).^2 + ...
             (n*pi/b)^2 * cos(m*pi*X/a).^2 .* sin(n*pi*Y/b).^2 );
Jmag = Jmag / max(Jmag(:));   % 归一化到 [0,1]

% ========== 绘图：左右子图 ==========
% 调整窗口比例以适应左右布局
figure('Position', [300 200 900 450]);

% 使用 tiledlayout 最小化白边并设置 1行2列
t = tiledlayout(1, 2, 'TileSpacing', 'compact', 'Padding', 'tight');

% 左子图：电场幅度 |Ez|
nexttile;
% 互换 X 和 Y 使 y 轴水平、x 轴垂直
pcolor(Y, X, Ez_abs); 
shading interp;
colormap(jet);
colorbar;
% 将垂直轴（x轴）反转，使其朝下递增
set(gca, 'YDir', 'reverse'); 
xlabel('y (m)');
ylabel('x (m)');
title(sprintf('TM_{%d%d} 模 电场幅度 |E_z|\n(a=%.1f mm, b=%.1f mm)', m, n, a*1e3, b*1e3));
axis equal tight;

% 右子图：电流密度幅度 |Js|
nexttile;
% 同样互换 X 和 Y
pcolor(Y, X, Jmag);
shading interp;
colormap(jet);
colorbar;
% 将垂直轴（x轴）反转，使其朝下递增
set(gca, 'YDir', 'reverse'); 
xlabel('y (m)');
ylabel('x (m)');
title(sprintf('TM_{%d%d} 模 表面电流密度幅度 |J_s|\n(归一化)', m, n));
axis equal tight;

2、输出图像

模的电场幅度横向分布以及贴片表面电流密度幅度分布

【注意图中X轴和Y轴的方向】

3、结论分析

对比以上两幅图，可以大致发现一个规律：在矩形微带贴片天线的空腔模型【边缘地带】中，电流密度强度与电场强度分布正好互补：电场最强（边缘）处电流最弱（接近零），电场最弱（中心）处电流最强。