LeetCode 279. 完全平方数
📌 题目描述
题目级别：中等
给你一个整数 n ，返回 和为 n 的完全平方数的最少数量 。
完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。
-
示例 1:
输入：
n = 12输出：
3解释：
12 = 4 + 4 + 4 -
示例 2:
输入：
n = 13输出：
2解释：
13 = 4 + 9
💡 破题思路：动态规划的完全背包模型
这道题本质上是一个完全背包问题的变形：
- 背包容量 ：数字
n。 - 物品 ：所有的完全平方数（1,4,9,16...1, 4, 9, 16...1,4,9,16...）。
- 物品重量：完全平方数的数值。
- 物品价值：数量统统算作 1 个（因为题目要求"最少数量"）。
- 特殊限制：每个物品可以无限次使用。
状态定义：
定义 dp[i] 为：和为 i 的完全平方数的最少数量。
状态转移方程：
对于当前的数字 i，它可以由之前的某个数字加上一个"完全平方数 j×jj \times jj×j"组合而来。
所以我们只需要回头看看之前的状态 dp[i - j*j]，然后在这个基础上加 1（也就是加上当前这个完全平方数）。
为了求最少数量，我们在所有可能的回头路径中取最小值：
dp[i] = min(dp[i], dp[i - j * j] + 1)
巧妙的初始化：
dp[0] = 0：凑成 0 需要 0 个数。- 对于其他的
dp[i]，我们需要初始化为一个极大值。这里非常巧妙地初始化为n + 1。因为即使全用1来凑，最多也只需要n个数，所以n + 1在这里就起到了"无穷大"的作用，同时完美避免了使用INT_MAX时发生INT_MAX + 1导致的整数溢出问题！
💻 C++ 代码实现
cpp
class Solution {
public:
int numSquares(int n) {
// 使用变长数组 (或可以替换为 vector<int> dp(n + 1, n + 1))
int dp[n + 10];
dp[0] = 0;
// 巧妙初始化为 n + 1，相当于安全版的无穷大
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) dp[i] = n + 1;
// 遍历背包容量 (从 1 到 n)
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
// 遍历物品 (完全平方数 j*j)
for (int j = 1; j * j <= i; j ++ )
{
// 状态转移：取当前值与"刨除完全平方数后剩余值的最少数量 + 1"的较小者
dp[i] = min(dp[i], dp[i - j * j] + 1);
}
}
return dp[n];
}
};