两道经典子序列 / 子数组 DP 题：最长递增子序列 & 乘积最大子数组

前言

动态规划里，「子序列」和「子数组」是高频考点，很多同学容易把它们搞混。今天我们就用两道中等难度的经典题，把这两个概念和对应的 DP 解法讲透：一道是 **《最长递增子序列》，一道是《乘积最大子数组》**。

一、最长递增子序列（LeetCode 300）

题目描述

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

核心思路：一维 DP + 优化

这道题是子序列 DP 的入门标杆题，核心是通过「前序状态」推导出当前状态。

状态定义

dp[i] 表示以 nums[i] 结尾的最长递增子序列的长度。

转移方程

对于每个 i，遍历所有 j < i：如果 nums[i] > nums[j]，则 dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)

边界条件

每个元素自身都是一个长度为 1 的子序列，所以 dp[i] 初始化为 1
最终答案是 dp 数组中的最大值

代码实现（Java 版）

java

运行

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public class LengthOfLIS {
    // 基础DP解法（O(n²)）
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        if (nums == null || nums.length == 0) return 0;
        int n = nums.length;
        int[] dp = new int[n];
        Arrays.fill(dp, 1);
        int maxLen = 1;
        
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[i] > nums[j]) {
                    dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
                }
            }
            maxLen = Math.max(maxLen, dp[i]);
        }
        return maxLen;
    }

    // 优化解法（贪心+二分，O(n log n)）
    public int lengthOfLISOptimized(int[] nums) {
        List<Integer> tails = new ArrayList<>();
        for (int num : nums) {
            // 找到第一个 >= num 的位置，替换为 num
            int idx = Collections.binarySearch(tails, num);
            if (idx < 0) idx = -idx - 1;
            if (idx == tails.size()) {
                tails.add(num);
            } else {
                tails.set(idx, num);
            }
        }
        return tails.size();
    }

    public static void main(String[] args) {
        LengthOfLIS solution = new LengthOfLIS();
        int[] nums = {10,9,2,5,3,7,101,18};
        System.out.println(solution.lengthOfLIS(nums)); // 输出：4
        System.out.println(solution.lengthOfLISOptimized(nums)); // 输出：4
    }
}

关键知识点

时间复杂度：基础 DP 为 O (n²)，优化后为 O (n log n)
空间复杂度：基础 DP 为 O (n)，优化后为 O (n)
核心区别：子序列不要求连续，所以需要遍历所有前序元素，而不是只看相邻元素

二、乘积最大子数组（LeetCode 152）

题目描述

给你一个整数数组 nums ，请你找出数组中乘积最大的非空连续子数组（该子数组中至少包含一个数字），并返回该子数组所对应的乘积。

核心思路：维护最大 / 最小值的 DP

这道题的坑点在于负数：负负得正，所以当前的最小值（负数）乘以一个负数，反而可能变成最大值。因此，我们不能只维护当前的最大值，还要维护当前的最小值。