函数极限
设 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 的某一去心领域由定义，若存在常数 \(A\) 使得：对任意 \(ε>0\) 都存在 \(δ>0\)，当 \(0<|x−x_0|<δ\) 时，有 \(|f(x)−A|<ε\) ，则称 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处（或 \(x\) 趋于 \(x_0\) ）的极限为 \(A\)，记作:
\[\lim\limits_{x \to x_0} f(x)=A \]
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夹逼定理：若存在 \(x_0\) 的某去心邻域内恒有 \(g(x)\le f(x)\le h(x)\) ，且 \(\lim\limits_{x \to x_0} g(x)=\lim\limits_{x \to x_0} h(x)=A\) ，则 \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x)=A\) 。
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对于在 \(x_0\) 处有定义且连续 的函数，满足 \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x)=f(x_0)\) 。
对于其他情况:
1.在 \(x_0\) 处没有定义。
2.在 \(x_0\) 处有定义，但不存在极限。
3.在 \(x_0\) 处有定义，极限存在但 \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x)\neq f(x_0)\)。
根本原因在于函数在 \(x_0\) 处不连续 ，称为间断点。
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不存在极限的情况
1.趋于无穷 （无界发散），如 \\lim\\limits_{x \\to \\infty} x=\\infty 。
2.左右极限不相等 （跳跃）。
如 \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{|x|}{x}\) ，有 \(\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x}=1,\lim\limits_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x}=-1\) ，左右两边极限不同，不满足定义。
对于一些不连续的函数，间断点往往左右极限不等。
3.振荡 （有界无界）。
如 \(\lim\limits_{x \to \infty} sin(x)\) 。\(x\) 趋于无穷， \(sin(x)\) 不收敛，满足周期性，称 \(\lim\limits_{x \to \infty} sin(x)\) 在 \([-1,1]\) 内振荡，极限不存在。
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两个重要极限：
1.\(\lim\limits_{x \to 0} \frac{sin(x)}{x}=1\)
\[sin(x)\le x\le tan(x)\Rightarrow \frac{1}{tan(x)}\le \frac{1}{x}\le \frac{1}{sin(x)}\\ \Rightarrow \frac{sin(x)}{tan(x)}\le \frac{sin(x)}{x}\le \frac{sin(x)}{sin(x)} \Rightarrow cos(x)\le \frac{sin(x)}{x}\le 1\\ \because \lim\limits_{x \to 0} cos(x)=1\\ \therefore \lim\limits_{x \to 0} \frac{sin(x)}{x}=1 \]
2.\(\lim\limits_{x \to \infty} (1+\frac{1}{x})^x=e\)
这是 \(e\) 的表达式。
导数
导数也叫微商，可理解为函数的"瞬时变化率"，其数值几何上为函数在某点的切线斜率，定义如下：
\[f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} =\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \]
若上述极限存在，则称 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处可导 ，极限值 \(f'(x_0)\) 为 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处的导数。也可记作 \(\frac{dy}{dx}\) 。
常见函数的导函数：
- 导数的运算法则：
\[(a\pm b)'=a'\pm b'\\ (ab)'=a'b+ab'\\ (\frac{a}{b})'=\frac{a'b-b'a}{b^2}\\ (c\cdot f(x))'=c\cdot f(x)'\\ (f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x) \]
- 高阶导数
定义： \(f''(x)=(f'(x))'，f^{(n)}(x)=(f^{(n-1)}(x))'\)
记号： \(f^{(n)}(x)、\frac{d^ny}{dx^n}\)
常见规律：
1.\((e^{ax})^{(n)}=a^ne^{ax}\)
2.\((sin(ax))^{(n)}=a^nsin(ax+\frac{n\pi}{2})\)
3.\((ln(x+1))^{(n)}=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{(1+x)^n}\)
4.莱布尼茨公式：\((uv)^{n}=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}u^{(k)}v^{(n-k)}\)
- 洛必达法则
对于 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 在 \(x_0\) 处为 \(0\)，即 \(\frac{0}{0}\) 的情况，有：
\[\lim\limits_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x \to x_0}\frac{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}{\frac{g(x)-g(a)}{x-a}}=\lim\limits_{x \to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)} \]
泰勒展开
一种用多项式局部逼近光滑函数的方法，在一些情况些，当多项式有无穷项时，这个多项式就是原函数。
假设得到的多项式函数为 \(g(x)=c_0+c_1(x-x_0)+c_2(x-x_0)^2+...\)。通过保证 \(g^{(n)}(x_0)=f^{(n)}(x_0)\) 来逼近，推一下系数有：
\[f(x)=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i \]
上式被称为在 \(x_0\) 处展开。特定的，当展开点 \(x_0=0\) 时，称为麦克劳林展开展开。
- 常见函数的泰勒展开
1.\(e^x=\sum_{i=0}^{\infty} \frac{x^i}{i!}\)
2.\(ln(x+1)=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^{i}x^{n+1}}{(i+1)!}，x∈ (-1,1]\)
3.\(sin(x)=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^{i}x^{2i+1}}{(2i+1)!}\)
4.\(cos(x)=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2i}}{(2i)!}\)
5.\(\frac{1}{1-x}=\sum_{i=0}^{\infty}x^n,|x|<1\)
6.\(\frac{1}{1+x}=\sum_{i=0}^{\infty}(-1)^ix^i,|x|<1\)
上述中 \(x\) 有取值范围的是函数的收敛域，当 \(x\) 超出这个范围后，函数发散，无法得到准确的值。
牛顿迭代法
对于函数 \(f(x)\) ，求解近似根的做法。
首先取的一个点 \(x_0\) ，我们找下一个点 \(x_0'\) 使得 \(x_0\) 更接近根。具体的，直接找函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处的切线与 \(x\) 轴的交点，对于大部分函数，这样得到的 \(x_0'\) 是更优的。有：
\[f(x_0')=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)} \]
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常见的不能牛顿迭代函数：
1.\(f(x)=\sqrt{|x|}\) ，该函数在迭代的过程中会在两个点中反复横跳。
2.\(f(x)=x^{\frac{1}{3}}\) ，该函数处处连续光滑可导，但是用牛顿迭代法会离根越来越远。
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一些必要条件
| 条件 | 说明 |
|---|---|
| 1. 可导性 | \(f(x)\) 在迭代路径上至少一阶可导；理论分析通常要求 \(f\in C^2\)（二阶连续可导） |
| 2. 导数非零 | 每次迭代需满足 \(f'(x_k)\neq 0\)，否则迭代公式分母为零而中断 |
| 3. 根的存在性 | 目标方程 \(f(x)=0\) 在定义域内存在实根（或复根，视求解域而定） |
- 迭代速度
| 场景 | 实际收敛阶 | 原因 |
|---|---|---|
| 单根 + 初值足够近 | 二阶 | \(e_{k+1} \approx \frac{f''(x^*)}{2f'(x^*)} e_k^2\) |
| \(m\) 重根（\(m \ge 2\)） | 一阶（线性） | \(f'(x^*)=0\)，误差按固定比例衰减：\(e_{k+1} \approx \frac{m-1}{m}e_k\) |
| 初值较远/函数性态差 | 超线性 / 一阶 / 发散 | 未进入二次收敛吸引域，高阶泰勒余项不可控 |
| 导数计算含噪声 | 可能退化至一阶或震荡 | 数值误差掩盖了平方衰减效应 |
多项式牛顿迭代
求出 \(f(g)=0\) 在模 \(x^n\) 次方下，满足条件的多项式\(g^*\)，其中 \(f\) 是一个自变量和因变量都是多项式的函数。
考虑用一种倍增的思路去求解 \(g^*\)，我们对 \(f(g)=0\) 在 \(g^*\%k\) 处泰勒展开（注意因变量是多项式），代入 \(g^*\%2k\)，记 \(g^*\%n\) 为 \(g_n\) ,有：
\[f(g_{2k})=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{f^{(i)}(g_k)}{i!}(g_{2k}-g_k)^i \]
在模 \(2k\) 的意义下，\(i\ge 2\) 的项都是 \(0\) ，所以只用考虑 \(i\le 1\) 的值：
\[\begin{aligned} 0 &= f(g_k)+f'(g_k)(g_{2k}-g_k) \ \ (mod\ \ x^{2k})\\ g_{2k} &= g_k- \frac{f(g_k)}{f'(g_k)}\ \ (mod\ \ x^{2k}) \end{aligned} \]
得到了与普通牛顿迭代类似的结论。
这个结论可以用于对多项式的一些运算的推导，比如求逆、开根等、
- 例子
多项式求逆：
对于多项式 \(h\) 求逆，设计 \(f(g)=\frac{1}{g}-h\) ，有 \(g*\) 就是\(\frac{1}{h}\) ，用上述结论可得：
\[\begin{aligned} g_{2k} &=g_k-\frac{\frac{1}{g_k}-h}{-\frac{1}{g_k^2}}\ \ (mod\ \ x^{2k})\\ g_{2k} &=g_k(2-g_kh)\ \ (mod\ \ x^{2k})\\ \end{aligned} \]
这与常规倍增法得到的结果一致。
积分
定积分
引入：\(S=\int_{a}^{b}f(x)dx\)，意义为有向面积。
\[\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\sum_{i=1}^{n}f(ξ_i)\Delta x_i \]
将积分区间 \([a, b]\) 任意划分为 \(n\) 段，每段的长度 \(∆x_i\) 都趋于 \(0\) 时，蕴涵 \(n\) 趋于无穷（但反之未必），\(ξ_i\) 是在该段区间中任取的一点。若无论怎么划分区间和选点上述极限都存在且为定值，称函数 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上可积，其极限值称作定积分 或 黎曼积分。
- 牛顿-莱布尼茨公式
若 \(F'(x)=f(x)\) ，则：
\[\int_{a}^bf(x)dx=F(x) |_a^b=F(b)-F(a) \]
该公式被称之为微积分基本定理。
公式推导：
\[\begin{aligned} \int_{a}^{b}f(x)dx &=\int_{a}^{b}F'(x)dx \\ &=\int_{a}^{b}\frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}dx \\ &=\lim\limits_{ n \to \infty}\sum_{i=1}^{n}F(x_{i+1})-F(x_i)\\ &=\lim\limits_{ n \to \infty}F(x_{n+1})-F(x_1)\\ &=F(b)-F(a) \end{aligned} \]
-
广义积分：
又称为反常积分，分为：
1.积分限无穷的积分，如 \(\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx\)。
2无界函数的积分，又称瑕积分，如 \(\int_{0}^{1}\frac{dx}{x}\)。
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自适应辛普森积分法：
辛普森公式：\(\int_{a}^{b}f(x)dx≈\frac{(b-a)(f(a)+4f(\frac{a+b}{2})+f(b))}{6}\)。
本质就是一个加权平均值，但只算一层精度太低，考虑递归向下分治，当某层与下层的差在接受范围内就返回。时间复杂度与精度和函数都有关。
不定积分
若 \(F^′(x)=f(x)\) 或 \(dF(x)=f(x)dx\) ，则称 \(F(x)\) 为 \(f(x)\) 的一个原函数
由求导法则知，原函数加上任意常量 \(C\) 后依然是原函数，这样便构成了一个函数集合，称作不定积分，记作：
\[\int f(x)dx=F(x)+C \]
注意定积分得到的是一个数值，不定积分得到的是一个函数集合，求不定积分与求导为互为逆操作，但是求导会抹去常数。