数据结构精讲：树 → 二叉树 → 堆 从入门到实战
文章目录
- [数据结构精讲：树 → 二叉树 → 堆 从入门到实战](#数据结构精讲：树 → 二叉树 → 堆 从入门到实战)
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- 一、树：一切树形结构的基础
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- [1.1 树的概念与结构](#1.1 树的概念与结构)
- [1.2 树的常用术语](#1.2 树的常用术语)
- [1.3 孩子兄弟表示法（C 语言完整实现）](#1.3 孩子兄弟表示法（C 语言完整实现）)
- 二、二叉树：最常用的树形结构
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- [2.1 二叉树基本概念](#2.1 二叉树基本概念)
- [2.2 两种特殊二叉树](#2.2 两种特殊二叉树)
- [2.3 二叉树重要性质](#2.3 二叉树重要性质)
- [2.4 二叉树存储结构](#2.4 二叉树存储结构)
- [2.5 二叉树遍历（递归版完整代码）](#2.5 二叉树遍历（递归版完整代码）)
- 三、堆：完全二叉树的经典应用
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- [3.1 堆的核心概念](#3.1 堆的核心概念)
- [3.2 堆结构定义](#3.2 堆结构定义)
- [3.3 向上调整（插入用）](#3.3 向上调整（插入用）)
- [3.4 向下调整（删除/建堆用）](#3.4 向下调整（删除/建堆用）)
- [3.5 堆插入、删除（完整代码）](#3.5 堆插入、删除（完整代码）)
- [3.6 堆的两大应用](#3.6 堆的两大应用)
一、树：一切树形结构的基础
1.1 树的概念与结构
树是由 n(n≥0) 个有限节点组成的非线性层次结构 ，形态像一棵根朝上、叶朝下的倒挂树。
核心规则
- 有且仅有一个根节点，无双亲。
- 其余节点分为互不相交的子树，子树也是树。
- N 个节点 ⇔ N-1 条边。
- 除根外，每个节点仅有一个父节点。
1.2 树的常用术语
- 节点的度：孩子个数
- 树的度：所有节点度的最大值
- 叶子节点：度为 0 的节点
- 兄弟节点：同一个父节点的节点
- 高度/深度：节点最大层次数
- 森林：多棵互不相交的树的集合
1.3 孩子兄弟表示法（C 语言完整实现）
c
// 孩子兄弟表示法：通用树结构
struct TreeNode
{
int data; // 数据域
struct TreeNode* firstChild; // 指向第一个孩子
struct TreeNode* nextBrother; // 指向右兄弟
};✅ 作用：可将任意树转为二叉树存储，是树与二叉树的桥梁。
二、二叉树：最常用的树形结构
2.1 二叉树基本概念
二叉树是每个节点最多有两个子树的有序树，左子树、右子树严格区分，不能颠倒。
特点
- 节点度 ≤ 2
- 是有序树
- 递归定义：根 + 左子树 + 右子树
2.2 两种特殊二叉树
-
满二叉树
每一层节点数都达到最大值。
节点总数：2ʰ - 1（h 为高度）
-
完全二叉树
除最后一层外，其他层满节点；最后一层节点靠左连续排列 。
✅ 满二叉树是特殊的完全二叉树。
2.3 二叉树重要性质
- 第 i 层最多有 2ⁱ⁻¹ 个节点
- 高度 h，最多 2ʰ - 1 个节点
- n₀ = n₂ + 1（叶子节点数 = 度2节点数 + 1）
- 完全二叉树高度：h = ⌊log₂n⌋ + 1
2.4 二叉树存储结构
（1）顺序存储（数组）
适合完全二叉树 ，否则空间浪费大。
常用于堆的实现。
（2）链式存储（二叉链）
c
// 二叉树链式节点定义
typedef int BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{
BTDataType data;
struct BinaryTreeNode* left; // 左孩子
struct BinaryTreeNode* right; // 右孩子
} BTNode;2.5 二叉树遍历（递归版完整代码）
c
// 前序遍历：根 → 左 → 右
void PreOrder(BTNode* root)
{
if (root == NULL)
{
printf("N ");
return;
}
printf("%d ", root->data);
PreOrder(root->left);
PreOrder(root->right);
}
// 中序遍历：左 → 根 → 右
void InOrder(BTNode* root)
{
if (root == NULL)
{
printf("N ");
return;
}
InOrder(root->left);
printf("%d ", root->data);
InOrder(root->right);
}
// 后序遍历：左 → 右 → 根
void PostOrder(BTNode* root)
{
if (root == NULL)
{
printf("N ");
return;
}
PostOrder(root->left);
PostOrder(root->right);
printf("%d ", root->data);
}三、堆：完全二叉树的经典应用
堆是用数组实现的完全二叉树 ，满足堆序性质。
3.1 堆的核心概念
- 大根堆：父节点 ≥ 孩子节点，堆顶最大
- 小根堆：父节点 ≤ 孩子节点，堆顶最小
下标公式
- 双亲：
(i - 1) / 2 - 左孩子：
2 * i + 1 - 右孩子：
2 * i + 2
3.2 堆结构定义
c
typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{
HPDataType* a;
int size; // 当前元素个数
int capacity; // 容量
} HP;3.3 向上调整（插入用）
c
// 向上调整（大堆）
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{
int parent = (child - 1) / 2;
while (child > 0)
{
if (a[child] > a[parent])
{
// 交换
HPDataType tmp = a[child];
a[child] = a[parent];
a[parent] = tmp;
child = parent;
parent = (child - 1) / 2;
}
else
{
break;
}
}
}3.4 向下调整（删除/建堆用）
c
// 向下调整（大堆）
void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)
{
int child = parent * 2 + 1;
while (child < n)
{
// 取较大孩子
if (child + 1 < n && a[child + 1] > a[child])
{
child++;
}
if (a[child] > a[parent])
{
HPDataType tmp = a[child];
a[child] = a[parent];
a[parent] = tmp;
parent = child;
child = parent * 2 + 1;
}
else
{
break;
}
}
}3.5 堆插入、删除（完整代码）
c
// 堆插入
void HPPush(HP* php, HPDataType x)
{
assert(php);
// 扩容
if (php->size == php->capacity)
{
int newCapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;
HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, newCapacity * sizeof(HPDataType));
if (tmp == NULL)
{
perror("realloc fail");
return;
}
php->a = tmp;
php->capacity = newCapacity;
}
php->a[php->size++] = x;
AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}
// 堆删除（删堆顶）
void HPPop(HP* php)
{
assert(php);
assert(php->size > 0);
// 交换堆顶与最后一个元素
HPDataType tmp = php->a[0];
php->a[0] = php->a[php->size - 1];
php->a[php->size - 1] = tmp;
php->size--;
AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}3.6 堆的两大应用
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堆排序
- 升序 → 建大堆
- 降序 → 建小堆
- 时间复杂度：O(n log n)
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TOP-K 问题
- 求前 K 大 → 建小堆
- 求前 K 小 → 建大堆
- 海量数据最优解法，时间复杂度 O(n log k)